ตรวจสอบว่าผลิตภัณฑ์ทั้งหมดของชุดเมทริกซ์ในที่สุดเท่ากับศูนย์หรือไม่

19

ฉันสนใจในปัญหาต่อไปนี้: เมทริกซ์จำนวนเต็มตัดสินใจว่าผลิตภัณฑ์อนันต์ทุกตัวของเมทริกซ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์เมทริกซ์หรือไม่ $A_1,A_2, \ldots, A_k$

ซึ่งหมายความว่าสิ่งที่คุณคิดว่ามันไม่เราจะบอกว่าชุดของการฝึกอบรมมีคุณสมบัติที่ทุกผลิตภัณฑ์ของ บริษัท ในที่สุดก็เท่ากับศูนย์ถ้ามีไม่ได้อยู่ลำดับอนันต์ทั้งหมดในเช่นว่าสำหรับทุกลิตร $\{A_1, \ldots, A_k\}$ $i_1, i_2, i_3\ldots$ $\{1, \ldots, k\}$

A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{l}} \neq 0

$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$

l

$l$

มีปัญหาในการตัดสินใจหรือไม่ว่าในที่สุดทุกผลิตภัณฑ์จะเท่ากับศูนย์ที่เคยศึกษามาก่อนหรือไม่? มันตัดสินได้หรือไม่

ดูเหมือนว่ามันอาจเกี่ยวข้องกับการตายของเมทริกซ์ซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่ฉันไม่เห็นการเชื่อมต่อที่ชัดเจน

linear-algebra decidability

— โรบินสัน
แหล่งที่มา

คุณต้องมีคุณสมบัติการลู่เข้าในชุดของเมทริกซ์เพื่อให้แน่ใจว่ามีการกำหนดผลิตภัณฑ์แบบไม่สิ้นสุด

— András Salamon

คุณทำงานในฟิลด์ จำกัด หรือจำนวนเต็มที่มีการเติบโตแบบไม่ จำกัด หรือไม่? = 1 กรณีเป็นที่น่าสนใจในสิทธิของตัวเอง การใช้จำนวนเต็มตั้งแต่ -100 ถึง 100 ในเมทริกซ์ 5x5 พลังงานสูงสุดที่คุณสามารถทำได้ก่อนที่มันจะเป็นศูนย์

k

$k$

— ชาด Brewbaker

2

@YuvalFilmus - ฉันเชื่อว่ามันแตกต่างจากความตาย ให้มิติของการฝึกอบรมจะเป็นเพื่อให้เราเพียงแค่มีตัวเลขและคิดว่า 1 Mortal? ใช่เพราะ0 ทุกผลิตภัณฑ์เท่ากับศูนย์หรือไม่ No: ไม่ได้สินค้า\ ในทางกลับกันถ้าคุณจะมีลำดับที่เป็นทั้งมรรตัยและทุกผลิตภัณฑ์เป็นศูนย์

1

$1$

A_{0} = 0, A_{1} = 1

$A_0 = 0, A_1=1$

A_{0} = 0

$A_0 = 0$

1 \cdot 1 \cdot 1 \dots

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots$

A_{0} = 0, A_{1} = 0

$A_0=0,A_1=0$

— robinson

1

@ChadBrewbaker - ฉันคิดว่ารายการของเมทริกซ์เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น ฉันคิดว่าน่าสนใจจากมุมมองของ: คุณต้องใช้การดำเนินการกี่ครั้งเพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์นั้นไม่มีค่าหรือไม่ โปรดสังเกตว่าถ้าเป็น nilpotent ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าโดยที่คือมิติของดังนั้นสมมุติว่าคุณสามารถแก้มันได้โดยการหารเมทริกซ์ครั้ง ฉันไม่รู้ว่านี่คือสิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้

k = 1

$k=1$

A

$A$

A^{n} = 0

$A^n = 0$

n

$n$

A

$A$

\log n

$\log n$

— robinson

1

ที่น่าสนใจนี้เพียงใน: arxiv.org/abs/1306.0729 แทนที่จะถามว่าผลิตภัณฑ์ทั้งหมดเป็นศูนย์หรือไม่พวกเขาถามว่าผลิตภัณฑ์บางอย่างเป็นไปในเชิงบวกหรือไม่ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าปัญหาคือปัญหา NP-hard (หรืออย่างน้อยนั่นคือสิ่งที่ฉันรวบรวมจากนามธรรม)

