funsplit และขั้วของ Pi-types

18

ในหัวข้อที่ผ่านมาใน AGDA รายชื่อที่ส่งคำถามของกฎหมายโผล่ขึ้นมาซึ่งในปีเตอร์แฮนค็อกทำกระตุ้นความคิดคำพูด $\eta$

ความเข้าใจของฉันคือกฎหมายมาพร้อมกับประเภทติดลบเช่น การเชื่อมต่อซึ่งกฎการแนะนำจะย้อนกลับได้ หากต้องการปิดใช้งานสำหรับฟังก์ชั่นแฮงค์แนะนำให้ใช้ตัวกำจัดแบบกำหนดเอง, funsplitแทนกฎแอปพลิเคชันทั่วไป ฉันต้องการที่จะเข้าใจคำพูดของแฮงค์ในแง่ของขั้ว $\eta$ $\eta$

ตัวอย่างเช่นมีสองงานนำเสนอ -type มีตัวแยกแยก Martin-Löfแบบดั้งเดิมในลักษณะบวก: $\Sigma$

\begin{array}{l} Γ ⊢ ฉ : (a : A) (ข : B a) \to ค (a, ข) \\ Γ ⊢ พี : Σ a : A . B \\ Γ ⊢ s พี ล. ผม เสื้อ ฉ พี : ค พี \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$

และมีเวอร์ชันลบ:

\begin{array}{l} Γ ⊢ พี : Σ a : A . B \\ Γ ⊢ π_{0} พี : A \end{array} \begin{array}{l} Γ ⊢ พี : Σ a : A . B \\ Γ ⊢ π_{1} พี : B [π_{0} พี / a] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$

การนำเสนอหลังนี้ทำให้ง่ายต่อการได้รับสำหรับคู่เช่น สำหรับคู่ใด ๆ(โดยที่ == หมายถึงความเท่าเทียมกันแบบกำหนดเงื่อนไข) ในแง่ของการพิสูจน์ความแตกต่างนี้ไม่สำคัญ: โดยสัญชาตญาณคุณสามารถใช้การคาดการณ์ด้วยการแบ่งหรือวิธีอื่น ๆ $\eta$ $(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$ $p$

ตอนนี้ $\Pi$ ประเภทมักจะ (และไม่มีข้อโต้แย้งฉันเชื่อว่า) ถูกลบ:

\begin{array}{l} Γ ⊢ ฉ : Π a : A . B \\ Γ ⊢ s : A \\ Γ ⊢ ฉ s : B [s / a] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$

ซึ่งให้เรา $\eta$ สำหรับฟังก์ชั่น: $\lambda x. f x == f$ .

อย่างไรก็ตามในเมลดังกล่าวแฮงค์เรียกใช้ตัวกำจัดfunsplit (การเขียนโปรแกรมในทฤษฎีประเภท ML, [http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/], หน้า 51) มันอธิบายไว้ในกรอบตรรกะโดย:

\begin{array}{l} f \in Π (A, B) \\ C (v) S e t [v \in Π (A, B)] \\ d (y) \in C (λ (y)) [y (x) \in B (x) [x \in A]] \\ f u n s p l i t (f, d) \in C (f) \end{array}

$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$

น่าสนใจ Nordstrom และคณะ กระตุ้นความหมายนี้โดยบอกว่า "[นี่] ทางเลือกที่ไม่ใช่แบบฟอร์มบัญญัติขึ้นอยู่กับหลักการของการเหนี่ยวนำโครงสร้าง" มีกลิ่นที่แข็งแกร่งของ positivity คำสั่งนี้คือฟังก์ชั่นจะได้รับการ 'กำหนด' โดยคอนสตรัคของพวกเขา\ $\lambda$

อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถตอกย้ำการนำเสนอที่น่าพอใจของกฎนั้นในการหักตามธรรมชาติ การใช้ (ab) ของเฟรมเวิร์กแบบลอจิคัลเพื่อแนะนำสำคัญมากที่นี่ $y$

ดังนั้นfunsplitเป็นการนำเสนอในเชิงบวกของ -type? เรามีบางอย่างที่คล้ายกันในแคลคูลัส (ไม่ขึ้นกับ) ตามลำดับหรือไม่? มันจะมีลักษณะเป็นอย่างไร $\Pi$

มันเป็นเรื่องธรรมดา / อยากรู้อยากเห็นสำหรับนักทฤษฎีพิสูจน์ในสนาม?

