การเพิ่มความสามารถในการตัดให้น้อยที่สุด

พิจารณากราฟที่มีขอบทั้งหมดที่มีความจุหน่วย หนึ่งสามารถค้นหาตัดนาทีในเวลาพหุนาม

สมมติว่าฉันได้รับอนุญาตให้เพิ่มความสามารถของ edge ใด ๆให้เป็นอนันต์ (เทียบเท่ากับการรวมโหนดในแต่ละด้านของ edge) อะไรคือวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการเลือกชุด edge ที่เหมาะสม (ซึ่งความจุจะเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์) เพื่อเพิ่มการตัดขั้นต่ำ$k$$k$

ทฤษฎีบท. ปัญหาในการโพสต์คือ NP-hard

โดย "ปัญหาในการโพสต์" ฉันหมายถึงให้กราฟ $G=(V,E)$ และจำนวนเต็ม $k$, เลือก $k$ ขอบเพื่อเพิ่มกำลังการผลิตเพื่อเพิ่มการตัดขั้นต่ำในกราฟที่แก้ไข

แนวคิดคือลดจาก Max Cut กราฟประมาณที่กำหนด$G=(V,E)$ มีขนาดการตัดสูงสุด $s$ หากว่าคุณสามารถเพิ่มขีดความสามารถของ $n-2$ ขอบเพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีขนาดตัดต่ำสุด $s$. แนวคิดก็คือ$n-2$ ขอบก็เพียงพอแล้วที่จะบังคับให้กราฟแสดงผลให้มีการตัด จำกัด เพียงหนึ่งความจุและนั่นอาจเป็นการตัดที่คุณเลือก

ความคิดนี้ไม่ได้ผลเพราะจะได้รับการตัด $(C, V\setminus C)$คุณต้องกราฟย่อยที่เกิดจาก $C$ และ $V\setminus C$แต่ละคนจะเชื่อมต่อ แต่คุณสามารถแก้ไขได้ด้วยอุปกรณ์ที่เหมาะสม

พิสูจน์ รับกราฟเชื่อมต่อ$G=(V,E)$กําหนดการเชื่อมตอที่จะตัด$(C,V\setminus C)$ เช่นนั้นกราฟย่อยที่เกิดจาก $C$ และโดย $V\setminus C$มีการเชื่อมต่อแต่ละ กำหนดMax Connected Cutให้เป็นปัญหาในการค้นหาคัตที่เชื่อมต่อ (ในกราฟที่เชื่อมต่อที่กำหนด) เพิ่มจำนวนของขอบที่ตัดข้าม

เราแสดงให้เห็นว่า Max Connected Cut ช่วยลดปัญหาในการโพสต์ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าการตัด Max ที่ไม่ได้ลดน้ำหนักไปเป็นการตัดการเชื่อมต่อสูงสุด

บทที่ 1. Max Connected Cut ลดเวลาโพลีตามปัญหาที่กำหนดในโพสต์

พิสูจน์ กำหนดอินสแตนซ์ Max-Connected-Cut$G=(V,E)$, ปล่อย $k=|V|-2$. เพื่อพิสูจน์บทแทรกเราพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้:

รับสิทธิ์ 1: สำหรับใด ๆ$s>0$มีการตัดการเชื่อมต่อ $(C,V\setminus C)$ ใน $G$ ของความจุอย่างน้อย $s$, IFF เป็นไปได้ที่จะเพิ่ม $k$ ความจุขอบใน $G$ ถึงอินฟินิตี้เพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด $s$.

เฉพาะในกรณีที่: สมมติว่ามีการตัดการเชื่อมต่อ $(C,V\setminus C)$ ของความจุอย่างน้อย $s$. ปล่อย$T_1$ และ $T_2$ เป็นทรี Spanning ตามลำดับ $C$ และ $V\setminus C$จากนั้นเพิ่มความสามารถของขอบใน $T_1$ และ $T_2$. (โปรดสังเกตว่า$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$.) การตัด จำกัด กำลังการผลิตเหลือเพียงอย่างเดียวในกราฟนั้นคือ $(C, V\setminus C)$อย่างน้อยความจุ $s$ดังนั้นกราฟผลลัพธ์จึงมีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด $s$.