— Joshua Grochow

17

คำถามของคุณจะเทียบเท่ากับว่าสร้างพีชคณิต nilpotent ~~ซึ่งจะเทียบเท่ากับแต่ละเป็น~~ nilpotent ดังนั้นไม่เพียง แต่จะสามารถถอดรหัสได้ แต่ในเวลาที่คือเลขชี้กำลังของการคูณเมทริกซ์ $A_1, \dotsc, A_k$ ~~$A_i$~~ $\tilde O(n^{2 \omega})$ $\omega$

ให้เป็นพีชคณิตเชื่อมโยงที่สร้างขึ้นโดย : นั่นคือนำชุดค่าผสมเชิงเส้นทั้งหมดของและผลิตภัณฑ์ จำกัด ทั้งหมดมารวมกัน เรียกว่าnilpotentถ้ามีบางส่วนดังกล่าวว่าผลิตภัณฑ์ของทุกองค์ประกอบของเป็นศูนย์ $\mathcal{A}$ $A_i$ $A_i$ $\mathcal{A}$ $N$ $N$ $\mathcal{A}$

ก่อนอื่นเรามาดูว่าทำไมสภาพของคุณถึงหมายความว่าไม่มีเหตุผล สิ่งนี้ตามมาจากของ Konig เล็มม่า (ความเป็นปึกแผ่น): ทุกความยาวของบนตัวอักษรสอดคล้องกับผลิตภัณฑ์ของของความยาวในลักษณะที่ชัดเจน พิจารณาอนันต์ -ary ต้นไม้ที่หยั่งรากซึ่งโหนดเป็นธรรมชาติในการติดต่อ bijective กับสตริงมากกว่า\} พิจารณา sub-treeซึ่งประกอบด้วยโหนดเหล่านั้นซึ่งผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องของนั้นไม่ใช่ศูนย์ เล็มม่าของ Konig บอกว่าถ้า $\mathcal{A}$ $n$ $\{1, \dotsc, k\}$ $A_1, \dotsc, A_k$ $n$ $k$ $\{1, \dotsc, k\}$ $T$ $A_i$ $T$ ไม่มีที่สิ้นสุดจากนั้นก็มีเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ละเมิดทรัพย์สินของคุณอย่างแน่นอน) ดังนั้นจึงจำกัด จากนั้นเราสามารถใช้จะต้องมีความยาวสูงสุดของสตริงใด ๆ ในTดังนั้นคุณสมบัติของคุณจึงบอกว่าไม่มีความหมาย $T$ $N$ $T$ $\mathcal{A}$

สนทนายังเป็นจริงเนื่องจากองค์ประกอบของทุกคือการรวมกันเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์ของÄ_i $\mathcal{A}$ $A_i$

ถัดไปโปรดทราบว่าเป็น subalgebra ของเมทริกซ์และด้วยเหตุนี้จึงเป็นมิติ จำกัด $\mathcal{A}$ $n \times n$

ในที่สุด: พีชคณิตเชื่อมโยง จำกัด มิติในลักษณะศูนย์มีพื้นฐานขององค์ประกอบ nilpotent (การเดินทางหรือไม่ - นี่คือส่วนที่ขัดแย้งกับคำตอบของ Yuval) ถ้ามันเป็น nilpotent (ดูเช่นที่นี่ )

ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหาของคุณค้นหาพื้นฐานสำหรับพีชคณิตเชื่อมโยงที่สร้างขึ้นโดย (โดยรุ่นเชิงเส้นพีชคณิตของการค้นหาความกว้าง - แรก) และตรวจสอบว่าเมทริกซ์ทุกตัวในพื้นฐานนั้นไม่มีค่า ขอบเขตบนมาจากการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในตัวแปรในการค้นหาแบบกว้าง เนื่องจาก BFS ไม่สามารถอยู่ได้นานและเนื่องจากสิ่งเหล่านี้คือเมทริกซ์เพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์เป็น nilpotent หรือไม่จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเท่านั้น $A_i$ $\tilde O(n^{2\omega})$ $n^2$ $\dim \mathcal{A} \leq n^2$ $n \times n$ $A$ $A^n = 0$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

2

คุณคิดว่ามีวิธีที่จะแสดงสิ่งนี้โดยไม่ใช้หลักการทางเลือกใด ๆ หรือไม่ (แม้แต่อันที่อ่อนแอกว่าเลมม่าของKönigซึ่งเทียบเท่ากับ )?