— pedagand
แหล่งที่มา

12

การนำเสนอการกำจัดการทำงานโดยใช้นั้นแน่นอนที่สุดไม่ใช่การเกิดขึ้นตามปกติในการรักษาทฤษฎีประเภทส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตามฉันเชื่อว่ารูปแบบนี้เป็นการนำเสนอแบบ "บวก" ของการกำจัดประเภทการทำงาน ปัญหาที่นี่คือที่ที่คุณต้องการรูปแบบของการอุดมศึกษาสั่งจับคู่รูปแบบให้ดูเช่นเดลมิลเลอร์ $\mathrm{funsplit}$

อนุญาตให้ฉันกำหนดกฎของคุณใหม่ในแบบที่ชัดเจนสำหรับฉัน:

\begin{array}{l} Γ ⊢ ฉ : Π x : A . B \\ Γ, Z : Π x : A . B ⊢ ค : S อี เสื้อ \\ Γ, [x : A] F (x) : B ⊢ อี : ค {λ x : A . F (x) / Z} \\ ม. a เสื้อ ค ชั่วโมง ฉ W ผม เสื้อ ชั่วโมง λ x : A . F (x) \Rightarrow อี : ค {ฉ / Z} \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$

ที่ไหนเป็นอภิตัวแปรประเภทในบริบทx: $F$ $B$ $x:A$

กฎการเขียนซ้ำจะกลายเป็น:

m a t c h λ x : A . t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e \to e {t {u / x} / F (u)}

$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$

สิ่งนี้อนุญาตให้คุณกำหนดแอปพลิเคชันเป็น:

a p p (t, u) = m a t c h t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow F (u)

$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$

นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่าสิ่งนี้ต้องการระบบประเภท "ตรรกะเฟรมเวิร์ก" เพื่อความถูกต้องความยุ่งยาก (และความต้องการที่ จำกัด ) ของการรวมคำสั่งที่สูงขึ้นทำให้สูตรนี้ไม่เป็นที่นิยม

แต่มีสถานที่ที่แตกต่างในเชิงบวก / ลบคือปัจจุบันในวรรณคดี: สูตรของภาคความสัมพันธ์เชิงตรรกะ สองคำจำกัดความที่เป็นไปได้ (ในกรณี unary) คือ

[[Π x : A . B]] = {เสื้อ | \forall ยู \in [[A]], เสื้อ ยู \in [[B]]_{x \mapsto ยู}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$

และ

[[Π x : A . B]] = {เสื้อ | เสื้อ \to^{* * * *} λ x . {เสื้อ}^{'}, \forall ยู \in [[A]], {เสื้อ}^{'} {ยู / x} \in [[B]]_{x \mapsto ยู}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$

รุ่นที่สองเป็นเรื่องธรรมดาที่น้อยลง แต่สามารถพบได้เช่นในDowek และเวอร์เนอร์

— Cody
แหล่งที่มา

1

สิ่งนี้ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับไวยากรณ์บทคัดย่อที่สูงกว่าซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายใน Logical Framework โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่นี่น่าจะเป็นฟังก์ชั่นเมตา

F

$F$

— วันที่

13

นี่คือมุมมองที่แตกต่างกันเล็กน้อยในคำตอบของ Fredrik โดยทั่วไปแล้วกรณีที่การเข้ารหัสประเภทคริสตจักรที่ไม่เอาใจใส่จะเป็นไปตามกฎหมายเกี่ยวข้อง แต่จะไม่เป็นไปตามกฎหมาย $\beta$ $\eta$

ดังนั้นนี่หมายความว่าเราสามารถกำหนดคู่ที่ต้องพึ่งพาดังนี้:

\exists x : X . Y [x] ≜ \forall α : * * * * . (Π x : X . Y [x] \to α) \to α

$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$ ทีนี้โปรดทราบว่าสามารถกำหนดได้ง่าย: อย่างไรก็ตามคุณไม่สามารถกำหนดการฉายภาพที่สอง - ลองดู! คุณสามารถกำหนดตัวกำจัดที่อ่อนแอสำหรับมันเท่านั้นซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันเขียนมันด้วยการมีอยู่

π_{1}

$\pi_1$

π_{1} : \exists x : X . Y [x] \to X ≜ λ พี : (\exists x : X . Y [x]) . พี X (λ x Y . x)

$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$

π_{2} : Π p : (\exists x : X . Y [x]) . Y [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

อย่างไรก็ตามการฉายภาพครั้งที่สองนั้นสามารถเกิดขึ้นได้และในโมเดลพารามิเตอร์คุณสามารถแสดงให้เห็นว่ามันมีพฤติกรรมที่เหมาะสมเช่นกัน (ดูร่างล่าสุดของฉันกับ Derek Dreyer เกี่ยวกับตัวแปรในแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างสำหรับเรื่องนี้) ดังนั้นฉันคิดว่าการฉายภาพโดยพื้นฐานแล้วต้องการคุณสมบัติการขยายที่แข็งแกร่งเพื่อให้เหมาะสม $\pi_2$

ในแง่ของแคลคูลัสตามลำดับตัวกำจัดจุดอ่อนมีกฎที่มีลักษณะดังนี้:

\frac{Γ, x : X, Y : Y [x], Γ^{'} ⊢ {อี}^{'} : ค}{Γ, พี : \exists x : X . Y [x], Γ^{'} ⊢ ล. อี เสื้อ (x, Y) = พี ผม n {อี}^{'} : ค}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$ นี่ที่นี่สภาพความเป็นอยู่ที่ดีโดยนัยบ่งบอกว่าไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในหรือ . ถ้าเราผ่อนคลายเงื่อนไขนั้นเราจะได้รับกฎแยกซึ่งมีกฎซ้ายที่ดูเหมือน แทนที่นั้นทำให้ฉันนึกถึงกฎการกำจัด Girard / Schroeder-Heister อันยิ่งใหญ่เพื่อความเท่าเทียมกัน ฉันถามคำถาม

p

$p$

Γ^{'}

$\Gamma'$

C

$C$

\frac{Γ, x : X, Y : Y [x], [(x, Y) / พี] Γ^{'} ⊢ {อี}^{'} : [(x, Y) / พี] ค}{Γ, พี : \exists x : X . Y [x], Γ^{'} ⊢ ล. อี เสื้อ (x, Y) = พี ผม n {อี}^{'} : ค}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$ เกี่ยวกับกฎนี้ในขณะที่หลังและเดวิด Baelde และ Gopalan Nadathur ให้รุ่นรัฐของศิลปะในสถานีจ่ายน้ำเย็น 2012 กระดาษรวมหัก Modulo และ Logics ของจุดคงคำนิยาม ฉันคิดว่า Conor McBride ใช้เวลาคิดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างประเภทตัวตนกับความเสมอภาคของชโรเดอร์ - เฮสเตอร์ดังนั้นคุณอาจต้องการเห็นสิ่งที่เขาคิด

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

1

ฉันสนุกกับคำตอบเหล่านี้จริงๆ! ฉันรู้สึกว่ามีความคิดบางอย่างของ "วิปัสสนา" (ความสามารถในการรู้ว่าคำมีค่า) โดยนัยในคำตอบจาก Fredrik ที่เป็นปัญหาจริงของกทพ.: parametricity หมายถึงวิปัสสนานัยกทพ.

— ดี้

10

Richard Garner ได้เขียนบทความที่ดีเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ vs funsplit เกี่ยวกับความแข็งแกร่งของผลิตภัณฑ์ในทฤษฎีประเภทของ Martin-Löf (APAL 160 (2009)) ซึ่งกล่าวถึงลักษณะลำดับที่สูงขึ้นของกฎ funsplit (โดยอ้างอิงถึง Peter Schroeder-Heister's การขยายตัวทางธรรมชาติอย่างเป็นธรรมชาติ (JSL 49 (1984))

ริชาร์ดแสดงให้เห็นว่าในการปรากฏตัวของประเภท (และการก่อตัวและกฎการแนะนำสำหรับประเภท), funsplit interderivable กับกฎของโปรแกรมประยุกต์เหนือ + แคลคูลัสเชิงประพจน์คือสองกฎต่อไปนี้: $\Pi$

\frac{ม. : Π (A, B)}{η (ม.) : {ผม d}_{Π (A, B)} (ม., λ x . ม. \cdot x)} (Π -Prop- η)

$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$

\frac{x : A ⊢ ฉ (x) : B (x)}{η (λ (ฉ)) = R อี ฉ ล. (λ (ฉ)) : {ผม d}_{Π (A, B)} (λ (ฉ), λ (ฉ))} (Π -Prop- η ซีเกทเทคโนโลยี)

$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$

นั่นคือถ้าคุณมี funsplit คุณสามารถกำหนดแอปพลิเคชันและดังกล่าวข้างต้นเพื่อให้ถือ น่าสนใจยิ่งขึ้นถ้าคุณมีแอปพลิเคชั่นและกฎกติกามารยาทเชิงประพจน์คุณสามารถกำหนด funsplit ได้ $\eta$ $(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$

ยิ่งไปกว่านั้น funsplit มีความแข็งแกร่งกว่าการประยุกต์ใช้อย่างเคร่งครัด: กฎกติกาการทางกฎเกณฑ์เชิงประพจน์ไม่ชัดเจนในทฤษฎีที่มีการใช้งานเพียงอย่างเดียว - ดังนั้น funsplit จึงไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน นี่เป็นเพราะกฎแอปพลิเคชั่นให้คุณมีความเฉื่อยน้อยกว่าซึ่งแตกต่างจาก funsplit (และกทพ.) พวกเขาไม่ได้บอกคุณว่าฟังก์ชั่นคืออะไร ฉันเชื่อว่าการโต้เถียงของริชาร์ดอาจเกิดขึ้นซ้ำได้สำหรับประเภทเช่นกันเพื่อแสดงผลลัพธ์เดียวกันสำหรับ vs การคาดการณ์ $\Sigma$ $\mathsf{split}$

โปรดทราบว่าหากคุณมีกฎกติกามารยาทที่ชัดเจนคุณจะต้องมีกฎเกณฑ์อย่างแน่นอนเช่นกัน (กับ ) ดังนั้นฉันคิดว่าข้อความของคุณ "[... ] ซึ่งให้เราสำหรับฟังก์ชั่น" และ "[... ] งานนำเสนอหลังนี้ทำให้ง่ายต่อการได้รับสำหรับคู่" ผิด อย่างไรก็ตาม Agda ใช้งานสำหรับทั้งฟังก์ชั่นและคู่ (ถ้าถูกกำหนดเป็นเรคคอร์ด) แต่สิ่งนี้ไม่ได้ปฏิบัติตามเพียงแค่แอปพลิเคชัน $\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$ $\eta$ $\eta$ $\eta$ $\Sigma$

— Fredrik Nordvall Forsberg
แหล่งที่มา