หาก: สมมติว่าเป็นไปได้ที่จะเพิ่ม $k$ ความจุขอบใน $G$ เพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด $s$. พิจารณากราฟย่อยที่เกิดจากการ$k$ขอบยก โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปถือว่าเป็นกราฟย่อยนี้ (มิฉะนั้น "unraise" หนึ่งขอบจากวงจรของขอบที่ยกขึ้นและเพิ่มขอบ unraised บางส่วนที่รวมสองส่วนประกอบที่เชื่อมต่อจาก subgraph เพียงเพิ่มการตัดขั้นต่ำในกราฟผลลัพธ์) โดยการเลือก$k=n-2$กราฟย่อยของขอบยกมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองชิ้น $C$ และ $V\setminus C$ดังนั้นความสามารถที่ จำกัด เพียงอย่างเดียวในกราฟที่ได้คือ $(C,V\setminus C)$. และการตัดนี้มีความสามารถอย่างน้อย$s$เหมือนในกราฟต้นฉบับ

สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง (และบทแทรก) (QED)

เพื่อความสมบูรณ์เราแสดงให้เห็นว่า Max Connected Cut นั้นสมบูรณ์แบบ NP โดยการลดจาก Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วง

บทแทรก 2. ชั่งแม็กซ์ตัดลดในเวลาที่โพลีแม็กซ์ตัดการเชื่อมต่อ

พิสูจน์ สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ$N\ge 1$กำหนดกราฟ $P(N)$ ประกอบด้วยสองเส้นทาง $A$ และ $B$แต่ละความยาว $N$มีขอบจากแต่ละจุดยอด $A$ ไปยังแต่ละจุดสุดยอดใน $B$. เราปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดให้กับผู้อ่านเพื่อตรวจสอบว่ามีการตัดสูงสุด$P(N)$ ($A$ ด้านหนึ่ง $B$ อื่น ๆ ) มีขนาด $N^2$และไม่มีการตัดอื่น ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่าพูด $N^2-N/100$.

นี่คือการลด รับอินสแตนซ์ Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วง$G=(V,E)$สร้างกราฟ $G'=(V',E')$ดังนี้ ปล่อย$n=|V|$. ปล่อย$N = 100(n^2 + 2n)$. เพิ่ม$G$ กราฟ $P(N)$ กำหนดไว้ด้านบน (ด้วยสองพา ธ $A$ และ $B$) จากแต่ละจุดสุดยอด$v\in V$ เพิ่มขอบให้กับจุดสุดยอดหนึ่งจุด $A$ และอีกขอบหนึ่งถึงจุดยอด $B$. สิ่งนี้กำหนดการลด เพื่อให้เสร็จสมบูรณ์เราพิสูจน์ว่าถูกต้อง:

รับสิทธิ์ 2: สำหรับทุกคน$s\ge 0$มีการตัด $(C,V\setminus C)$ ใน $G$ ของความจุอย่างน้อย $s$IFF มีการเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน $G'$ ขนาดอย่างน้อย $s+N^2+n$.

เฉพาะในกรณีที่: ได้รับการตัดใด ๆ $(C,V\setminus C)$ ใน $G$ ของความจุอย่างน้อย $s$พิจารณาตัดที่เชื่อมต่อ $(A\cup C, B\cup V\setminus C)$ ใน $G'$. การเชื่อมต่อนี้ตัด$G'$ ตัดอย่างน้อย $s$ ขอบจาก $C$ ถึง $V\setminus C$บวก $N^2$ ขอบจาก $A$ ถึง $B$บวก $n$ ของ $2n$ ขอบจาก $V$ ถึง $A\cup B$.

หาก: สมมติว่ามีการตัดการเชื่อมต่อ $G'$ ขนาดอย่างน้อย $s+N^2+n$. $A$ และ $B$อยู่ด้านตรงข้ามของการตัด (มิฉะนั้นนับตั้งแต่การตัดครั้งที่สองที่ใหญ่ที่สุดใน$P(N)$ ตัดมากที่สุด $N^2-N/100$ ขอบใน $P(N)$จำนวนการตัดขอบทั้งหมดจะมากที่สุด $N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$.) ปล่อย $C$ แสดงถึงจุดยอดใน $V$ ที่ด้านข้างของการตัดด้วย $A$. จากนั้นก็มี$N^2$ ขอบในการตัดจาก $A$ ถึง $B$และ $n$ จาก $V$ ถึง $A\cup B$ดังนั้นต้องมีอย่างน้อย $s$ จาก $C$ ถึง $V\setminus C$.

สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้องและเลมม่า 2 (QED)

โดย Lemmas 1 และ 2 เนื่องจาก Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนักเป็น NP-hard ปัญหาในการโพสต์ก็คือ NP-hard