{AC}_{ω}

$\text{AC}_\omega$

— András Salamon

2

@Andras: ฉันจะบอกว่าเป็นคำถามสำหรับ Chris Conidis เขาศึกษาคำถามแบบนั้นในคณิตศาสตร์ย้อนกลับ (คำนวณ) ฉันจะถามเขาและชี้ให้เขาที่นี่

— Joshua Grochow

1

@robinson: 1) ใช่ปัญหานั้น decidable จริง ๆ แล้วในเวลาเวลาที่คือเลขชี้กำลังของการคูณเมทริกซ์ สิ่งนี้มาจากการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเหนือเมื่อทำการค้นหาพีชคณิตเชิงเส้นแบบกว้างแรก 2) ใช่แนวคิดพื้นฐานของการดูเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ใน (หรือมากกว่าหรือ )

O (n^{2 ω})

$O(n^{2\omega})$

ω

$\omega$

Q

$\mathbb{Q}$

Q^{n^{2}}

$\mathbb{Q}^{n^2}$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Joshua Grochow

1

คุณเริ่มต้นด้วยพื้นฐานของ{A} ตอนนี้คุณพยายามที่จะหาเมทริกซ์และเช่นว่าหรือไม่ได้อยู่ในช่วงของ{B} หากคุณประสบความสำเร็จให้เพิ่มผลิตภัณฑ์ลงในและดำเนินการต่อ มิฉะนั้นการคูณเมทริกซ์ใด ๆ ในช่วงของโดยผลิตภัณฑ์ จำกัด ใด ๆ ของการฝึกอบรมในมักจะจบลงในช่วงของ{B} เนื่องจากขนาดของพีชคณิตถูก จำกัด ขอบเขตกระบวนการจึงยุติ (ในขั้นสูงสุดขั้นตอน)

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

A \in A

$A \in \mathcal{A}$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

A B

$AB$

B A

$BA$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

B

$\mathcal{B}$

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

1

@robinson: เลขที่หากพีชคณิตเป็น nilpotent แล้วทุกองค์ประกอบของพีชคณิตเป็น nilpotent ดังนั้นหากคุณพบองค์ประกอบที่ไม่ใช่ nilpotent แล้วพีชคณิตไม่ใช่ nilpotent (และมีผลิตภัณฑ์อนันต์ของเมทริกซ์ของคุณซึ่งไม่เคยเป็นศูนย์)

— Joshua Grochow

6

ฉันมีอัลกอริทึมแบบโพลีเวลาสำหรับปัญหานี้ (เป็นปัญหาเล็กน้อย) สำหรับการตรวจสอบว่ารัศมีสเปกตรัมร่วม (JSR) เป็นศูนย์หรือไม่ในปี 2538: http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_spectral_radius

เรื่องราวเบื้องหลังอัลกอริธึมมีดังต่อไปนี้: Blondel และ Tsitsiklis กล่าวไว้อย่างผิด ๆ ว่าสำหรับการฝึกอบรมแบบบูลเพื่อตรวจสอบว่า JSR <1 เป็น NP-HARD หรือไม่ สำหรับชุดของการฝึกอบรมจำนวนเต็ม JSR ใด ๆ คืออีเธอร์เป็นศูนย์หรือมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ดังนั้นตัวอย่างเคาน์เตอร์ของคำสั่งคืออัลกอริทึมของฉัน (ดู errata ไปยังกระดาษของพวกเขา) หลักจริยธรรม: ปรึกษา Wikipedia ก่อน!

— Leonid gurvits
แหล่งที่มา

5

คำถามที่คุณถามนั้นเทียบเท่ากับการตัดสินใจว่ารัศมีการเชื่อมต่อสเปกตรัม (JSR) ของชุดเมทริกซ์นั้นน้อยกว่าหนึ่งหรือไม่ ความสามารถในการตัดสินใจของคำถามนี้ยังคงเปิดอยู่ในขณะนี้ (ในทฤษฎีการควบคุมสิ่งนี้เทียบเท่ากับความสามารถในการตัดสินใจได้ของเสถียรภาพของระบบสวิตชิ่งเชิงเส้นภายใต้การเปลี่ยนโดยพลการ)

ตัวแปรของคำถามของคุณต่อไปนี้ทราบว่าไม่สามารถตัดสินใจได้: เนื่องจากชุดเมทริกซ์จตุรัสมีขอบเขต จำกัด ตัดสินใจว่าผลิตภัณฑ์ทั้งหมดยังคงมีขอบเขตหรือไม่ ดูที่นี่

undecidability ซากดังกล่าวข้างต้นที่ถูกต้องแม้ว่าคุณจะมีเพียง 2 เมทริกซ์ขนาด 47x47: ดูที่นี่

