ปัญหาของผู้ตรวจสอบ (รุ่น / อินสแตนซ์การตัดสินใจของ SAT / คำตอบ)

11

ผู้ช่วยสอนของหลักสูตรสามารถเขียนโปรแกรมที่ (กำหนดขึ้น) สร้างคำถามสอบที่ยาก ตอนนี้เธอต้องการเขียนโปรแกรมที่สร้างคำตอบที่สอดคล้องกัน ปัญหาของผู้ตรวจสอบถามว่าเรื่องนี้เป็นไปได้เสมอ; ตรวจสอบของการคาดคะเนกล่าวว่าสมมติก็จะไม่ได้ : ขึ้นมาพร้อมกับปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นเรื่องง่ายกว่าขึ้นมาพร้อมกับโซลูชั่นของพวกเขา $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

อีกอย่างเป็นทางการให้เป็นเครื่องทัวริงกำหนดว่าในการป้อนข้อมูลสร้างในเวลาพหุนามสูตรบูลีนขนาดnผมอยากจะรู้ว่าถ้าทั้งหมดเช่นมีอยู่กำหนดเวลาพหุนามทัวริงเครื่องว่าในการป้อนข้อมูล , เอาท์พุท " " ถ้ามีการกำหนดความพึงพอใจและ " " เป็นอย่างอื่น . $M$ $1^n$ $n$ $M$ $M'$ $1^n$ $1$ $M(1^n)$ $0$

สมมติว่า $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ มีคำถามนี้ถูกถามหรือตอบแล้ว? หากไม่ได้รับคำตอบข้อสมมติฐานเพิ่มเติมประเภทใดบ้าง ( เช่นฟังก์ชั่นทางเดียว?) อาจมีผลต่อ? นอกจากการคาดเดาใด ๆ ข้างต้น "การคาดคะเน" ของฉันก็คือ "การตอบกลับ" TM ไม่ได้มีอยู่เสมอไป แต่สัญชาตญาณของคุณคืออะไร?

ขอบคุณ!

cc.complexity-theory uniformity

— usul
แหล่งที่มา

ขอผมแน่ใจว่าผมมีปริมาณที่ถูกต้อง คุณกำลังถามว่า "สำหรับ

ทั้งหมดมี

หรือไม่เช่นนั้น

สามารถแก้ปัญหาเอาต์พุตของ

อย่างมีประสิทธิภาพ" จริงหรือไม่?

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M

$M$

— Tyson Williams

@TysonWilliams: ใช่ฉันได้แก้ไขข้อความเล็กน้อยเพื่อพยายามทำให้ชัดเจน คำพูดของคุณควรจะเป็นฉันคิดว่าเทียบเท่ากับฉัน!

— usul

1

เนื่องจาก Emanuele ชี้ให้เห็นว่านี่อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหาจริงๆคุณอาจต้องการสร้างคู่ของอินสแตนซ์โซลูชันซึ่งการแก้ไขอินสแตนซ์นั้นเป็น "ยาก" อาจเกี่ยวข้องกับสิ่งที่คุณกำลังมองหา: 1. คำตอบของเดวิดที่นี่และ 2. ส่วนที่ 6 ของสตีเฟ่นเอ. คุกและเดวิดจีมิทเชล "การค้นหากรณีที่น่าพอใจของปัญหาความพึงพอใจ: การสำรวจ " 1997

— Kaveh

12

คำถามที่คุณถามนั้นมีค่าเท่ากับ unary NP = unary P ซึ่งจะเท่ากับ NE = E โดยการเติมเต็ม

จากชื่อเรื่องบางทีคุณอาจต้องถามว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างคู่อินพุต / เอาต์พุตเช่นว่าการแจกแจงในอินพุตนั้นจะ "ยาก" ความเป็นไปได้ของการทำเช่นนี้อยู่ระหว่าง P NP และฟังก์ชันทางเดียว $\ne$

ในแบบจำลองการคำนวณที่ จำกัด เป็นที่รู้กันว่าสิ่งนี้เป็นไปได้ เช่นหนึ่งสามารถสร้างคู่อินพุต / เอาต์พุตสำหรับพาริตี้หรือฟังก์ชันส่วนใหญ่ใน AC หรือต่ำกว่า ดูความซับซ้อนของการกระจาย $^0$

— มนุ
แหล่งที่มา

1

คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมมันถึงเทียบเท่ากัน ... โดย "เหมือนกัน" ผมหมายถึง "รูปแบบเครื่องแบบของการคำนวณ" - ถ้าเราถามคำถามสำหรับวงจร, คำตอบจะเป็นนิด ๆใช่แต่ละ

จะ hardcode ทั้งหนึ่งหรือศูนย์ขึ้นอยู่กับว่า

เป็นที่น่าพอใจหรือไม่

M_{n}^{'}

$M'_n$

M_{n}

$M_n$

— usul

4

แต่ละ

ให้ภาษานับใน NP:

. ดังนั้นหากเอก-NP เท่ากับเอก-P แล้ว

เป็นเครื่องที่ตัดสินใจ

M

ในอีกทางหนึ่งให้ใช้ภาษาที่นับรวมใน NP และนำ

เป็นเครื่องที่ลดให้เหลือ SAT ถ้า

มีอยู่แล้วภาษานับเป็นเช่นกันใน P ดังนั้น unary P = unary NP สำหรับการเทียบเท่าที่สองคุณสามารถตรวจสอบ Hartmanis และคณะ (แต่ทิศทางเดียวนั้นง่ายมาก) dl.acm.org/citation.cfm?id=808769

