มีเซตย่อยที่ซ่อนอยู่ขนาดใหญ่มากของปัญหา Polynomially ที่แก้ไขได้ภายในปัญหา NP-Complete หรือไม่

สมมติว่า P! = NP

เรารู้ว่าเราสามารถสร้าง 3-SAT ง่าย ๆ ได้ทุกเมื่อ เราสามารถสร้างสิ่งที่เราเชื่อว่าเป็นกรณียาก (เพราะอัลกอริทึมของเราไม่สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็ว) มีอะไรบ้างที่ป้องกันชุดของอินสแตนซ์ที่หนักหน่วงจากการมีขนาดเล็กโดยพลการตราบใดที่ขนาดอินสแตนซ์ที่กำหนด (n) มีเพียงโพลี (n) (หรือแม้กระทั่งค่าคงที่) ขนาดโพลี (n) หรือเล็กกว่า?

สำหรับอินสแตนซ์ 3-SAT ใด ๆ ที่ยากเราจะต้องเพิ่มชุดของอินสแตนซ์ 3-SAT ทั้งหมดที่ลดลงผ่านการวนลูปผ่านวงจรการลดความสมบูรณ์แบบ NP-Complete แต่ฉันไม่เห็นการเพิ่มจำนวนอินสแตนซ์ฮาร์ดจำนวนมาก .

ในโลกนี้เราสามารถสร้างอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาโพลิโนเมียลได้อย่างสมบูรณ์ยกเว้นปัญหาบางประการ

แก้ไข: ตัวแปรที่เบากว่าของคำถาม: แม้ว่าเราจะแสดงให้เห็นว่า P! = NP แล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่าวิธีการที่กำหนดเพื่อสร้างปัญหา n-3-SAT ขนาดที่กำหนดนั้นสร้างขึ้นยากด้วยความน่าจะเป็นที่ต้องการบ้างไหม? หากไม่มีวิธีที่จะรู้จาก P! = NP เพียงอย่างเดียวสิ่งที่จำเป็นเพื่อแสดงให้เห็นว่าเราสามารถสร้างปัญหาที่สมบูรณ์แบบ NP- ยาก?

1) ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ตั้งใจไว้ข้อสรุปในการสังเกตของ Kaveh สามารถเสริมกำลังได้ $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ ถึง $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$โดยพื้นฐานแล้วใช้ทฤษฎีของมาห์นีย์ นั่นคือถ้ามีอัลกอริทึมที่แก้ SAT และทำงานในเวลา$\leq p(n)$ ในทุกกรณีของความยาว $n$ ยกเว้นเป็นไปได้ $q(n)$ กรณีดังกล่าวที่ไหน $p$ และ $q$ เป็นพหุนามทั้งสองแล้วในความเป็นจริง $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$. ดูเช่นเมเยอร์และแพ็ตเตอร์สันและการอ้างอิงนั้นหรือเอกสาร Schoning ของ "ความซับซ้อนและโครงสร้าง" ดังนั้นหากสิ่งนี้จับความคิดของคุณของ "อินสแตนซ์ที่ยาก" ดังนั้นจะต้องมีมากกว่า$poly(n)$ อินสแตนซ์ที่ยากมากสำหรับแต่ละ $n$สมมติว่า $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$.

FYI อัลกอริทึมดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าอัลกอริทึม "apt" หรือ "APT" สำหรับ "เวลาพหุนามเกือบ" (เพื่อไม่ให้สับสนกับคลาสความซับซ้อนที่ทันสมัยมากขึ้น $\mathsf{almostP}$ซึ่งเกิดขึ้นเท่ากัน $\mathsf{BPP}$)

2) ข้างต้นสามารถเสริมความแข็งแกร่งยิ่งขึ้นไปอีกดังต่อไปนี้ สมมติ$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$. จากนั้นข้างต้นบอกว่าสำหรับอัลกอริทึมใด ๆ ที่แก้ SAT และพหุนามใด ๆ$p$มีชุดอินสแตนซ์ของขนาดพหุนามขนาดใหญ่ซึ่งอัลกอริทึมใช้เวลามากกว่า $p(n)$เวลา. แต่ชุดสามารถขึ้นอยู่กับอัลกอริทึม

ผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะเปลี่ยนปริมาณและสรุป: มีชุดขนาดพหุนามขนาดใหญ่ H (สำหรับ "ยาก") ซึ่งสำหรับอัลกอริทึมใด ๆ ที่แก้ SAT และพหุนามใด ๆ จะใช้เวลามากกว่า $p(n)$เวลาในทุกองค์ประกอบ แต่ก็มีองค์ประกอบจำนวนมากของเอชอย่างเช่นเอชเรียกว่าแกนหลักของความซับซ้อน (การสันนิษฐานขนาดนั้นไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของนิยามของแกนที่ซับซ้อน) ความหมายและการดำรงอยู่ของแกนซับซ้อนได้รับโดยลินช์ ที่ผมยกมาเพียงผลพิสูจน์โดยOrponen และ Schoning

ไม่มีใครพูดถึงกระดาษที่มีชื่อเสียง "ห้าโลก" ของ Impagliazzo

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

อีกมุมหนึ่งในคำถามนี้ (นอกอ้างอิงจากทฤษฎีบทของมานี่ย์) "จุดเปลี่ยน" ใน SAT เป็นการศึกษาปรากฏการณ์นี้ของการแจกแจงอินสแตนซ์ง่ายและยากโดยเฉพาะรอบ ๆ "จุดวิกฤติ" ซึ่งความน่าจะเป็นของกรณียากจะถูกขยายให้ใหญ่สุด วรรณกรรมเกี่ยวกับเรื่องนี้มีความยาวและซับซ้อน มันมีทั้งวิธีเชิงประจักษ์และการวิเคราะห์ มันมีความสัมพันธ์ลึกซึ้งกับฟิสิกส์ / อุณหพลศาสตร์ [3] น่าเสียดายที่ในปัจจุบันไม่มีรายการวิกิพีเดียในหัวข้อทฤษฎีความซับซ้อนที่สำคัญและพื้นฐานนี้ นอกจากนี้ดูเหมือนว่าจะไม่มีการสำรวจโดยรวมหรือ "มาตรฐาน" จำนวนมากในเรื่องนี้ นี่คือการอ้างอิงล่าสุดที่จะเริ่มต้นใน SAT [1] และการเปลี่ยนเฟส TCS โดยทั่วไป [4] คำถามของคุณก็ตกอยู่ในหมวดหมู่ของ "คำตอบที่ดีจริง ๆ น่าจะเป็น P$\stackrel{?}{=}$หลักฐาน NP "

มีอะไรบ้างที่ป้องกันชุดของอินสแตนซ์ที่หนักหน่วงจากการมีขนาดเล็กโดยพลการตราบใดที่ขนาดอินสแตนซ์ที่กำหนด (n) มีเพียงโพลี (n) (หรือแม้กระทั่งค่าคงที่) ขนาดโพลี (n) หรือเล็กกว่า?

ทฤษฎีบทของมาห์นีย์อีกครั้ง (ใช้ถ้อยคำในวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อย) ตอบคำถามนี้โดยตรง อีกวิธีหนึ่งในการดูสิ่งนี้คือความพยายามในการ จำกัด การกระจายอินสแตนซ์ในบางวิธี / คุณลักษณะที่สำคัญจะนำไปสู่ฟังก์ชัน NP-complete ตัวอย่างของสิ่งนี้จากความซับซ้อนของวงจรโมโนโทนคือ "ฟังก์ชั่นสไลซ์" [2]

[1] การคาดการณ์ความพึงพอใจที่การเปลี่ยนสถานะของหลินเสี่ยว, โฮลเกอร์เอชฮูส, เควินเลย์ตัน - บราวน์

[2] Paul ES Dunne: ความซับซ้อนของฟังก์ชัน Slice ส่วนกลาง Theor คอมพิวเต วิทย์ 44: 247-257 (1986)

[3] โซลูชันการวิเคราะห์และอัลกอริทึมของปัญหาความพึงพอใจแบบสุ่ม M. Mezard, G. Parisi, R. Zecchina

[4] ช่วงการเปลี่ยนภาพในปัญหาที่เกิดขึ้นกับ NP: ความท้าทายสำหรับความน่าจะเป็น, combinatorics และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดย Moore