การเพิ่มความสามารถในการตัดให้น้อยที่สุด


9

พิจารณากราฟที่มีขอบทั้งหมดที่มีความจุหน่วย หนึ่งสามารถค้นหาตัดนาทีในเวลาพหุนาม

สมมติว่าฉันได้รับอนุญาตให้เพิ่มความสามารถของ edge ใด ๆให้เป็นอนันต์ (เทียบเท่ากับการรวมโหนดในแต่ละด้านของ edge) อะไรคือวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการเลือกชุด edge ที่เหมาะสม (ซึ่งความจุจะเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์) เพื่อเพิ่มการตัดขั้นต่ำkkkk


ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามของคุณ: โดย "วิธีที่ดีที่สุดในการเลือก k ขอบดังกล่าวเพื่อเพิ่มการตัดต่ำสุดคืออะไร" คุณหมายถึงการตัดขั้นต่ำ 1) กราฟที่มีความจุรวมหรือ 2) กราฟที่มีความสามารถทั่วไป ?
Jeremy

คำตอบ:


3

ทฤษฎีบท. ปัญหาในการโพสต์คือ NP-hard

โดย "ปัญหาในการโพสต์" ฉันหมายถึงให้กราฟ G=(V,E)G=(V,E) และจำนวนเต็ม kk, เลือก kk ขอบเพื่อเพิ่มกำลังการผลิตเพื่อเพิ่มการตัดขั้นต่ำในกราฟที่แก้ไข

แนวคิดคือลดจาก Max Cut กราฟประมาณที่กำหนดG=(V,E)G=(V,E) มีขนาดการตัดสูงสุด ss หากว่าคุณสามารถเพิ่มขีดความสามารถของ n-2n2 ขอบเพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีขนาดตัดต่ำสุด ss. แนวคิดก็คือn-2n2 ขอบก็เพียงพอแล้วที่จะบังคับให้กราฟแสดงผลให้มีการตัด จำกัด เพียงหนึ่งความจุและนั่นอาจเป็นการตัดที่คุณเลือก

ความคิดนี้ไม่ได้ผลเพราะจะได้รับการตัด (,V)(C,VC)คุณต้องกราฟย่อยที่เกิดจาก C และ VVCแต่ละคนจะเชื่อมต่อ แต่คุณสามารถแก้ไขได้ด้วยอุปกรณ์ที่เหมาะสม

พิสูจน์ รับกราฟเชื่อมต่อG=(V,E)G=(V,E)กําหนดการเชื่อมตอที่จะตัด(,V)(C,VC) เช่นนั้นกราฟย่อยที่เกิดจาก C และโดย VVCมีการเชื่อมต่อแต่ละ กำหนดMax Connected Cutให้เป็นปัญหาในการค้นหาคัตที่เชื่อมต่อ (ในกราฟที่เชื่อมต่อที่กำหนด) เพิ่มจำนวนของขอบที่ตัดข้าม

เราแสดงให้เห็นว่า Max Connected Cut ช่วยลดปัญหาในการโพสต์ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าการตัด Max ที่ไม่ได้ลดน้ำหนักไปเป็นการตัดการเชื่อมต่อสูงสุด

บทที่ 1. Max Connected Cut ลดเวลาโพลีตามปัญหาที่กำหนดในโพสต์

พิสูจน์ กำหนดอินสแตนซ์ Max-Connected-CutG=(V,E)G=(V,E), ปล่อย k=|V|-2k=|V|2. เพื่อพิสูจน์บทแทรกเราพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้:

รับสิทธิ์ 1: สำหรับใด ๆs>0s>0มีการตัดการเชื่อมต่อ (,V)(C,VC) ใน GG ของความจุอย่างน้อย ss, IFF เป็นไปได้ที่จะเพิ่ม kk ความจุขอบใน GG ถึงอินฟินิตี้เพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด ss.

เฉพาะในกรณีที่: สมมติว่ามีการตัดการเชื่อมต่อ (,V)(C,VC) ของความจุอย่างน้อย ss. ปล่อยT1T1 และ T2T2 เป็นทรี Spanning ตามลำดับ C และ VVCจากนั้นเพิ่มความสามารถของขอบใน T1T1 และ T2T2. (โปรดสังเกตว่า|T1|+|T2|=||-1+|V|-1=|V|-2=k|T1|+|T2|=|C|1+|VC|1=|V|2=k.) การตัด จำกัด กำลังการผลิตเหลือเพียงอย่างเดียวในกราฟนั้นคือ (,V)(C,VC)อย่างน้อยความจุ ssดังนั้นกราฟผลลัพธ์จึงมีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด ss.