ในภาษา JSR คำถามการทดสอบ "คือ JSR " ไม่สามารถตัดสินใจได้ (ดูข้อมูลอ้างอิงด้านบน) แต่การทดสอบความสามารถในการถอดรหัส "คือ JSR หรือไม่" เปิด. คำถามหลังเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่า"การคาดคะเนความสมเหตุสมผลทางเหตุผล": หากการคาดคะเนความสมเหตุสมผลทางเหตุผลเป็นความจริงคำถามที่คุณถามนั้นจะสามารถตัดสินใจได้ $\le 1$ $< 1$

ในที่สุดเว้นแต่ P = NP, JSR ไม่ได้ประมาณในเวลาพหุนาม (ในความหมายที่ชัดเจนที่กำหนดไว้ในบทความนี้ )

ดังนั้นหนึ่งในคำตอบข้างต้นที่อ้างว่าอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพต้องเป็นเท็จ

ในด้านบวกมีอัลกอริทึมต่าง ๆ (เช่นตามการเขียนโปรแกรม semidefinite) สำหรับการประมาณ JSR อัลกอริทึมที่แตกต่างกันนั้นมาพร้อมกับการรับประกันประสิทธิภาพที่แตกต่างกัน ดูตัวอย่างต่อไปนี้ (ดูหมิ่นโดยตัวเองและเพื่อนร่วมงานของฉัน - แต่ดูอ้างอิงในนั้นด้วย )

ในหลายกรณีพิเศษคำถามที่คุณถามคือเวลาพหุนามตัดสินใจได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อการฝึกอบรมมีความสมมาตรหรืออันดับหนึ่งหรือถ้าพวกเขาเดินทาง

สุดท้ายเป็นหนังสือที่ดีในเรื่องที่เป็นดังต่อไปนี้

— Amir Ali Ahmadi
แหล่งที่มา

โปรดอ่านคำแถลงอย่างเป็นทางการของคำถามที่ฉันถาม - มันไม่เทียบเท่ากับการตัดสินใจว่า JSR นั้นน้อยกว่าหนึ่งข้อหรือไม่ บางทีคุณอาจเข้าใจผิดจากชื่อคำถาม ในระยะสั้นฉันถามเกี่ยวกับสินค้าทุกชิ้นที่มีค่าเท่ากับศูนย์ในเวลา จำกัดมากกว่าในแง่ที่ไม่มีอาการ

— robinson

2

คำถามที่คุณถามนั้นง่ายกว่ามาก สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่า: (i) เงื่อนไขที่คุณกำหนด (ii) ผลิตภัณฑ์ จำกัด ทั้งหมดมี nilpotent (iii) JSR = 0 (iv) ผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่มีความยาว n เป็นศูนย์ (n คือมิติซึ่งเป็นอิสระจากจำนวนของ เมทริกซ์ k) เห็นได้ชัดว่าสภาพสุดท้ายบ่งบอกถึงความสามารถในการตัดสินใจได้และถ้าคุณสามารถตรวจสอบสภาพได้ในเวลาพหุนาม ดูหัวข้อ 2.3.1 ของหนังสือโดย Jungers ที่เชื่อมโยงท้ายโพสต์ของฉัน ฉันขอโทษที่คิดว่าคุณหมายถึงรุ่นที่ไม่มีอาการ (ฉันถูกเข้าใจผิดโดยวลี "ผลิตภัณฑ์ทั้งหมดในที่สุดเท่ากับศูนย์".)

— Amir Ali Ahmadi

ในกรณีนี้ @AmirAliAhmadi ไม่ได้รับคำตอบจาก Joshua Grochow?

— Suresh Venkat

2

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่ามันจะมีอัลกอริทึมที่แตกต่างจากที่ฉันมีอยู่ในใจ (อีกครั้งฉันขอโทษที่คิดว่าคำถามคือ "ทำผลิตภัณฑ์ทั้งหมดมาบรรจบกันเป็นศูนย์" (เช่น JSR <1?) ซึ่งเปิดใช้งานการถอดรหัสได้) มีความแตกต่างเล็กน้อยแม้ว่าจะมีคำตอบของโจชัว (1) ในความเท่าเทียมของ (i) - (iv) ในความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันฉันไม่คิดว่าจำเป็นต้องใช้เล็มม่าของ Konig (2) ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมเขาถึงใช้การผสมเชิงเส้นของเมทริกซ์ (3) ฉันคัดลอกอัลกอริทึมทางเลือกง่ายๆด้านล่างจากส่วน 2.3.1 ของหนังสือโดย Jungers มาที่ Leonid Gurvits

— อาเมียร์อาลีอามาดี

4

[ดำเนินการต่อจากด้านบน ... ] ทั้งหมดที่เราต้องตรวจสอบคือผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่มีความยาว

เป็นศูนย์ แต่มีเมทริกซ์

ดังกล่าว เพื่อหลีกเลี่ยงนี้กำหนดฝึกอบรมดังต่อไปนี้ซ้ำ:

ฉัน

จากนั้นหนึ่งมี

เมทริกซ์นี้สามารถคำนวณได้โดย

n

$n$

k^{n}

$k^n$

X_{0} = I, X_{j} = \sum_{i = 1}^{k} A_{i}^{T} X_{j - 1} A_{i}

$X_0=I,\ X_j=\sum_{i=1}^k A_i^TX_{j-1}A_i$

X_{n} = \sum_{A product of length n} A^{T} A

$X_n=\sum_{A\mbox{ product of length n}}A^TA$

k n

$kn$ การคูณเมทริกซ์และเป็นศูนย์ถ้าและถ้าผลิตภัณฑ์ทั้งหมดของความยาว

เป็นศูนย์

n

$n$

— อาเมียร์อาลีอามาดี

0

แก้ไข: คำตอบนี้ไม่ถูกต้องขออภัย ข้อผิดพลาดถูกเน้นด้านล่าง อาร์กิวเมนต์ใช้งานได้ถ้าเราได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนเมทริกซ์

เราเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์บทแทรก

บทแทรก ให้เป็นเมทริกซ์และให้เป็นเมทริกซ์กับคนในแนวทแยงรอง หากและเป็น nilpotent สำหรับทุกแล้ว 0ข้อสรุปที่ถูกต้อง: คือสามเหลี่ยมด้านบนที่มีเลขศูนย์บนเส้นทแยงมุม (ข้อสรุปดั้งเดิมจะได้รับการกู้คืนหากเราได้รับอนุญาตให้คูณด้วยอำนาจของการเปลี่ยนตำแหน่งของ ) $A$ $n\times n$ $N$ $n\times n$ $AN^t$ $N^tA$ $t \geq 0$ $A = 0$ $A$ $N$

พิสูจน์ สมมติว่าตัวอย่างนั้นและเขียน $n = 3$ เราเริ่มต้นด้วยการคำนวณ : เมทริกซ์นี้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมและดังนั้นหากเป็น nilpotent แล้ว 0ดำเนินการต่อด้วย :

A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}), N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

A N^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{matrix}) .

$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

g = 0

$g = 0$

A N^{1}

$AN^1$

อีกครั้งเมทริกซ์อยู่ในรูปสามเหลี่ยมและดังนั้นหาก

เป็น nilpotent แล้ว

0

อย่างต่อเนื่อง

เมื่อก่อนเราสรุปได้ว่า

A N^{1} = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{matrix}) .

$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$

A N^{1}

$AN^1$

d = h = 0

$d = h = 0$

A N^{0} = (\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{matrix}) .

$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$

ดังนั้น

คือสามเหลี่ยมด้านบนที่มีเลขศูนย์บนเส้นทแยงมุม

a = e = i = 0

$a = e = i = 0$

A

$A$

หากเราพิจารณาแทนเราจะสรุปได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าที่มีเลขศูนย์ในแนวทแยงมุม ในความเป็นจริงเราไม่ได้รับอะไรใหม่จากการพิจารณาดังนั้น 0 $N^2A,N^1A,N^0A$ $A$ $N^tA$ $A = 0$ $\square$

$A_1,\ldots,A_k$ $i_1,\ldots \in [k]$ $A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$ $m$ $A_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ $A_1$ $V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$ $V_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ $\dim V_i > 1$ $0$ $V_i$ $A_1 = N$ $A_2 \neq 0$ $t \geq 0$ $A_2 A_1^t$ $A_1^t A_2$

โดยสรุปคุณสมบัติ P ถือ iff เมทริกซ์ทั้งหมดเป็นค่าลบและทุกค่าเดินทาง

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

4

N^{2} A

$N^2 A$

g = 0

$g = 0$

N^{1} A

$N^1 A$

d = h = 0

$d = h = 0$

N^{0} A

$N^0 A$

a = e = i = 0

$a=e=i=0$

A

$A$

A

$A$

แน่นอนคำตอบนี้ไม่ถูกต้อง หากไม่มีใครทำฉันจะโพสต์ตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ทั้งบทแทรกและการยืนยันขั้นสุดท้ายเมื่อฉันกลับถึงบ้านในวันนี้

— robinson

5

ตามปกติคือเมื่อมีการอ้างสิทธิ์ แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าการพิสูจน์ล้มเหลว โอ้ดี ...

— Yuval Filmus

1

A_{0} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), A_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$