M

$M$

L_{M} = {1^{n} : M (1^{n}) is satisfiable.}

$L_M =\{1^n: M(1^n) \text{ is satisfiable.}\}$

M^{'}

$M'$

L_{M}

$L_M$

M

$M$

M^{'}

$M'$

— Sasho Nikolov

4

คำถาม: ให้สร้างสูตร ไม่เป็นของ ? $M\in \mathsf{PF}$ $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ ใช่:

สมมติฐานเกี่ยวกับการสร้างสูตรในเวลาพหุนามจากหมายความว่าสูตรที่สามารถชัดถ้อยชัดคำที่กำหนด คุณต้องการที่จะตัดสินใจ satisfiability พวกเขาในเวลา ) $1^n$ $n^{O(1)}$

รับเราสามารถหาในเวลาพหุนามใน. จากนั้นสามารถระบุชัดถ้อยชัดคำในบิตใช้และnเราสามารถใช้ของเราอัลกอริทึมในที่จะตัดสินใจในเวลานี้ $\varphi = M(1^n)$ $n$ $|\varphi|$ $\varphi$ $\lg n+O(1)$ $M$ $n$ $succintSAT$ $\mathsf{E}$ ) $2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

ใช่ : $\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

ขอให้ ST รับวงจรในเอก , คำนวณสตริงเข้ารหัสชัดถ้อยชัดคำโดยและผลตอบแทนที่ได้ผลถ้ามันเป็นสูตรและมิฉะนั้น $M \in \mathsf{PF}$ $C$ $M$ $C$ $\bot$

สมมติว่าเป็นของPเพื่อแก้เราเขียนสูตรรวบรัดได้รับในเอกแล้วใช้สมมติฐานของเราที่จะแก้ปัญหาได้ $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$ $succinctSAT$

คำถาม: เราสามารถสร้างคู่โพลีโนเมียล - เวลา - วิธีแก้ปัญหาสำหรับไหม $SAT$

เราต้องชี้แจงสิ่งที่เราหมายถึงโดยอินสแตนซ์ที่ยากเช่นเดียวกับตัวเองใด ๆ (ในทางทฤษฎี) เป็นเรื่องง่ายเพราะมันสามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึมที่มักจะบอกว่าใช่หรืออัลกอริทึมที่บอกว่าไม่มีเสมอ ดูเหมือนว่าคุณพยายามที่จะแก้ไขปัญหานี้ด้วยการกำหนดความเหมือนกัน การคิดในแง่ของการเข้ารหัสลับโดยไม่มีข้อมูลที่ไม่เปิดเผยต่อฝ่ายตรงข้ามไม่มีจุดใดในการซ่อนส่วนที่เหลือของการคำนวณในขณะที่ฝ่ายตรงข้ามสามารถจำลองโปรโตคอล

สมมติว่าเรามีอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่สร้างคู่อินสแตนซ์โซลูชั่น ฝ่ายตรงข้ามสามารถใช้อัลกอริทึมเดียวกันเพื่อค้นหาคำตอบถ้ารู้และค้นหาไม่ยากจากสูตร วิธีที่สมเหตุสมผลมากขึ้นคือการใช้คีย์ลับที่ถูกเลือกแบบสุ่มเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้และผ่อนคลายสภาพความแข็งให้น่าจะเป็น: ไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่มีความน่าจะเป็นสูง (โดยไม่รู้คีย์ลับ) $n$ $n$

มีที่มีประสิทธิภาพ (กำหนด) อัลกอริทึม ดังกล่าวที่ได้รับการสุ่มเลือก , สร้างคู่ของอินสแตนซ์คือ SAT และคำตอบของดังกล่าวว่า ไม่มีประสิทธิภาพ (น่าจะเป็น / ไม่สม่ำเสมอ) อัลกอริทึมศัตรู สามารถแก้ปัญหาอินสแตนซ์ SAT ที่สร้างโดย ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นไปได้อย่างถูกต้องหรือไม่ $A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$ $w_k$
$D$
$A$

หรือมากกว่านั้นอย่างเป็นทางการ

มีเช่นว่าทุกเช่นว่า สำหรับทุกและ $A\in \mathsf{PF}$ $D \in \mathsf{P/poly}$ $SAT(A(k)_1) = A(k)_2$ $k$
${P r}_{k \in {0, 1}^{n}} {D (A (k)_{1}) = S A T (A (K)_{1})} < \frac{1}{p o l y (n)}$ $\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$

$k$ $\varphi_k$ $A(k)_2$

$f$ $f(x)=y$ $f$ $y$ $\varphi_{f,y}(x)$ $x$ $\varphi_{f,y}(x)$ $SAT$ $f$ $f$

ดูบทที่ 29 และ 30 ของหนังสือของ Jan Krajicek "การบังคับด้วยตัวแปรสุ่ม" ในปี 2011 เกี่ยวกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ซับซ้อนที่พิสูจน์ได้

— Kaveh
แหล่งที่มา

M^{'}

$M'$

ปัญหาของผู้ตรวจสอบ (รุ่น / อินสแตนซ์การตัดสินใจของ SAT / คำตอบ)

คำถาม: ให้สร้างสูตร ไม่{ M ( 1 n ) | n ∈ N ∧ M ( 1 n ) ∈ S T }เป็นของP ?M∈PFM∈PFM\in \mathsf{PF}{M(1n)∣n∈N∧M(1n)∈SAT}{M(1n)∣n∈N∧M(1n)∈SAT}\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}PP\mathsf{P}

คำถาม: เราสามารถสร้างคู่โพลีโนเมียล - เวลา - วิธีแก้ปัญหาสำหรับไหมSATSATSAT

คำถาม: ให้สร้างสูตร ไม่เป็นของ ? $M\in \mathsf{PF}$ $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$

คำถาม: เราสามารถสร้างคู่โพลีโนเมียล - เวลา - วิธีแก้ปัญหาสำหรับไหม $SAT$