หาก: สมมติว่าเป็นไปได้ที่จะเพิ่ม kk ความจุขอบใน GG เพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด ss. พิจารณากราฟย่อยที่เกิดจากการkkขอบยก โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปถือว่าเป็นกราฟย่อยนี้ (มิฉะนั้น "unraise" หนึ่งขอบจากวงจรของขอบที่ยกขึ้นและเพิ่มขอบ unraised บางส่วนที่รวมสองส่วนประกอบที่เชื่อมต่อจาก subgraph เพียงเพิ่มการตัดขั้นต่ำในกราฟผลลัพธ์) โดยการเลือกk=n-2k=n2กราฟย่อยของขอบยกมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองชิ้น C และ VVCดังนั้นความสามารถที่ จำกัด เพียงอย่างเดียวในกราฟที่ได้คือ (,V)(C,VC). และการตัดนี้มีความสามารถอย่างน้อยssเหมือนในกราฟต้นฉบับ

สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง (และบทแทรก) (QED)

เพื่อความสมบูรณ์เราแสดงให้เห็นว่า Max Connected Cut นั้นสมบูรณ์แบบ NP โดยการลดจาก Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วง

บทแทรก 2. ชั่งแม็กซ์ตัดลดในเวลาที่โพลีแม็กซ์ตัดการเชื่อมต่อ

พิสูจน์ สำหรับจำนวนเต็มใด ๆยังไม่มีข้อความ1N1กำหนดกราฟ P(ยังไม่มีข้อความ)P(N) ประกอบด้วยสองเส้นทาง AA และ BBแต่ละความยาว ยังไม่มีข้อความNมีขอบจากแต่ละจุดยอด AA ไปยังแต่ละจุดสุดยอดใน BB. เราปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดให้กับผู้อ่านเพื่อตรวจสอบว่ามีการตัดสูงสุดP(ยังไม่มีข้อความ)P(N) (AA ด้านหนึ่ง BB อื่น ๆ ) มีขนาด ยังไม่มีข้อความ2N2และไม่มีการตัดอื่น ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่าพูด ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100N2N/100.

นี่คือการลด รับอินสแตนซ์ Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วงG=(V,E)G=(V,E)สร้างกราฟ G'=(V',E')G=(V,E)ดังนี้ ปล่อยn=|V|n=|V|. ปล่อยยังไม่มีข้อความ=100(n2+2n)N=100(n2+2n). เพิ่มGG กราฟ P(ยังไม่มีข้อความ)P(N) กำหนดไว้ด้านบน (ด้วยสองพา ธ AA และ BB) จากแต่ละจุดสุดยอดโวลต์VvV เพิ่มขอบให้กับจุดสุดยอดหนึ่งจุด AA และอีกขอบหนึ่งถึงจุดยอด BB. สิ่งนี้กำหนดการลด เพื่อให้เสร็จสมบูรณ์เราพิสูจน์ว่าถูกต้อง:

รับสิทธิ์ 2: สำหรับทุกคนs0s0มีการตัด (,V)(C,VC) ใน GG ของความจุอย่างน้อย ssIFF มีการเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน G'G ขนาดอย่างน้อย s+ยังไม่มีข้อความ2+ns+N2+n.

เฉพาะในกรณีที่: ได้รับการตัดใด ๆ (,V)(C,VC) ใน GG ของความจุอย่างน้อย ssพิจารณาตัดที่เชื่อมต่อ (A,BV)(AC,BVC) ใน G'G. การเชื่อมต่อนี้ตัดG'G ตัดอย่างน้อย ss ขอบจาก C ถึง VVCบวก ยังไม่มีข้อความ2N2 ขอบจาก AA ถึง BBบวก nn ของ 2n2n ขอบจาก VV ถึง ABAB.

หาก: สมมติว่ามีการตัดการเชื่อมต่อ G'G ขนาดอย่างน้อย s+ยังไม่มีข้อความ2+ns+N2+n. AA และ BBอยู่ด้านตรงข้ามของการตัด (มิฉะนั้นนับตั้งแต่การตัดครั้งที่สองที่ใหญ่ที่สุดในP(ยังไม่มีข้อความ)P(N) ตัดมากที่สุด ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100N2N/100 ขอบใน P(ยังไม่มีข้อความ)P(N)จำนวนการตัดขอบทั้งหมดจะมากที่สุด ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100+|E|+2|V|ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100+n2+2n=ยังไม่มีข้อความ2N2N/100+|E|+2|V|N2N/100+n2+2n=N2.) ปล่อย C แสดงถึงจุดยอดใน VV ที่ด้านข้างของการตัดด้วย AA. จากนั้นก็มียังไม่มีข้อความ2N2 ขอบในการตัดจาก AA ถึง BBและ nn จาก V ถึง ABดังนั้นต้องมีอย่างน้อย s จาก ถึง V.

สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้องและเลมม่า 2 (QED)

โดย Lemmas 1 และ 2 เนื่องจาก Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนักเป็น NP-hard ปัญหาในการโพสต์ก็คือ NP-hard


นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าปัญหา "การเพิ่มค่าขอบ k เพื่อเพิ่มค่าการตัดสูงสุด" สำหรับการระบุ s และ เสื้อ คือ NP-complete (เลือก s และ เสื้อ เป็นจุดยอด A และ Bตามลำดับ)
daniello
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.