เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้พบกับความแตกต่างของสีขอบ
ให้กราฟที่ไม่มีการเชื่อมโยงที่เชื่อมโยงหาสีของขอบที่ใช้จำนวนสีสูงสุดพร้อมกับข้อ จำกัด ที่สำหรับทุกจุดยอดขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับใช้มากที่สุดสองสี
การเดาครั้งแรกของฉันคือปัญหาคือปัญหายาก การพิสูจน์แบบ NP-hard แบบคลาสสิกสำหรับปัญหาการระบายสีกราฟส่วนใหญ่จะลดลงจาก 3SAT แต่ในความคิดของฉันการพิสูจน์เหล่านี้ไม่มีประโยชน์สำหรับปัญหานี้เพราะขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับจุดสุดยอดสามารถใช้สีเดียวกันได้ดังนั้นเราจึงไม่สามารถสร้างส่วนประกอบตรรกะในกราฟได้
ปัญหานี้อาจเป็นปัญหาหรือไม่ ถ้าใช่หลักฐานคืออะไร? หากเราไม่สามารถพิสูจน์หลักฐานได้มีวิธีใดบ้างในการกำหนดความซับซ้อนของปัญหานี้
ขอบคุณ!
บางทีการระบายสีแบบไฮเปอร์กราฟหรือผสมสีอาจเป็นการเริ่มต้น? ตัวอย่างเช่นdx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019
—
András Salamon
ดูเหมือนว่าปัญหาของคุณอยู่ใน P ในสองขั้นตอน: (1) ปัญหาของคุณเทียบเท่ากับการหาเซตย่อยขนาดสูงสุดของขอบเพื่อให้จุดยอดทุกจุดมีระดับสูงสุดสองและ (2) ปัญหาหลังดูเหมือนจะอยู่ใน P โดยพูดลดการจับคู่ เกี่ยวกับ (1) โปรดทราบว่าการแก้ปัญหาใด ๆ ของคุณที่มีสี k ให้ค่า subgraph ระดับ -2 ของ k ขนาด (เพียงแค่เก็บขอบหนึ่งจากแต่ละสี) และในทางกลับกัน subgraph ที่มีระดับ degree-2 k จะให้คำตอบกับ k สี (เพียงแค่ระบายสีแต่ละขอบในกราฟย่อยสีของมันเองแล้วระบายสีส่วนที่เหลือของขอบด้วยสีใดสีหนึ่ง) ฉันพลาดอะไรไป
—
Neal Young
ฉันขอโทษที่คำตอบของคุณมีข้อผิดพลาดหลายอย่าง ในตอนแรกปัญหา "การหาส่วนย่อยขนาดสูงสุดของขอบอย่างที่ทุก ๆ จุดยอดมีระดับมากที่สุดสอง" คือ NP-hard ลดลงถึง 3SAT (ฉันไม่รู้จริง ๆ ว่ามันจะลดการจับคู่อย่างไร) ยิ่งไปกว่านั้น "กราฟย่อยใด ๆ ขององศา -2 ขนาด k" ไม่ได้ให้ "วิธีแก้ปัญหาด้วยสี k" เช่นกราฟที่สมบูรณ์ ขอบคุณทุกคนเหมือนกัน
—
RIC_Eien
ใช่คุณพูดถูก. เกี่ยวกับ (2) ขั้นตอน "สีขอบที่เหลือด้วยสีใดสีหนึ่ง" สามารถให้ขอบจุดยอดสีสามสี แยกต่างหาก Marek Chrobak แนะนำอัลกอริทึมต่อไปนี้ให้ฉัน ฉันคิดว่ามันให้การประมาณ 3 แบบ: (i) ค้นหาการจับคู่สูงสุด M; (ii) สีแต่ละขอบใน M สีที่เป็นเอกลักษณ์ (iii) สีขอบสีขาวที่เหลืออยู่
—
Neal Young
@RIC_Eien: มีความเสี่ยงที่จะเกิดความอับอายต่อไป .. คุณแน่ใจหรือไม่ว่า "ปัญหา" ในการหาเซตย่อยขนาดสูงสุดของขอบที่จุดสุดยอดทุกอันมีระดับสูงสุดสองระดับ 'คือ NP-hard "หรือไม่? รับ G = (V, E), สร้าง bipartite G2 = (U, W, E2), โดยที่แต่ละจุดยอด v ใน V มี v 'ใน U และ v' 'ใน W, และ E2 = {(u', w ''): (u, w) ใน E} จากนั้นการจับคู่ใน G2 จะตรงกับขอบของชุดองศา 2 ใน G และการโต้ตอบนั้นจะรักษาขนาดไว้หรือไม่? (เนื่องจากแต่ละวงจร k ใน C ใน G สอดคล้องกับ G2 ทั้ง 2k- รอบ (ถ้า k แปลก) หรือสองรอบ k (ถ้า k แม้) ดังนั้นการจับคู่สูงสุดใน G2 แก้มัน สิ่งที่ฉันหายไปคราวนี้?
—
Neal Young