การทดสอบความเป็นบวกมากกว่าความเท่าเทียมกัน

Alice และ Bob มีสตริง n-bit และต้องการทราบว่าพวกเขาเท่ากันหรือไม่ในการสื่อสารเล็กน้อย วิธีการแก้ปัญหาแบบสุ่มมาตรฐานคือการรักษาสตริง n บิตเป็นพหุนามของปริญญาแล้วประเมินพหุนามมากกว่าองค์ประกอบสุ่มเลือกไม่กี่จากสนามที่มีขนาดใหญ่กว่าnนี้จะใช้เวลาการสื่อสาร $n$ $n$ $O(\log |F|)$

สมมติว่าเราแก้ไขการเรียงลำดับพจนานุกรมด้วยสตริงและต้องการแทนเพื่อพิจารณาว่าสตริงใดที่ "ใหญ่กว่า" ซึ่งเทียบเท่ากับการค้นหาบิตซ้ายสุดที่สตริงแตกต่างกัน

มีโปรโตคอลแบบสุ่มที่คล้ายกันสำหรับการทำเช่นนี้หรือขอบเขตล่างที่รู้จักกัน? ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับการทดสอบความเป็นบวกของพหุนาม

ป.ล. ในขณะที่คำสั่งทางพจนานุกรมดูเหมือนชัดเจนที่สุดฉันพอใจกับคำสั่งอื่น ๆ : เพื่อจุดประสงค์ที่ฉันสนใจสิ่งที่เราต้องการคือคำสั่งบางอย่าง

communication-complexity property-testing

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าวิธีการสุ่มแบบมาตรฐานคือการเลือกการผสมเชิงเส้นแบบสุ่มของบิตและเพียงแค่ส่งพาริตีที่เป็นผลลัพธ์ซึ่งใช้การสื่อสาร

เท่านั้น

O (1)

$O(1)$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow ฉันคิดว่ามันขึ้นอยู่กับลักษณะของการสุ่ม - สาธารณะหรือส่วนตัว โปรโตคอลที่คุณพูดถึงใช้การสุ่มของสาธารณะ

— Sasho Nikolov

สำหรับการเปรียบเทียบอาจจะคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงความซับซ้อนที่กำหนดขึ้นได้คือ

ดังนั้นโปรโตคอลเล็กน้อยจึงเหมาะสมที่สุด สิ่งนี้ให้ช่องว่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ดีระหว่างโซลูชันที่กำหนดขึ้นแน่นอนและแบบสุ่มแสดงให้เห็นว่า (อย่างน้อยในความซับซ้อนของการสื่อสาร) การสุ่มสามารถช่วยได้จริงๆ

n + 1

$n+1$

— András Salamon

อืม ... ใช่

$\:$ การสื่อสารจำเป็นสำหรับอัลกอริทึมที่ไม่เคยให้คำตอบที่ผิดและสำหรับคู่อินพุตทั้งหมดให้ MAYBE กับคู่อินพุตนั้นด้วยความน่าจะเป็นที่ 1/2 มากที่สุด?

บางทีมันอาจจะเป็นมูลค่าที่จะกล่าวถึงว่า

ซับซ้อนสื่อสารตลอดทั้งปีมากกว่าคือ

ใน IE โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นเชิงเส้นสำหรับ

ดูarxiv.org/abs/cs/0309033 มันเป็นกระดาษที่ดี :)

k

$k$

Ω (n^{1 / k} k^{- 2})

$\Omega(n^{1/k}k^{-2})$

k = 1

$k=1$

— Marc Bury

คำตอบ:

สิ่งนี้เรียกว่าปัญหามากกว่าความซับซ้อนในการสื่อสาร มีอัลกอริทึมที่มีความซับซ้อนของการสื่อสารอยู่ (แบบฝึกหัด 3.18 ในหนังสือ Nisan-Kushilevitz) $O(\log n)$

แก้ไข: อัลกอริทึมเกิดจาก Nisan (หน้า 10): http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.57.6891&rep=rep1&type=pdf

มันใช้วิธีการที่แนะนำโดย @Sasho Nikolov ด้านล่าง --- ทำการค้นหาแบบไบนารีโดยใช้การทดสอบความเท่าเทียมกันที่มีข้อผิดพลาดคงที่เพื่อทำการเปรียบเทียบ สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยแบบสอบถามโดยใช้ "อัลกอริทึมการค้นหาไบนารีที่มีเสียงดัง" โดย Feige, Peleg, Raghavan และ Upfal: http://cs.brown.edu/~eli/papers/SICOMP23FRPU.pdf $O(\log n)$

หากต้องการรับโพรโทคอลการสุ่มแบบส่วนบุคคล (ไม่ชัดเจน) สามารถใช้ผลลัพธ์ของนิวแมน: http://pdf.aminer.org/000/933/113/private_vs_common_random_bits_in_communication_complexity.pdf

— Grigory Yaroslavtsev
แหล่งที่มา

\log n

$\log n$

O (1)

$O(1)$

O (\log n \log \log n)

$O(\log n \log \log n)$

O (1 / \log n)

$O(1 / \log n)$

O (\log \log n)

$O(\log \log n)$

@SashoNikolov ตกลงฉันเดาบางอย่างเช่นนี้สามารถใช้เป็น "การค้นหาไบนารีที่มีเสียงดัง" ซึ่งยอมรับเศษเสี้ยวคงที่ของข้อผิดพลาดเพื่อให้เราสามารถใช้ความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดคงที่ในการทดสอบความเสมอภาค: dl.acm.org/citation.cfm? id = 167129

— Grigory Yaroslavtsev

จริง ฉันหมายถึงการค้นหาแบบไบนารีที่การเปรียบเทียบแต่ละครั้งสามารถให้ผลลัพธ์ที่ผิดพร้อมความน่าจะเป็นคงที่เล็กน้อย ฉันคิดว่าบทความนี้ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการตัวอย่างเช่น: dl.acm.org/citation.cfm?id=100230

— Sasho Nikolov

ย้ายการอภิปรายไปยังคำตอบ

— กริกอ Yaroslavtsev

ดูความซับซ้อนของการสื่อสารนอกจากนี้

ดังที่กล่าวไว้ว่ากริกอมีโปรโตคอลที่มีการสื่อสาร $O(\log n)$ . นี่คือเนื่องจากนิสันและ Safra โปรโตคอลของพวกเขาอาจใช้การสุ่มของสาธารณะหรือไม่ชัดเจน กระดาษด้านบนให้หนึ่งที่ใช้การสุ่มแบบเป็นส่วนตัวและชัดเจน (ผ่านการใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกมาตรฐาน) มันยังกล่าวถึงการจับคู่ขอบเขตที่ต่ำกว่าในรูปแบบการสุ่มของสาธารณะ

— มนุ
แหล่งที่มา