ทฤษฎีบท. ปัญหาในการโพสต์คือ NP-hard
โดย "ปัญหาในการโพสต์" ฉันหมายถึงให้กราฟ G=(V,E)G=(V,E) และจำนวนเต็ม kk, เลือก kk ขอบเพื่อเพิ่มกำลังการผลิตเพื่อเพิ่มการตัดขั้นต่ำในกราฟที่แก้ไข
แนวคิดคือลดจาก Max Cut กราฟประมาณที่กำหนดG=(V,E)G=(V,E) มีขนาดการตัดสูงสุด ss หากว่าคุณสามารถเพิ่มขีดความสามารถของ n-2n−2 ขอบเพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีขนาดตัดต่ำสุด ss. แนวคิดก็คือn-2n−2 ขอบก็เพียงพอแล้วที่จะบังคับให้กราฟแสดงผลให้มีการตัด จำกัด เพียงหนึ่งความจุและนั่นอาจเป็นการตัดที่คุณเลือก
ความคิดนี้ไม่ได้ผลเพราะจะได้รับการตัด (ค,V∖ค)(C,V∖C)คุณต้องกราฟย่อยที่เกิดจาก คC และ V∖คV∖Cแต่ละคนจะเชื่อมต่อ แต่คุณสามารถแก้ไขได้ด้วยอุปกรณ์ที่เหมาะสม
พิสูจน์
รับกราฟเชื่อมต่อG=(V,E)G=(V,E)กําหนดการเชื่อมตอที่จะตัด(ค,V∖ค)(C,V∖C) เช่นนั้นกราฟย่อยที่เกิดจาก คC และโดย V∖คV∖Cมีการเชื่อมต่อแต่ละ กำหนดMax Connected Cutให้เป็นปัญหาในการค้นหาคัตที่เชื่อมต่อ (ในกราฟที่เชื่อมต่อที่กำหนด) เพิ่มจำนวนของขอบที่ตัดข้าม
เราแสดงให้เห็นว่า Max Connected Cut ช่วยลดปัญหาในการโพสต์ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าการตัด Max ที่ไม่ได้ลดน้ำหนักไปเป็นการตัดการเชื่อมต่อสูงสุด
บทที่ 1. Max Connected Cut ลดเวลาโพลีตามปัญหาที่กำหนดในโพสต์
พิสูจน์ กำหนดอินสแตนซ์ Max-Connected-CutG=(V,E)G=(V,E), ปล่อย k=|V|-2k=|V|−2. เพื่อพิสูจน์บทแทรกเราพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้:
รับสิทธิ์ 1: สำหรับใด ๆs>0s>0มีการตัดการเชื่อมต่อ (ค,V∖ค)(C,V∖C) ใน GG ของความจุอย่างน้อย ss, IFF เป็นไปได้ที่จะเพิ่ม kk ความจุขอบใน GG ถึงอินฟินิตี้เพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด ss.
เฉพาะในกรณีที่: สมมติว่ามีการตัดการเชื่อมต่อ (ค,V∖ค)(C,V∖C) ของความจุอย่างน้อย ss. ปล่อยT1T1 และ T2T2 เป็นทรี Spanning ตามลำดับ คC และ V∖คV∖Cจากนั้นเพิ่มความสามารถของขอบใน T1T1 และ T2T2. (โปรดสังเกตว่า|T1|+|T2|=|ค|-1+|V∖ค|-1=|V|-2=k|T1|+|T2|=|C|−1+|V∖C|−1=|V|−2=k.) การตัด จำกัด กำลังการผลิตเหลือเพียงอย่างเดียวในกราฟนั้นคือ (ค,V∖ค)(C,V∖C)อย่างน้อยความจุ ssดังนั้นกราฟผลลัพธ์จึงมีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด ss.
หาก: สมมติว่าเป็นไปได้ที่จะเพิ่ม kk ความจุขอบใน GG เพื่อให้กราฟผลลัพธ์มีความสามารถในการตัดขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุด ss. พิจารณากราฟย่อยที่เกิดจากการkkขอบยก โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปถือว่าเป็นกราฟย่อยนี้ (มิฉะนั้น "unraise" หนึ่งขอบจากวงจรของขอบที่ยกขึ้นและเพิ่มขอบ unraised บางส่วนที่รวมสองส่วนประกอบที่เชื่อมต่อจาก subgraph เพียงเพิ่มการตัดขั้นต่ำในกราฟผลลัพธ์) โดยการเลือกk=n-2k=n−2กราฟย่อยของขอบยกมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองชิ้น คC และ V∖คV∖Cดังนั้นความสามารถที่ จำกัด เพียงอย่างเดียวในกราฟที่ได้คือ (ค,V∖ค)(C,V∖C). และการตัดนี้มีความสามารถอย่างน้อยssเหมือนในกราฟต้นฉบับ
สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง (และบทแทรก) (QED)
เพื่อความสมบูรณ์เราแสดงให้เห็นว่า Max Connected Cut นั้นสมบูรณ์แบบ NP โดยการลดจาก Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วง
บทแทรก 2. ชั่งแม็กซ์ตัดลดในเวลาที่โพลีแม็กซ์ตัดการเชื่อมต่อ
พิสูจน์ สำหรับจำนวนเต็มใด ๆยังไม่มีข้อความ≥1N≥1กำหนดกราฟ P(ยังไม่มีข้อความ)P(N) ประกอบด้วยสองเส้นทาง AA และ BBแต่ละความยาว ยังไม่มีข้อความNมีขอบจากแต่ละจุดยอด AA ไปยังแต่ละจุดสุดยอดใน BB. เราปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดให้กับผู้อ่านเพื่อตรวจสอบว่ามีการตัดสูงสุดP(ยังไม่มีข้อความ)P(N) (AA ด้านหนึ่ง BB อื่น ๆ ) มีขนาด ยังไม่มีข้อความ2N2และไม่มีการตัดอื่น ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่าพูด ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100N2−N/100.
นี่คือการลด รับอินสแตนซ์ Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วงG=(V,E)G=(V,E)สร้างกราฟ G'=(V',E')G′=(V′,E′)ดังนี้ ปล่อยn=|V|n=|V|. ปล่อยยังไม่มีข้อความ=100(n2+2n)N=100(n2+2n). เพิ่มGG กราฟ P(ยังไม่มีข้อความ)P(N) กำหนดไว้ด้านบน (ด้วยสองพา ธ AA และ BB) จากแต่ละจุดสุดยอดโวลต์∈Vv∈V เพิ่มขอบให้กับจุดสุดยอดหนึ่งจุด AA และอีกขอบหนึ่งถึงจุดยอด BB. สิ่งนี้กำหนดการลด เพื่อให้เสร็จสมบูรณ์เราพิสูจน์ว่าถูกต้อง:
รับสิทธิ์ 2: สำหรับทุกคนs≥0s≥0มีการตัด (ค,V∖ค)(C,V∖C) ใน GG ของความจุอย่างน้อย ssIFF มีการเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน G'G′ ขนาดอย่างน้อย s+ยังไม่มีข้อความ2+ns+N2+n.
เฉพาะในกรณีที่: ได้รับการตัดใด ๆ (ค,V∖ค)(C,V∖C) ใน GG ของความจุอย่างน้อย ssพิจารณาตัดที่เชื่อมต่อ (A∪ค,B∪V∖ค)(A∪C,B∪V∖C) ใน G'G′. การเชื่อมต่อนี้ตัดG'G′ ตัดอย่างน้อย ss ขอบจาก คC ถึง V∖คV∖Cบวก ยังไม่มีข้อความ2N2 ขอบจาก AA ถึง BBบวก nn ของ 2n2n ขอบจาก VV ถึง A∪BA∪B.
หาก: สมมติว่ามีการตัดการเชื่อมต่อ G'G′ ขนาดอย่างน้อย s+ยังไม่มีข้อความ2+ns+N2+n. AA และ BBอยู่ด้านตรงข้ามของการตัด (มิฉะนั้นนับตั้งแต่การตัดครั้งที่สองที่ใหญ่ที่สุดในP(ยังไม่มีข้อความ)P(N) ตัดมากที่สุด ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100N2−N/100 ขอบใน P(ยังไม่มีข้อความ)P(N)จำนวนการตัดขอบทั้งหมดจะมากที่สุด ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100+|E|+2|V|≤ยังไม่มีข้อความ2-ยังไม่มีข้อความ/100+n2+2n=ยังไม่มีข้อความ2N2−N/100+|E|+2|V|≤N2−N/100+n2+2n=N2.) ปล่อย คC แสดงถึงจุดยอดใน VV ที่ด้านข้างของการตัดด้วย AA. จากนั้นก็มียังไม่มีข้อความ2N2 ขอบในการตัดจาก AA ถึง BBและ nn จาก V ถึง A∪Bดังนั้นต้องมีอย่างน้อย s จาก ค ถึง V∖ค.
สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้องและเลมม่า 2 (QED)
โดย Lemmas 1 และ 2 เนื่องจาก Max Cut ที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนักเป็น NP-hard ปัญหาในการโพสต์ก็คือ NP-hard