การอ้างอิงบนขอบเขตล่างของวงจร

คำนำ

ระบบพิสูจน์เชิงโต้ตอบและโปรโตคอล Arthur-Merlin ได้รับการแนะนำโดยGoldwasser, Micali และ RackoffและBabaiย้อนกลับไปในปี 1985 ตอนแรกก็คิดว่าอดีตนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าสมัยก่อน แต่Goldwasser และ Sipserแสดงให้เห็นว่าพวกเขามีพลังเดียวกัน ( ด้วยความเคารพต่อการรับรู้ภาษา) ดังนั้นในบทความนี้ฉันจะใช้แนวคิดทั้งสองสลับกันได้

ให้เป็นคลาสของภาษาที่ยอมรับระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบด้วยรอบ Babai พิสูจน์ให้เห็นว่า P (ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กันได้)k ฉันP [ O ( 1 ) ] ⊆ เธP $IP[k]$$k$$IP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P$

ตอนแรกไม่ทราบว่าจำนวนรอบที่ไม่ จำกัด สามารถเพิ่มพลังของ IP ได้หรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันก็แสดงให้เห็นว่ามีความขัดแย้ง relativizations: Fortnow และ Sipserแสดงให้เห็นว่าบาง oracle ก็ถือได้ว่าอรรถเป็น (ดังนั้นสัมพันธ์กับA , IP [โพลี]ไม่ใช่ superclass ของPH )c O N P A ⊄ I P [ p o l y ] A A P I [ p o l y ] P $A$$coNP^A \not\subset IP[poly]^A$$A$$IP[poly]$$PH$

ในทางตรงกันข้ามกระดาษต่อไปนี้:

Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (October 27 - 29, 1986). SFCS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 368-379. DOI= http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1986.36

แสดงให้เห็นว่าสำหรับบาง oracle $B$เรามี$IP[poly]^B \not\subset PH^B$ B (ดังนั้น$IP[poly]^B \neq IP[O(1)]^B$ตั้งแต่ที่ระบุไว้ข้างต้นหลังเป็นคลาสย่อยของ$\Pi_2^{P,B}$ )

คำถาม

บทความโดย Aiello, Goldwaseer และ Hastad (อ้างถึงข้างต้น):

เทคนิคที่ใช้คือส่วนขยายของเทคนิคในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าในวงจรความลึกขนาดเล็กที่ใช้ใน [FSS], [Y] และ [H1]

ที่ [FSS], [Y] และ [H1] คือ:

[FSS] Furst M., Saxe J. and Sipser M., "Parity, Circuits, and the Polynomial Time Hierarchy," Proceedings 22nd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1981, 260-270.

[Y] Yao A. "Separating the Polynomial-Time Hierarchy by Oracles," Proceedings of 6th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1985, 1-10.

[H1] Hastad J. "Almost optimal lower bounds for small depth circuits," Proceedings of 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1986, 6-20.

ฉันพบว่าเอกสารเก่ามากและยากที่จะติดตามอย่างยิ่ง ฉันอ่านบทที่ 14 ของหนังสือของArora & Barakแต่ดูเหมือนจะไม่ครอบคลุมทุกอย่างที่ฉันต้องการ

คุณอ้างอิงถึงเรื่อง "ขอบเขตล่างของวงจร" อะไรบ้าง

(ฉันต้องการการอ้างอิงที่คล้ายกับแบบสำรวจเป็นพิเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ใหม่กว่าและไม่จำเป็นต้องมีความเชี่ยวชาญมากนัก)

สิ่งที่คุณต้องการคือการอ้างอิงที่ดีเพื่อทำความเข้าใจขอบเขตล่างของเลขชี้กำลังสำหรับวงจรคำนวณฟังก์ชัน PARITY$AC^0$

ตอนนี้คุณไม่ได้ระบุว่าคุณต้องการเข้าใจหลักฐานจริงหรือเพียงแค่เข้าใจสิ่งต่าง ๆ ในระดับสูงวิธีที่บทความสำรวจจะอธิบายสิ่งต่าง ๆ

บทความสำรวจที่ฉันอ่านและชอบเมื่อเร็ว ๆ นี้คือ " ความซับซ้อนของฟังก์ชัน จำกัด " โดย Boppana และ Sipser

หากคุณต้องการที่จะนั่งลงและทำความเข้าใจกับหลักฐานคุณสามารถอ่านบทพิสูจน์โดยอ้างอิงจากบทแทรก (ซึ่งปรากฏในเอกสารที่คุณอ้างถึง - [FSS], [Y] และ [H1]) หรือ Razborov-Smolensky พิสูจน์

สำหรับหลักฐานที่ใช้ Switching Lemma, ปริญญาเอกของHåstad วิทยานิพนธ์เป็นสิ่งที่อ่านได้ดีหากเป็นการยากที่จะติดตามถ้าคุณยังใหม่กับเรื่องนั้น การพิสูจน์ที่ดีขึ้นคือ "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจรและแนวทางในการพิสูจน์ของHåstad" โดย Allan Heydon ปัญหาเดียวของมันคือฉันไม่สามารถหามันออนไลน์และฉันมีสำเนา ฉันแนะนำจริงๆถ้าคุณยังใหม่ต่อความซับซ้อนของวงจร

สำหรับวิธีการของ Razborov-Smolensky เพียงแค่ใช้ google และคุณจะได้รับเอกสารประกอบการบรรยายมากมาย ผมเข้าใจที่ถูกผูกไว้ที่ลดลงจากทั้งสามบันทึกการบรรยาย: Sanjeev ร่า , ฮาร์ประเทศซูดานและKristo ff เอ้อ Arnsfelt แฮนเซน

หากคุณพบว่าการแสดงออกของ Switching Lemma ในวิทยานิพนธ์ของ Hastad ยากที่จะติดตามคุณสามารถลองใช้ Paul Beame's `A Switching Lemma Primer ''ซึ่งมีเวอร์ชันที่แตกต่างจาก Razborov (ซึ่งใช้ต้นไม้ตัดสินใจอย่างชัดเจนด้วยเช่นกัน) ในบางแอพพลิเคชั่นของ Switching Lemma)

หนังสือเล่มนี้เหมาะสำหรับการอธิบายขอบเขตที่ต่ำกว่าหากคุณสามารถเข้าถึงได้

ความซับซ้อนของวงจรเบื้องต้นโดย Heribert Vollmer

ฉันเพิ่งอ่านเสร็จและถึงแม้ว่ามันจะบอกว่า "การแนะนำ" เป็นการรักษาที่ซับซ้อนมากเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจร มันอธิบายด้วยรายละเอียดทั้งหมด (ที่นิยมมากที่สุด) เทคนิคการพิสูจน์ขอบเขตล่างของวงจรในบทที่ 3

การอ้างอิงล่าสุดคือBoolean Function Complexityโดย Stasys Jukna คุณเพียงแค่ต้องส่งอีเมลหรือกรอกแบบฟอร์มเพื่อรับร่าง PDF

การอ้างอิงที่เก่ากว่า แต่ก็ยังดีคือการสำรวจความซับซ้อนของฟังก์ชัน จำกัดโดย Boppana และ Sipser แบบสำรวจนี้อ่านง่ายมากเมื่อเทียบกับแหล่งข้อมูลอื่น

อีกหนึ่งการอ้างอิงที่ดีคือหนังสือฟังก์ชั่นบูลีนและแบบจำลองการคำนวณโดย Clote และ Kranakis

ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ แต่อาจมีข้อมูลที่น่าสนใจในสมุดสีฟ้า ( http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ )

นอกจากนี้ยังมีกระดาษโดย Allender ในปี 1997: ความซับซ้อนของวงจรก่อนรุ่งอรุณแห่งสหัสวรรษใหม่

Emanuele Viola ได้ตีพิมพ์หนังสือเรื่อง " พลังแห่งการคำนวณความลึกขนาดเล็ก " ซึ่งรวมถึงผลลัพธ์จำนวนมากเกี่ยวกับขอบเขตล่างของวงจร

รุ่นเบื้องต้นของหนังสือเล่มนี้สามารถพบได้ที่นี่