การดำเนินการลอการิทึมหรือรูทในประเภทพื้นที่คืออะไร?

ผมเพิ่งอ่านสอง dualities การคำนวณ: ประเภทเชิงลบและ กระดาษขยายผลรวมชนิดและสินค้าประเภทให้ความหมายไปชนิดและa - ba/b

ซึ่งแตกต่างจากการเพิ่มและการคูณไม่มีหนึ่งในสองผู้ผกผันของการยกกำลังลอการิทึมและการรูท หากฟังก์ชันประเภท (a → b) เป็นการยกกำลังตามทฤษฎีประเภทให้ประเภทa → b(หรือb^a) มันมีความหมายว่ามีประเภทlogb(c)หรือประเภทa√c?

มันสมเหตุสมผลไหมที่จะขยายลอการิทึมและรูทเป็นประเภทเลย?

ถ้าเป็นเช่นนั้นมีงานใด ๆ ในพื้นที่นี้และมีคำแนะนำที่ดีเกี่ยวกับวิธีที่จะเข้าใจผลกระทบอย่างไรบ้าง?

ฉันพยายามหาข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้ผ่านทางตรรกะโดยหวังว่าการโต้ตอบของ Curry-Howard จะช่วยฉันได้ แต่ก็ไม่มีประโยชน์

ประเภทมีลอการิทึมถึงฐานXของPทุกประการเมื่อC ≅ P → X นั่นคือCสามารถมองเห็นเป็นภาชนะของXองค์ประกอบในตำแหน่งที่กำหนดโดยP แท้จริงมันเป็นเรื่องของการขอให้สิ่งที่มีอำนาจPเราต้องยกXที่จะได้รับC$C$$X$$P$$C \cong P\to X$$C$$X$$P$$P$$X$$C$

มันสมเหตุสมผลที่จะทำงานกับโดยที่Fเป็น functor ทุกครั้งที่ลอการิทึมมีอยู่หมายถึงl o $\mathop{log}F$$F$ ) โปรดทราบว่าถ้า$\mathop{log}\!_X(F\:X)$จากนั้นเราก็มี$F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ดังนั้นคอนเทนเนอร์จึงบอกเราว่าไม่มีอะไรน่าสนใจนอกจากองค์ประกอบของมัน: ภาชนะที่มีรูปร่างให้เลือกนั้นไม่มีลอการิทึม$F\:1\cong 1$

กฏหมายลอการิทึมที่คุ้นเคยมีเหตุผลเมื่อคุณคิดในแง่ของชุดตำแหน่ง

$$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$$

นอกจากนี้เรายังได้รับโดยที่ Z = l o $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ภายใต้แฟ้มประสาน นั่นคือเส้นทางไปยังแต่ละองค์ประกอบใน codata บางอย่างถูกกำหนด inductively โดย iterating ลอการิทึม เช่น,$Z=\mathop{log}\!_XY$

$$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$$

เนื่องจากอนุพันธ์บอกเราถึงประเภทในบริบทหนึ่งหลุมและลอการิทึมบอกตำแหน่งเราเราควรคาดหวังการเชื่อมต่อและแน่นอน

$$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$$

ในกรณีที่ไม่มีรูปร่างให้เลือกตำแหน่งจะเหมือนกับบริบทแบบหนึ่งรูที่มีองค์ประกอบถูออกมา โดยทั่วไปแล้วแสดงตัวเลือกของรูปร่าง Fพร้อมกับตำแหน่งองค์ประกอบภายในรูปร่างนั้นเสมอ$\partial F\:1$$F$

ฉันเกรงว่าฉันจะพูดเกี่ยวกับรากได้น้อยกว่า แต่คน ๆ หนึ่งอาจเริ่มจากคำนิยามที่คล้ายกันและติดตามจมูก สำหรับการใช้งานลอการิทึมประเภทอื่น ๆ ให้ตรวจสอบ "ฟังก์ชั่นบันทึกของ Ralf Hinze, polytypically!" ต้องวิ่ง ...

ฉันไม่รู้งานใด ๆ ที่ติดตามบรรทัดนี้ แต่สักครู่คิดว่ามันนำฉันไปสู่สมมติฐานนี้: "ราก" ของประเภทเลขชี้กำลังจะไม่ใช่แค่โคโดเมนและ "ลอการิทึม" ของเลขชี้กำลัง แค่โดเมน