วิธีการทางเรขาคณิตของ Mulmuley-Sohoni สร้างขอบเขตที่ต่ำกว่าให้หลีกเลี่ยงการพิสูจน์ตามธรรมชาติ (ในความรู้สึก Razborov-Rudich) ได้อย่างไร?

ประโยคที่ถูกต้องของชื่อนี้เกิดจากอานันท์คุลคาร์นี (ผู้เสนอเว็บไซต์นี้ถูกสร้างขึ้น) คำถามนี้ถูกถามเป็นคำถามตัวอย่าง แต่ฉันอยากรู้อยากเห็นอย่างบ้าคลั่ง ฉันรู้น้อยมากเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและในความเป็นจริงแล้วมีเพียงความเข้าใจระดับปริญญาตรีของอุปสรรคที่เล่นในคำถาม P / โพลีกับ NP ปัญหา (ไม่ใช่ relativizing, ไม่ใช่พีชคณิตน่าจะไม่ใช่หลักฐานธรรมชาติ) .

อะไรที่ทำให้เรขาคณิตเชิงพีชคณิตดูเหมือนว่ามันจะผ่านสิ่งกีดขวางเหล่านี้ได้? มันเป็นเพียงสัญชาตญาณจากผู้เชี่ยวชาญหรือเรามีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่าวิธีการนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าเดิมหรือไม่? วิธีนี้มีผลลัพธ์ที่อ่อนแอกว่าสามารถบรรลุ?

[ฉันจะตอบคำถามตามที่ระบุไว้ในชื่อปล่อยบทสวดของคำถามอื่น ๆ เกี่ยวกับ GCT สำหรับหัวข้ออื่น ๆ ] การพิสูจน์การคาดเดาที่เกิดขึ้นใน GCT ดูเหมือนว่ามันจะใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นที่พิจารณา (ปัจจัยและถาวร) และพหุนามอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องสำหรับ P / โพลีและ NP) มีลักษณะโดยสมมาตรของพวกเขา ความจำเป็นนี้ไม่ได้เป็นผลอย่างเป็นทางการ แต่เป็นสัญชาตญาณที่แสดงโดยผู้เชี่ยวชาญหลายคน (โดยทั่วไปแล้วว่าในกรณีที่ไม่มีตัวละครโดยสมมาตรเข้าใจเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทนที่เกิดขึ้นยากขึ้น)

สิ่งนี้ควรหลีกเลี่ยง Razborov-Rudich เพราะมีฟังก์ชั่นเพียงไม่กี่ตัวที่สมมาตร (ข้ามเงื่อนไขความใหญ่โตในคำจำกัดความของการพิสูจน์ตามธรรมชาติ) อีกครั้งฉันไม่ได้เห็นข้อพิสูจน์เรื่องนี้ แต่มันเป็นสัญชาตญาณที่ฉันได้ยินจากผู้เชี่ยวชาญหลายคน

ตอนนี้จากจำนวนเชิงซ้อนมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่ามันมีสัญญาณอนาล็อกของ Razborov-Rudich แม้ว่า GCT ส่วนใหญ่ในปัจจุบันจะมุ่งเน้นไปที่ตัวเลขที่ซับซ้อน แต่ก็มีสัญญาณอนาล็อกในลักษณะ จำกัด (สัญญาไว้ในกระดาษ GCT VIII ที่กำลังจะมีขึ้น) ในลักษณะ จำกัด จริง ๆ แล้วใคร ๆ ก็สามารถพิสูจน์คำแถลงของรูปแบบได้

[เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นของ Ross Snider ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายของการอธิบายลักษณะโดยสมมาตร]

ก่อนอธิบายโดยตัวอย่าง ตัวอย่างเช่นกำหนดฟังก์ชั่นเสริมQหากAคือเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปดังนั้นq ( A ) = 1และถ้าAเป็นแนวทแยงมุมดังนั้นq ( A ) = d e t ( A ) (ผลคูณของรายการในแนวทแยง) ตอนนี้สมมติว่าP ( X )เป็นระดับที่เป็นเนื้อเดียวกันnพหุนามในn 2ตัวแปร (ที่เราคิดว่าเป็น entires ของนั้นn × nเมทริกซ์$q$$A$$q(A)=1$$A$$q(A)=det(A)$$p(X)$$n$$n^2$$n \times n$$X$) หากมีความสมมาตรดังต่อไปนี้:$p$

• (ไขว้)$p(X) = p(X^t)$
• สำหรับเมทริกซ์ทุกคู่ ( A , B )ที่ Aและ Bเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงหรือเมทริกซ์ทแยงมุมและ Q ( A ) q ( B ) = $p(AXB) = p(X)$$(A,B)$$A$$B$$q(A)q(B) = 1$

แล้วมีหลายอย่างต่อเนื่องของพีอีอาร์เอ็ม( X )สำหรับทุกเมทริกซ์X ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวได้ว่าลักษณะถาวรนั้นมีความสมมาตร$p(X)$$perm(X)$$X$

โดยทั่วไปถ้าเรามี (เหมือนกัน) พหุนามในมตัวแปรแล้วG L เมตร (กลุ่มทั้งหมด invertible เมตร× มเมทริกซ์) ทำหน้าที่ในฉโดย( ฉ) ( x 1 , . . . , x เมตร ) = F ( - 1 ( x 1 ) $f(x_1, ..., x_m)$$m$$GL_m$$m \times m$$f$สำหรับ ∈ G L เมตร (ที่เราจะพาตัวแปร x 1 , . . . , x เมตรเป็นพื้นฐานสำหรับการที่ม.ปริภูมิเวกเตอร์มิติที่ G L เมตรธรรมชาติทำหน้าที่) โคลงของ fใน G L mคือกลุ่มย่อย Stab ( f ) = { A ∈ $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$$A \in GL_m$$x_1,...,x_m$$m$$GL_m$$f$$GL_m$ } เราบอกว่า fมีลักษณะสมมาตรถ้าเก็บไว้ต่อไปนี้: สำหรับพหุนามแบบเอกพันธ์ f ′ในตัวแปร mของระดับเดียวกันกับ f , ถ้า A f ′ = f ′สำหรับ A ∈ Stab ( f ) , f ′คือ หลายคงที่ของฉ$\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$$f$$f'$$m$$f$$Af' = f'$$A \in \text{Stab}(f)$$f'$$f$

คำตอบของ Joshua Grochow เป็นคำตอบที่ดี แต่ฉันคิดว่ามันคุ้มค่าที่จะแสดงความคิดเห็นทั่วไป ผลลัพธ์ Razborov – Rudich บอกว่าถ้าคุณต้องการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันบูลีนบางอย่างไม่ได้อยู่ในดังนั้น (สมมติว่าคุณเชื่อว่าสมมติฐานการเข้ารหัสของพวกเขา) คุณต้องใช้คุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันที่ไม่จำเป็นต้องคำนวณหรือ ที่ใช้ร่วมกันโดยฟังก์ชั่น Boolean อื่น ๆ เพียงเล็กน้อยเท่านั้น ในทางปฏิบัติมันไม่ง่ายที่จะเกิดขึ้นกับคุณสมบัติที่เหมาะสม อย่างไรก็ตามการสังเกต Razborov – Rudich ไม่ได้ออกกฎแผนการทั่วไปจำนวนมากในการโจมตีขอบเขตล่างของวงจรในกรณีที่ไม่มีรายละเอียดที่เป็นรูปธรรมเกี่ยวกับหลักฐานที่ตั้งใจไว้ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าฉันต้องพูดอย่างไร้เดียงสาว่าแผนการของฉันที่จะพิสูจน์$P/poly$เกี่ยวข้องกับการแสดงว่า S A T ∉ P / p o l yและที่ฉันตั้งใจจะใช้ความจริงที่ว่า S A Tคือ N P- ที่สมบูรณ์ "แผนการโจมตี" ที่ไร้เดียงสานี้เกือบจะไม่มีเนื้อหา แต่ Razborov – Rudich ไม่ได้ออกกฎเพราะความสมบูรณ์แบบ N Pไม่ใช่คุณสมบัติขนาดใหญ่$NP\not\subseteq P/poly$$SAT\notin P/poly$$SAT$$NP$$NP$

หากต้องการกล่าวอีกวิธีหนึ่ง Razborov – Rudich มักจะไม่พบอุปสรรคในช่วงแรกของการวางแผนการโจมตีบนขอบเขตวงจรที่ต่ำกว่าตราบใดที่คุณออกจากห้องในแผนของคุณเพื่อใช้ "คุณสมบัติพิเศษ" ในที่สุด ฟังก์ชั่นบูลีนผู้สมัครของคุณ มันก็ต่อเมื่อคุณพับแขนเสื้อแล้วพยายามกรอกรายละเอียดของข้อโต้แย้งว่าอุปสรรคการแปลงสัญชาติจะเริ่มหันหลังให้ศีรษะอย่างจริงจัง เนื่องจาก GCT ยังอยู่ในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาเราไม่ควรคาดหวังว่าจะต้องกังวลเกี่ยวกับการแปลงสัญชาติเป็นจำนวนมาก (แต่แน่นอนว่ามันคุ้มค่าที่จะตรวจสอบว่าโปรแกรม GCT นั้นไม่ได้ถูกกำหนดด้วยเหตุผลเล็กน้อย)

คุณอาจต้องการตรวจสอบงานแสดงสินค้า GCT ของKen Reganซึ่งรวมถึงข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับอุปสรรคการแปลงสัญชาติ