คำอธิบายสไตล์วิกิพีเดียของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต

ใครสามารถให้คำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธี GCT ของ Mulmuley ที่เข้าใจได้โดยผู้เชี่ยวชาญ คำอธิบายที่เหมาะสำหรับหน้า Wikipediaในหัวข้อ (ซึ่งไม่สมบูรณ์ในขณะนี้)

แรงจูงใจ: ฉันเป็น "การอ่านร่วม" ของหนังสือ Quantum Computing ของ Scott Aaronson ตั้งแต่ Democritus กับเพื่อนของฉันซึ่งเป็นนักวิจัยในทฤษฎีสตริง ในคำนำของหนังสือ Aaronson เรียก GCT "ทฤษฎีสตริงของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์" ในฐานะนักทฤษฎีสตริงเพื่อนของฉันตื่นเต้นกับการอ้างสิทธิ์นี้และถามฉันว่า GCT คืออะไร เมื่อถึงจุดนั้นฉันก็รู้ตัวว่าฉันไม่มีคำตอบที่พร้อมสำหรับวิกิพีเดียสำหรับคำถามของเขา

ฉันไม่แน่ใจว่าระดับใดเหมาะสำหรับบทความ Wikipedia (บทความต่าง ๆ ดูเหมือนจะมุ่งเป้าไปที่ระดับความเชี่ยวชาญต่าง ๆ ) หรือสิ่งที่คุณกำลังมองหา ดังนั้นนี่คือความพยายาม แต่ฉันเปิดรับข้อเสนอแนะ

ทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิตเสนอให้ศึกษาความซับซ้อนของการคำนวณของฟังก์ชันคอมพิวเตอร์ (พูดพหุนาม) โดยใช้ประโยชน์จากความสมมาตรโดยธรรมชาติในความซับซ้อนและความสมมาตรเพิ่มเติมของฟังก์ชันที่กำลังศึกษา

เช่นเดียวกับวิธีการก่อนหน้านี้จำนวนมากเป้าหมายสูงสุดคือการแยกคลาสความซับซ้อนสองคลาสโดยแสดงให้เห็นว่ามีพหุนามpซึ่งรับหน้าที่fเป็นอินพุท (พูดโดยใช้เวกเตอร์สัมประสิทธิ์) หน้าหายไปในการทำงานทุกฉ∈ ซีอีs ปีแต่ไม่ได้หายไปในบางฟังก์ชั่นกรัมชั่วโมงR d ∈ C ชั่วโมงR d$\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$$p$$f$$p$$f \in \mathcal{C}_{easy}$$g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

แนวคิดหลักประการแรก (เปรียบเทียบ [GCT1, GCT2]) คือการใช้สมมาตรเพื่อจัดระเบียบฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเอง แต่เพื่อจัดระเบียบคุณสมบัติ ( พีชคณิตเรขาคณิต ) ของฟังก์ชันเหล่านี้ดังที่บันทึกโดยพหุนามเช่นด้านบน ซึ่งจะช่วยให้การใช้งานของทฤษฎีการแสดงในความพยายามที่จะหาเช่นพี แนวคิดที่คล้ายกันเกี่ยวกับทฤษฎีการเป็นตัวแทนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมาก่อน แต่สำหรับความรู้ของฉันไม่เคยมีในลักษณะนี้$p$$p$

ความคิดที่สำคัญที่สอง (cf [GCT6]) คือการหา combinatorial (และพหุนามเวลา) อัลกอริทึมสำหรับการส่งผลให้ปัญหาการแสดงตามทฤษฎีแล้วย้อนกลับวิศวกรกลไกเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเช่นอยู่ สิ่งนี้อาจถูกนำมาใช้ในการใช้Linear Programming (อัลกอริทึม) เพื่อพิสูจน์ข้อความที่ชัดเจน$p$

อันที่จริง [GCT6] แนะนำให้ลดปัญหาการเป็นตัวแทนทางทฤษฎีด้านบนเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มจากนั้นแสดงให้เห็นว่า IP ที่ได้นั้นได้รับการแก้ไขโดยการผ่อนคลาย LP ของพวกเขาและในที่สุดก็ให้อัลกอริทึม combinatorial การคาดเดาใน [GCT6] ได้รับแรงบันดาลใจจากผลการวิศวกรรมแบบย้อนกลับสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ Littlewood-Richardson ซึ่งเป็นปัญหาที่คล้ายคลึงกัน แต่ง่ายกว่าในทฤษฎีการเป็นตัวแทน ในกรณีของสัมประสิทธิ์ LR กฎการรวมตัวของLittlewood-Richardsonมาก่อน ต่อมา Berenstein และ Zelevinsky [BZ] และ Knutson and Tao [KT] (ดู [KT2] สำหรับภาพรวมที่เป็นมิตร) ให้ IP สำหรับสัมประสิทธิ์ LR Knutson และ Tao ยังพิสูจน์การคาดการณ์ความอิ่มตัวซึ่งหมายความว่า IP ได้รับการแก้ไขด้วยการผ่อนคลาย LP (เทียบกับ [GCT3, BI])

$p$$\mathcal{C}_{easy}$$p$$\mathcal{C}_{easy}$

ตัวอย่างสมมาตรของความซับซ้อนและฟังก์ชัน

$f(x_1, \dotsc, x_n)$$f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$$\pi$

$\det(X)$$\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$$A,B$$\det(AB) = 1$

ความคืบหน้าล่าสุดบางส่วน [ส่วนนี้ไม่สมบูรณ์อย่างแน่นอนและทางเทคนิคมากขึ้น แต่บัญชีที่สมบูรณ์จะใช้เวลาหลายสิบหน้า .... ฉันแค่ต้องการเน้นความคืบหน้าล่

Burgisser และ Ikenmeyer [BI2] แสดงขอบเขตล่างของการคูณเมทริกซ์หลังจากโปรแกรม GCT เท่าที่ใช้การแทนด้วยศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ Landsberg และ Ottaviani [LO] ให้ขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีในระดับโดยการจัดอันดับของการคูณเมทริกซ์โดยใช้ทฤษฎีการเป็นตัวแทนในการจัดระเบียบคุณสมบัติเชิงพีชคณิต แต่ไม่ได้ใช้การแทนพหุคูณหรือกฎเชิงประกอบ$\frac{3}{2}n^2$$2n^2$

ปัญหาถัดไปหลังจากที่ค่าสัมประสิทธิ์ Littlewood-ริชาร์ดเป็นค่าสัมประสิทธิ์ Kronecker สิ่งเหล่านี้แสดงให้เห็นทั้งคู่ในชุดของปัญหาที่น่าสงสัยว่าในที่สุดก็มาถึงปัญหาการเป็นตัวแทนทางทฤษฎีที่เกิดขึ้นใน GCT และอีกมากมายโดยตรงในขอบเขตของความหลากหลายในแนวทาง GCT เพื่อการคูณเมทริกซ์และตัวกำหนดถาวร การหากฏ combinatorial สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ Kronecker เป็นปัญหาที่เปิดกว้างในทฤษฎีการเป็นตัวแทน Blasiak [B] เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้ให้กฎ combinatorial สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ Kronecker ที่มีรูปร่างเบ็ดเดียว

Kumar [K] แสดงให้เห็นว่ามีตัวแทนบางอย่างปรากฏอยู่ในวงแหวนพิกัดของดีเทอร์มีแนนด้วยหลายศูนย์โดยสมมติว่าการคาดคะเนคอลัมน์ละตินสแควร์ (เทียบกับ Huang-Rota และ Alon-Tarsi) การคาดเดาเช่นนี้อาจไม่บังเอิญ ]) ดังนั้นการเป็นตัวแทนเหล่านี้ไม่สามารถใช้ในการแยกถาวรจากดีเทอร์แนนต์บนพื้นฐานของศูนย์กับหลายหลากไม่ใช่ศูนย์แม้ว่ามันอาจจะเป็นไปได้ที่จะใช้มันเพื่อแยกถาวรจากดีเทอร์มีแนนต์โดยความไม่เท่าเทียมทั่วไประหว่าง

ข้อมูลอ้างอิง [B] J. Blasiak ค่าสัมประสิทธิ์ Kronecker สำหรับรูปร่างเบ็ดหนึ่ง arXiv: 1209.2018, 2012

[BI] P. Burgisser และ C. Ikenmeyer อัลกอริธึมการไหลสูงสุดสำหรับค่าบวกของสัมประสิทธิ์ Littlewood-Richardson FPSAC 2009

[BI2] P. Burgisser และ C. Ikenmeyer ขอบเขตล่างอย่างชัดเจนผ่านทฤษฎีเชิงซ้อนเชิงเรขาคณิต arXiv: 1210.8368, 2012

[BZ] AD Berenstein และ AV Zelevinsky มัลติเพิลสำหรับและสเปกตรัมของพีชคณิตภายนอกของการเป็นตัวแทน adjoint $\mathfrak{sl}(r+1)$J. พีชคณิตเชิงพีชคณิต 1 (1992) หมายเลข 1, 7–22

[GCT1] KD Mulmuley และ M. Sohoni ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต I: วิธีการของ P เทียบกับ NP และปัญหาที่เกี่ยวข้อง SIAM J. Comput 31 (2), 496–526, 2001

[GCT2] KD Mulmuley และ M. Sohoni ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต II: สู่สิ่งกีดขวางที่ชัดเจนสำหรับการแต่งงานในหมู่ชนชั้นต่างๆ SIAM J. Comput., 38 (3), 1175–1206, 2008

[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan และ M. Sohoni ทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิต III: ในการตัดสินใจเลือก nonvanishing ของค่าสัมประสิทธิ์ Littlewood-Richardson J. พีชคณิตเชิงพีชคณิต 36 (2555) หมายเลข 1, 103–110

[GCT5] KD Mulmuley ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต V: ความเท่าเทียมกันระหว่างการสุ่มตัวอย่างแบบพหุนามในการคำนวณเอกลักษณ์พหุนามและการแยกความแตกต่างของการทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether FOCS 2012 หรือ arXiv: 1209.5993

[GCT6] KD Mulmuley ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต VI: การพลิกผ่าน positivity , รายงานทางเทคนิค, แผนกวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, มหาวิทยาลัยชิคาโก, มกราคม 2011

[K] S. Kumar การศึกษาการเป็นตัวแทนที่สนับสนุนโดยการปิดวงโคจรของดีเทอร์มิแนนต์ arXiv: 1109.5996, 2011

[LO] JM Landsberg และ G. Ottaviani ขอบเขตล่างใหม่สำหรับการจัดลำดับเส้นขอบของการคูณเมทริกซ์ arXiv: 1112.6007, 2011

[KT] A. Knutson และ T. Tao รูปแบบรังผึ้งของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ I. หลักฐานการคาดเดาความอิ่มตัว $\text{GL}_n(\mathbb{C})$เจอเมอร์ คณิตศาสตร์. Soc 12 (1999), ฉบับที่ 4, 1055–1090

[KT2] A. Knutson และ T. Tao Honeycombs และผลรวมของเมทริกซ์ Hermitian ประกาศ Amer คณิตศาสตร์. Soc 48 (2001), ครั้งที่ 2, 175–186

ฉันเพิ่งให้คำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องกับ Mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-th-TH

เนื่องจากไซต์นี้อาจเป็นสถานที่ที่ดีกว่าให้ฉันทำซ้ำคำตอบด้านล่าง การอ้างอิงถึงโจเซฟหรือทิโมธีเป็นเรื่องเกี่ยวกับการโพสต์อื่น ๆ สำหรับคำถาม MO

---

ปล่อยเป็นแบบทั่วไปเมทริกซ์และระดับพหุนามเอกพันธ์ที่กำหนดโดย ปัจจัย ปล่อยให้ ซึ่งใช้ ถาวรของsubmatrixและคูณด้วยรูปแบบเชิงเส้นที่ชื่นชอบเพื่อสร้างพหุนามแบบเอกพันธ์อีกอันขององศา (เราสามารถใช้รายการแทน ) การดัดแปลงนี้เรียกว่าการเติมเต็ม จากนั้นกำหนดหมายเลข $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$$n\times n$$F_1(X)={\rm det}(X)$$n$

$$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$$ $m\times m$$n$$X_{11}$$X_{nn}$ $$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$$ โดยที่คือทำหน้าที่เลียนแบบพื้นที่ของมิติโดยที่ชีวิตอยู่และคือการปิดของวงโคจรของ Zariski การคาดคะเนขนาดใหญ่ในพื้นที่หรือวีรบุรุษของสมมติฐาน (รุ่นที่ซับซ้อนของ ) คือว่าเติบโตเร็วกว่าพหุนามใด ๆ ในม.$G$$GL(n^2)$$n^2$$X$$\overline{G\cdot F_i}$${\rm P}\neq{\rm NP}$$c(m)$$m$

ตอนนี้ถ้าแล้วก็มีแผนที่แปลกประหลาด verbb ระหว่างระดับส่วนของวงแหวนพิกัดของการปิดวงโคจรเหล่านี้ ดังนั้นเกมนี้จึงพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นสำหรับมีขนาดใหญ่ไม่เพียงพอเมื่อเทียบกับโดยการพิสูจน์การมีอยู่ของสิ่งกีดขวางหลายหลากนั่นคือการเป็นตัวแทนลดลงที่หลายหลาก $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$$G$

$$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$$ $d$$n$$m$$\lambda$ $${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$$ หรือในระดับอุดมคติ $${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$$

วิธีการมองโลกในแง่ดีคือพยายามแสดงให้เห็นว่ามีสิ่งกีดขวางที่เกิดขึ้นนั่นคือเป็นเช่นนั้น และ 0 ความหวังนี้ได้ถูกแบนลงในงานของBürgisser, Ikenmeyer และ Panova ที่กล่าวถึงโดย Timothy อย่างไรก็ตามความเป็นไปได้ของการกีดขวางหลายหลากยังคงเปิดอยู่$\lambda$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

ฉันคิดว่าแนวทางของ Mulmuley คือการพยายามพิสูจน์ว่ามีสิ่งกีดขวางหลายหลากเช่นนั้นโดยใช้เครื่องมือทั้งหมดที่มีให้จากทฤษฎีการเป็นตัวแทนสำหรับการคำนวณหลายหลากเหล่านี้ โดยส่วนตัวฉันไม่เคยเป็นแฟนของแนวทางนี้ จากการศึกษาทฤษฎีที่ไม่เปลี่ยนแปลงในศตวรรษที่ 19 ในเชิงลึกฉันคิดว่าเป็นเรื่องธรรมชาติที่ฉันจะเข้าใกล้ปัญหาการแยกวงโคจรโดยใช้เครื่องมือที่ชัดเจนจากยุคนั้น บทความโดย Gorchow นี้ดูเหมือนว่าจะชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกัน (ฉันสงสัยว่าบทความที่สามที่กล่าวถึงโดย Joseph อยู่ในหลอดเลือดดำเดียวกัน) ในภาษาคลาสสิก (ดูTurnbullหรือLittlewood ) เราต้องสร้างการผสมที่ชัดเจนซึ่งหายไปใน$F_1$แต่ไม่ได้อยู่ในF_2นอกจากนี้ยังมีการทำเช่นนี้บ่อยครั้งอนันต์ (ใน ) เพื่อสร้างคุณสมบัติการเติบโต superpolynomial สิ่งที่เกิดขึ้นพร้อมกันนั้นเหมือนกับแผนที่ -equivariant ที่เฉพาะเจาะจงจากแบบจำลองที่คุณชื่นชอบสำหรับการนำเสนอที่ไม่ลดทอนไปจนถึงพีชคณิตพหุนามในตัวแปร (Grochow เรียกว่าโมดูลแยก ) ทฤษฎีคงที่จากศตวรรษที่ 19 มีสองวิธีในการสร้างวัตถุดังกล่าว: ทฤษฎีการกำจัดและพีชคณิตแผนภาพ$F_2$$m$$G$$\lambda$$n^2$$X$

ตัวอย่างทารกที่และเป็นรูปแบบควอร์ติคไบนารีภายใต้การกระทำของ (ดูคำถาม MO ) นี้จะพูดว่า และ การแยกกัน (ที่นี่ในความเป็นจริง covariant) คือรัฐของไบนารีควอร์ติก มันหายไป (เหมือนกันใน ) สำหรับแต่ไม่ใช่สำหรับ$F_1$$F_2$$G=SL(2)$

$$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$ $$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$$ $F$ $$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$$ $x,y$$F=F_1$$F=F_2$. ในกรณีนี้ Hessian สามารถมองเห็นได้ในรูปแบบแผนที่ที่ลดความแปรปรวนที่กำหนดโดยพลังสมมาตรที่สอง (ของการแสดงสองมิติพื้นฐาน) ในวงแหวนประสานงานสำหรับพื้นที่เลียนแบบของควอร์ติคไบนารี

ดังนั้น "แผน" superoptimistic ที่เป็นไปได้สำหรับ GCT เกี่ยวข้องกับลำดับขั้นตอนต่อไปนี้

1) ค้นหาวิธีในการสร้างผู้ที่มีความสามารถมากมาย

2) ระบุผู้สมัครที่ชัดเจนสำหรับการหายตัวไปในและพิสูจน์คุณสมบัตินั้น$F_1$

3) แสดงพวกเขาไม่ได้หายไปในF_2$F_2$

ขั้นตอนที่ 1) อยู่ในหลักการที่แก้ไขโดยทฤษฎีบทแรกพื้นฐานสำหรับแต่มีความไม่ตรงกัน: ตัวกำหนดเป็นวัตถุธรรมชาติในทฤษฎีค่าคงที่สำหรับ (ทำหน้าที่เป็นแถว และคอลัมน์) มากกว่า2) เราสามารถลองซ่อมสิ่งที่ไม่ตรงกันโดยการแสดง Building Block พื้นฐานสำหรับทฤษฎีค่าคงที่ของในแง่ของ (ดูคำถามนี้สำหรับปัญหาการลดปัญหาที่คล้ายกัน จากถึง )$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$GL(n^2)$$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$SL(n(n+1)/2)$$SL(n)$

การคาดเดาผู้สมัครที่เหมาะสมสำหรับขั้นตอนที่ 2) ดูยากสำหรับฉัน รู้ล่วงหน้าว่ามีหลายหลากไม่ใช่ศูนย์ช่วยเหลือแน่นอน แม้ว่าหนึ่งสามารถผัดวันประกันพรุ่งและเลื่อนการพิสูจน์ของการหายไปโดยไม่ปรากฏชื่อของผู้ที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนที่ 3) ซึ่งควรจะแสดงมากกว่านั้นต่อไป หากใครมีผู้สมัครที่ถูกต้องแสดงว่าพวกเขาหายไปใน อาจเป็นเรื่องง่ายโดยการโต้แย้งเราสามารถเรียกหลักการยกเว้นของ Pauli ได้ (การทำสัญญาแบบสมมาตรกับ antisymmetrizations) คุณสมบัติหมายเลขสีสูงหรือเพียงแค่ `ขาดพื้นที่ '${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$$F_1$

อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าส่วนที่ยากที่สุดคือขั้นตอนที่ 3) ตัวอย่างเช่นในกระดาษของฉัน "สูตร 16,051 สำหรับค่าคงที่ของ Ottaviani ของลูกบาศก์สามเท่า"กับ Ikenmeyer และ Royle การคาดเดาทำได้โดยการค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ด้วยผู้สมัครที่เหมาะสมในมือการหายไปของค่อนข้างง่ายที่จะอธิบาย ตัวอย่างที่น่าสนใจของตัวเลขสีเนื่องจากคุณสมบัติทั่วโลกของกราฟมากกว่ากลุ่มใหญ่บางกลุ่ม) อะนาล็อกของขั้นตอนที่ 3) ในบทความของเราทำโดยการคำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์อย่างดุเดือดและเราก็ยังไม่รู้ว่าทำไมมันถึงเป็นจริง ปัญหากระบวนทัศน์ที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนที่ 3) คือการคาดเดา Alon-Tarsi (ดูคำถาม MO นี้และคำถามนี้$F_1$เกินไป). ในความคิดของฉันเราต้องการความคืบหน้าเกี่ยวกับคำถามแบบนั้น ( ทฤษฎีบทสี่สีเป็นแบบนี้เช่นกันผ่านการลดลงเนื่องจากคอฟฟ์แมนและบาร์ - นาทาน) ก่อนการคาดเดาขององอาจ

เนื่องจากคำถามนี้เกี่ยวกับความก้าวหน้าใน GCT ฉันคิดว่าบทความนี้โดย Landsberg และ Ressayre ยังสมควรได้รับความสนใจเนื่องจากมันชี้ให้เห็นว่าการเดาที่สมเหตุสมผลสำหรับค่าที่แน่นอนของคือ ทราบว่ามีหลักฐานของแนวคิดสำหรับอย่างชัดเจน "ขั้นตอนที่ 1) 2) 3) วิธีการ" ในปัญหาที่ง่ายมากได้รับโดยBürgisserและ Ikenmeyer ในบทความนี้ ในที่สุดสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ GCT ฉันขอแนะนำให้ทบทวน "ทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิต: การแนะนำสำหรับ geometers"โดย Landsberg$c(m)$

$$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$$

PS:ฉันควรเพิ่มว่าการมองโลกในแง่ร้ายของฉันเฉพาะกับ Valiant Hypothesis ซึ่งเป็น 'Riemann Hypothesis' ในสนาม แน่นอนว่าไม่ควรโยนลูกน้อยด้วยน้ำอาบและลบล้าง GCT เพราะมันไม่สามารถพิสูจน์การคาดเดานี้ได้ มีปัญหามากมายที่เข้าถึงได้ในพื้นที่นี้ซึ่งมีการดำเนินการไปแล้วและคาดว่าจะมีความคืบหน้ามากขึ้น ดูเฉพาะบทความที่กล่าวถึงข้างต้นโดย Grochow และตรวจสอบโดย Landsberg

GCT เป็นโครงการวิจัยเพื่อพิสูจน์ขอบเขตความซับซ้อนของทฤษฎีและในทางที่ท้าทายรูปแบบบทคัดย่อ / บทสรุปของวิกิพีเดียเนื่องจากมีแนวคิดเชิงนามธรรมที่หนักหน่วง แต่มีการสำรวจที่ดีของกลุ่ม TCS [2] [3] [4] (และแน่นอนว่า Wikipedia เป็นสถานที่ที่ดีที่สุดสำหรับรายการ wikipedia) มันเป็นสูตรในช่วงต้นยุค 2000 โดย Mulmuley และเป็นทั้งค่อนข้างใหม่ในทฤษฎีความซับซ้อนและขั้นสูงมากการใช้และการใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต) ที่ไม่ได้เกิดขึ้นใน TCS / ทฤษฎีความซับซ้อน

วิธีการนี้ถือเป็นคำมั่นสัญญาจากบางหน่วยงาน แต่อาจซับซ้อนเกินกว่าที่หน่วยงานอื่น ๆ จะกล่าวคือไม่ได้รับการพิสูจน์แล้วและมีข้อขัดแย้งว่าจะสามารถเอาชนะ "อุปสรรค" ที่เป็นมาตรฐานได้หรือไม่ (ในแง่นี้มันแสดงให้เห็นสัญญาณบางอย่างของสิ่งที่เรียกว่า Kuhnian "การปรับเปลี่ยนกระบวนทัศน์") แม้แต่มัลมูเลย์เสนอว่ามันอาจไม่ประสบความสำเร็จตามความเป็นจริง (ในการพิสูจน์การแยกชั้นความซับซ้อนที่สำคัญ) นี่เป็นความคิดเห็นที่สงสัยโดย Fortnow ผู้นำระดับสูงในสาขาทฤษฎีความซับซ้อน: [1]

พิจารณาภูเขาลูกใหญ่และคุณต้องการไปถึงยอดเขา Ketan เข้ามาและบอกว่าเขาจะสอนวิธีการสร้างเครื่องมือที่จำเป็นในการปีนเขา จะต้องใช้เวลาในการศึกษานานหนึ่งเดือนและจริง ๆ แล้วเครื่องมือเหล่านี้ไม่ดีพอที่จะปีนภูเขา จำเป็นต้องได้รับการปรับปรุงและการปรับปรุงเหล่านี้จะไม่เกิดขึ้นในชีวิตของคุณ แต่คุณไม่ต้องการที่จะเรียนรู้วิธีที่คนอื่นจะปีนภูเขาหลายศตวรรษต่อจากนี้?

[1] วิธีพิสูจน์ NP แตกต่างจากบล็อกP Fortnow

[2] การทำความเข้าใจแนวทาง Mulmuley-Sohoni กับ P vs. NP Regan

[3] ใน P vs. NP และทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต Mulmuley

[4] โปรแกรม GCT ไปสู่ปัญหา P vs. NP Mulmuley