SMT ที่สลับซับซ้อนอย่างซับซ้อน

ฉันกำลังมองหาความซับซ้อนของความน่าพอใจของสูตร $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ หรือสูตร $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ ที่ไหน $\phi$ เป็นสูตรของแบบฟอร์ม:

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$ ที่ไหน

c

$c$ เป็นค่าคงที่

N

$\mathbb{N}$ และโดเมนของตัวแปร

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$ เป็นยัง

N

$\mathbb{N}$ .

อันที่จริงแล้ว $y_i$ มีทั้ง $0$ หรือ $1$ . นั่นซับซ้อนความซับซ้อนหรือไม่?

คำตอบทั้งหมดที่มีการอ้างอิงจะได้รับการยอมรับอย่างยินดี

ขอบคุณ

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— wece
แหล่งที่มา

ถ้า phi เป็น Boolean แสดงว่าคุณอยู่ในลำดับที่สองของพหุนามเนื่องจากฉันสามารถแก้ปัญหาได้โดยเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดค่าโดยใช้ตัวแก้ SAT เป็น oracle เหตุผลเดียวกับที่นี่จะไม่ทำงานใช่ไหม

— Mikolas

ตามที่ระบุไว้ในคำถามที่ดูเหมือนว่าตัดสินไม่ได้แม้กระทั่งเพราะมันรวมถึงปัญหา Hilberts 10 en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— แมกนัสค้นหา

@ MagnusFind ขอบคุณคุณพูดถูก แต่อันที่จริงฉันไม่มีการคูณ (แก้ไขขอโทษ)

— wece

@ Mikolas ตามระดับที่สองที่คุณหมายถึง

Π_{2}

$\Pi_2$ หรือ

Σ_{2}

$\Sigma_2$ ? ไม่คุ้นเคยกับลำดับชั้นของพหุนามขออภัย

— wece

คุณมีตัวแปรอิสระอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ปริมาณที่วัดได้หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณควรชี้แจงด้วย Btw การสังเกตง่าย ๆ ดูเหมือนว่านี่เป็นเรื่องยากอย่างน้อยสำหรับลำดับชั้นพหุนามระดับที่สามแม้ว่าคุณจะใช้ตัวแปรเชิงปริมาณเป็น

0

$0$ และ

1

$1$ .

— Kaveh

คำตอบ:

คำถามของความจริงในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Presburger ที่มีการสลับปริมาณที่มีขอบเขตได้รับการตอบค่อนข้างแม่นยำโดย Reddy และ Loveland:

CR Reddy & DW Loveland: เลขคณิตของ Presburger พร้อมการสลับปริมาณที่ถูกจำกัด

อาจพบกระดาษที่นี่ (ขออภัยสำหรับลิงค์ที่น่าเกลียด) ผลลัพธ์หลักของพวกเขาระบุไว้ดังนี้:

การเป็นสมาชิกใน $\mathrm{PA}(m)$ (ในกรณีที่ $m$ คือจำนวนทางเลือกของตัวระบุปริมาณ) ของความยาว $n$ สามารถตัดสินใจได้ภายในพื้นที่
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ และในเวลา (กำหนด) $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ ที่ไหน $d$ และ $e$ เป็นค่าคงที่

สละ $m=2$ นี่ดูเหมือนจะให้ขอบเขตอย่างน้อยที่สุดกับสิ่งที่คุณต้องการและฉันคิดว่ามันไม่ไกลจากที่แน่นเพราะคุณมีสูตรปรมาณู Presburger เกือบเต็ม "ที่รูต"

— Cody
แหล่งที่มา

การสลับหนึ่งครั้งในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Presburger นั้นเพียงพอที่จะได้รับขอบเขตที่น้อยลงของเอ็กซ์โพเนนเชียลซึ่งเป็นสูตรที่แม่นยำกว่าในคำถามที่มี $m=1$ และ $n$ ไม่คงที่พอเพียง ( Grädel 1989 )

— ซิลแว็ง
แหล่งที่มา

ฉันไม่ทราบการอ้างอิงสำหรับส่วนที่เป็นปริมาณ แต่ปัญหาของคุณไม่เหมือนกับการตัดสินใจเลือกชิ้นส่วนที่ได้รับการศึกษาเป็นอย่างดีของ Presburger เลขคณิตเพราะคุณมีค่าสัมประสิทธิ์หน่วย

เอกสารด้านล่างโดย Pratt ศึกษากรณีที่มีข้อ จำกัด ของแบบฟอร์ม $x + c < y$ ที่ไหน $x$ และ $y$ เป็นตัวแปรและ $c$ ในจำนวนธรรมชาติ เขาแสดงให้เห็นว่าปัญหาในการตัดสินใจว่าการรวมกันของข้อ จำกัด ดังกล่าวสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้อัลกอริทึมกราฟ

ทฤษฎีง่าย ๆ สองข้อที่การรวมกันเป็นเรื่องยาก แพรตต์ 2520

ส่วนนี้เรียกว่าตรรกะที่แตกต่างและเป็นช่วงเวลาสั้น ๆ แต่น่าเสียดายที่เรียกว่าตรรกะการแยก (เพราะ $x$ และ $y$ ถูกคั่นด้วยค่าคงที่) กระดาษต่อไปนี้ให้มุมมองที่ใช้งานได้จริงของการแก้ปัญหาส่วนที่ไม่มีปริมาณของตัวนับ

การตัดสินใจสูตรแยกลอจิกโดย SAT และการกำจัดเชิงลบเพิ่มรอบ Chao Wang, Franjo Ivančić, มาเลย์ Ganai, Aarti Gupta, 2005

ในปัจจุบันคำถามของคุณอนุญาตเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ $0$ และ $1$ . หากคุณอนุญาต $-1$ ค่าสัมประสิทธิ์การรวมของข้อ จำกัด ที่คุณได้รับเรียกว่าoctagonsในวรรณคดีวิเคราะห์โปรแกรม คำสันธานและ disjunctions จำกัด เป็นรูปแบบตรรกะของตัวแปรสองหน่วยต่อความไม่เท่าเทียมกัน (UTVPI) การแนะนำอัลกอริทึมการสำรวจกระดาษต่อไปนี้สำหรับการตัดสินใจความพึงพอใจของการเชื่อมโยงของข้อ จำกัด UTVPI ที่ไม่มีปริมาณ

ขั้นตอนการตัดสินใจที่มีประสิทธิภาพสำหรับข้อ จำกัด UTVPI Shuvendu K. Lahiri และ Madanlal Musuvathi, 2005

เรายังคงอยู่ในส่วนที่ จำกัด อย่างมาก ส่วนขยายของคำสันธานของ $n$ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ -variable หน่วยได้เรียกว่าแปดด้าน มันเป็นส่วนขยายตามธรรมชาติที่ฉันคาดหวังว่าจะได้รับการศึกษาในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์และวรรณกรรมการเพิ่มประสิทธิภาพ แต่ฉันไม่ทราบว่าวรรณกรรมตัวเอง กระดาษด้านล่างให้ $\mathcal{O}(3^n)$ ขั้นตอนสำหรับการตัดสินใจความพึงพอใจของข้อ จำกัด ดังกล่าว โปรดทราบว่าเรายังคงอยู่ในส่วนที่ว่างของปริมาณ

โดเมนนามธรรมของ Octahedron Robert Clarisóและ Jordi Cortadella, 2004

สำหรับกรณีการวัดปริมาณแบบ จำกัด ขอบเขตฉันไม่ทราบผลลัพธ์ที่ดีกว่าของเรดดี้และเลิฟแลนด์ แต่ผู้เชี่ยวชาญอาจชี้คุณไปในทิศทางที่ถูกต้อง

— วีเจย์ดี
แหล่งที่มา