มีคำอธิบายสำหรับความยากลำบากในการพิสูจน์ขอบเขตล่างกำลังสองสำหรับปัญหา NP ที่น่าสนใจหรือไม่?

นี่คือคำถามที่ตามมาของฉัน:

ความซับซ้อนของเวลาที่กำหนดขึ้นซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตล่างสำหรับปัญหาธรรมชาติใน NP

ฉันพบว่ามันทำให้สับสนซึ่งเราไม่สามารถพิสูจน์เวลาที่กำหนดได้สองด้านสำหรับปัญหา NP ที่น่าสนใจที่ผู้คนสนใจและพยายามออกแบบอัลกอริทึมที่ดีกว่า สมมติฐานการคาดเดาเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลของเราระบุว่า SAT ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนดแบบเอ็กซ์โปแนนเชียล แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ SAT ได้ (หรือปัญหา NP อื่น ๆ ที่น่าสนใจ) ต้องใช้เวลากำลังสอง!

ฉันรู้ว่าน่าสนใจค่อนข้างเป็นส่วนตัวและคลุมเครือ ฉันไม่มีคำจำกัดความ แต่ให้ฉันพยายามอธิบายสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นปัญหาที่น่าสนใจ: ฉันกำลังพูดถึงปัญหาที่มากกว่าสองสามคนพบว่าน่าสนใจ ฉันไม่ได้พูดถึงปัญหาบางอย่างที่ถูกออกแบบมาเพื่อตอบคำถามทางทฤษฎี หากผู้คนไม่พยายามค้นหาอัลกอริธึมที่เร็วกว่าสำหรับปัญหาแสดงว่าปัญหาไม่น่าสนใจ หากคุณต้องการตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของปัญหาที่น่าสนใจให้พิจารณาปัญหาในกระดาษ 1972 ของ Karp หรือใน Garey และ Johnson 1979 (ส่วนใหญ่)

มีคำอธิบายใด ๆ หรือไม่ว่าทำไมเราถึงไม่สามารถพิสูจน์เวลาที่กำหนดค่ากำลังสองที่ลดลงสำหรับปัญหา NP ที่น่าสนใจใด ๆ

— ไม่ระบุชื่อ
แหล่งที่มา

เพราะขอบเขตที่ต่ำกว่านั้นยาก? คำอธิบายแบบไหนที่จะทำให้คุณพึงพอใจ?

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E คำอธิบายที่ไม่เป็นสาระเกี่ยวกับการเรียนรู้แบบไหนที่ให้ข้อมูลและลึกซึ้ง? สัญชาติญาณหรือผลลัพธ์อธิบายว่าทำไมเราถึงติดอยู่ตรงไหนในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า เนื่องจากการอ้างสิทธิ์ของเราแข็งแกร่งกว่าผลลัพธ์ของเราฉันมั่นใจว่าผู้เชี่ยวชาญคนอื่น ๆ คิดว่าทำไมหลังจากพยายามมานานหลายทศวรรษเราจึงไม่สามารถรับขอบเขตล่างที่เป็นกำลังสองของปัญหา NP ที่น่าสนใจ

— ไม่ระบุชื่อ

นี่คือคำอธิบายจากบล็อกของ Lipton เหยื่อและสวิตช์: เหตุใดขอบเขตที่ต่ำกว่าจึงยากนัก rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/…

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: ฉันคิดว่าข้อมูลเชิงลึกของ Rudich เช่นเดียวกับในบล็อกของ Lipton อาจเป็นคำตอบไม่ใช่แค่ความคิดเห็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งการโต้แย้งนี้ซึ่งแตกต่างจากบางคนใช้กับขอบเขตล่าง

