ความซับซ้อนของการคำนวณระยะทางเฉลี่ยของกราฟ

ให้เป็นระยะทางเฉลี่ยของกราฟที่เชื่อมต่อ$\rm{ad}(G)$$G.$

วิธีหนึ่งในการคำนวณคือการสรุปองค์ประกอบของเมทริกซ์ระยะทางของและปรับขนาดผลรวมอย่างเหมาะสม$\rm{ad}(G)$$D(G),$$G$

หากกราฟผลลัพธ์เป็นต้นไม้จะทราบได้ว่าระยะทางเฉลี่ยสามารถคำนวณในเวลาเชิงเส้นได้ (ดู B.Mohar, T.Pisanski - วิธีคำนวณดัชนี Wiener ของกราฟ) ดูเหมือนจะมีอัลกอริธึมที่รวดเร็วสำหรับกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ที่ จำกัด ขอบเขตเช่นกัน

คำถามที่น่าสนใจคือว่าช่วยให้รู้จักในคำอื่น ๆ$D(G).$

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะคำนวณในเวลากำลังสองย่อย?$\rm{ad}(G)$

สิ่งที่ฉันสนใจในการรู้คือถ้ามีขอบเขตล่างทางทฤษฎีว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปไม่ได้

การคำนวณโฆษณา (G) ในเวลาสำหรับค่าคงที่แม้ในกราฟที่มีขอบและจุดยอดจะบ่งบอกว่าการคาดการณ์เวลาแบบทวีคูณอย่างมาก (SETH ) เป็นเท็จ (SETH ถูกกำหนดโดย Impagliazzo, Paturi และ Zane'01 และบอกเป็นนัยว่า CNF-SAT กับตัวแปรไม่มีอัลกอริธึมเวลา)$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$$\tilde{O}(n)$$n$$n$$O(2^{(1-\varepsilon)n})$

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้โปรดทราบว่าเมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พิสูจน์ด้วย (อัลกอริทึมการประมาณค่าอย่างรวดเร็วสำหรับเส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีของกราฟกระจัดกระจาย Liam Roditty, V. Vassilevska Williams STOC'13.) หากสามารถแยกแยะกราฟระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 และ 3 ใน subquadratic เวลา SETH เป็นเท็จ หลักฐานผ่านการลดจาก CNF-SAT การลดแบบเดียวกันสามารถใช้เพื่อแสดงว่าการคำนวณโฆษณา (G) ในเวลา subquadratic แสดงให้เห็นว่า SETH เป็นเท็จเนื่องจากระยะทางเฉลี่ยในกราฟในการลดจะเป็น (โดยที่และจำนวนโหนดและขอบในอินสแตนซ์การลดขนาด) หากอินสแตนซ์ CNF-SAT ไม่น่าพอใจและยิ่งกว่านั้นหากมีการมอบหมายที่น่าพอใจ$2-M/{N\choose 2}$$N$$M$