เท่า ๆ กันกับขอบเขตล่างพหุนามแบบซุปเปอร์

n^{2}

$n^2$

— Joshua Grochow

คำถามของขอบเขตที่ต่ำกว่าสมการกำลังสองนั้นมีความเกี่ยวข้องเมื่อคุณ จำกัด อัลกอริทึมให้มีพื้นที่น้อยมาก (เช่นโพลีล็อก) หรือเมื่อคุณดูที่เครื่องจักรทัวริงเทปเดียว (ซึ่ง จำกัด การเข้าถึงหน่วยความจำมาก) แต่เมื่อหน่วยความจำไม่ จำกัด และการเข้าถึงหน่วยความจำไม่ จำกัด คำถาม "ของจริง" คือว่ามีขอบเขตที่ต่ำกว่าเส้นตรงเวลาสำหรับปัญหา NP ที่น่าสนใจในรูปแบบการคำนวณแบบสุ่มใด ๆ ที่เข้าถึงได้หรือไม่ (Grandjean พิสูจน์ขอบเขตต่ำสุดบางเส้นสำหรับเครื่องทัวริงมัลติทาสก์ แต่พวกเขาต้องพึ่งพาโครงสร้างของเทปหนึ่งมิติ)

— Ryan Williams

คำตอบ:

นี่คือคำอธิบายจากบล็อกของ Lipton: Bait and Switch: ทำไมขอบเขตล่างถึงยากเหลือเกิน

ในฐานะที่เป็น Grochow สังเกตเห็นความเข้าใจของ Rudich ใช้อย่างเท่าเทียมกันกับขอบเขตที่ต่ำกว่าเหมือนกับขอบเขตล่างพหุนามแบบซุปเปอร์ $n^2$

ข้อมูลเชิงลึกของ Rudich อธิบายว่าทำไมข้อพิสูจน์ที่ต่ำกว่าใด ๆ ว่าเป็นไปตามวิธีการต่อไปนี้ไม่สามารถใช้งานได้

"การคำนวณใด ๆ ที่คำนวณต้องทำให้ความคืบหน้าช้าไปสู่ . แต่ละขั้นตอนการคำนวณสามารถทำให้คุณเข้าใกล้เป้าหมายสุดท้ายได้มากขึ้นเท่านั้นดังนั้นการคำนวณจะมีหลายขั้นตอน" $f$ $f$

โดยพื้นฐานแล้วไม่มีการวัดความก้าวหน้าที่สามารถอยู่รอดจากการหลอกลวงและการเปลี่ยนของ Rudich และสามารถนำไปสู่ขอบเขตที่ต่ำกว่าได้

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

คุณสามารถค้นหามุมมองอื่นของการโต้แย้ง "เหยื่อและสวิตช์" ในบทพิสูจน์ธรรมชาติของ Arora-Barak พวกเขาใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันเพื่อยืนยันว่ารูปแบบ "ขอบเขตความซับซ้อนที่เป็นทางการ" อาร์กิวเมนต์ต่ำกว่าขอบเขตต้องใช้กับฟังก์ชันสุ่มที่มีความน่าจะเป็นสูง แต่ถ้าวัดความซับซ้อนอย่างเป็นทางการ

กำหนดความซับซ้อนสูงให้กับฟังก์ชั่นแบบสุ่ม
ไม่ได้กำหนดความซับซ้อนสูงให้กับฟังก์ชั่นที่ง่าย
สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายจากตารางความจริงของฟังก์ชั่น

จากนั้นมันสามารถใช้ในการทำลายเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอก นี่คือสิ่งที่เป็นอุปสรรคการพิสูจน์ตามธรรมชาติเป็นทางการ เราแย้งว่า 1. มีเหตุผลมากสำหรับวิธีการมากมายในการลดขอบเขตโดยไม่มี 2. การวัดความซับซ้อนดูเหมือนไร้ประโยชน์และ 3. ขึ้นอยู่กับการสังเกตว่าเราสามารถเปลี่ยนหลักฐานการดำรงอยู่ของ combinatorial ให้เป็นอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพและ สัญชาตญาณว่าการพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์โดยเนื้อแท้เป็นการพิสูจน์ที่ยาก

$C$ $C'$ $C'$ $C$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา