ประวัติและสถานะของปัญหาการจับคู่กราฟ

ส่วนหนึ่งของความยากลำบากในการค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหานี้คือปัญหาการจับคู่กราฟแตกต่างจากลูกพี่ลูกน้องที่โด่งดังมากขึ้นปัญหาการจับคู่ แต่ยากที่จะแยกแยะความแตกต่างเมื่อใช้เครื่องมือค้นหา

รับกราฟสองกราฟ$G=(V,E)$และ$G'=(V',E')$เช่นนั้น$|V| = |V'|$งานคือการหา bijection $\pi : V \rightarrow V'$ดังกล่าวว่า bijection นี้กำหนดเป็นจดหมายมากระหว่างขอบของ$G$และ$G'$เป็นไปได้

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า$M$และ$M'$เป็นเมทริกซ์ adjascency แล้วเราต้องการที่จะเพิ่ม

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

ปัญหานี้ชัดเจนประกอบด้วยกราฟมอร์ฟิซึ่มส์เป็นกรณีพิเศษและสามารถลดลงเป็นการจับคู่สองฝ่ายภายใต้การลด (ไม่ใช่พหุนาม!)

มีอัลกอริธึมชนิดใดและมีความซับซ้อนเกี่ยวกับอะไรบ้าง?

จากกระดาษIsomorphism กราฟโดยประมาณ :

เราศึกษาเวอร์ชั่นที่เหมาะสมที่สุดของ Graph Isomorphism จากกราฟสองกราฟเราสนใจที่จะหา bijectionจากถึงที่เพิ่มจำนวนการจับคู่ให้ได้มากที่สุด (ขอบที่แมปกับขอบ เราให้รูปแบบการประมาณเวลาซึ่งสำหรับปัจจัยคงที่ใด ๆให้คำนวณ -approximation เราพิสูจน์สิ่งนี้โดยการรวม$G_1,G_2$ V ( G 1 ) V ( G 2 ) n O ( บันทึกn$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$อัลกอริทึมการประมาณข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งเวลาของ Arora และคณะ [คณิตศาสตร์. โปรแกรม., 92, 2002] ด้วยอัลกอริทึมเฉลี่ยง่าย ๆ นอกจากนี้เรายังพิจารณาปัญหาการลดที่สอดคล้องกัน (จากที่ไม่ตรงกัน) และพิสูจน์ว่ามันเป็น NP-ยากที่จะ -approximate สำหรับการใด ๆ ปัจจัยคงαนอกจากนี้เรายังแสดงให้เห็นว่ามันยังเป็นปัญหาที่ยากมากที่จะประมาณจำนวนสูงสุดของขอบที่แมปกับขอบซึ่งอยู่เหนือปัจจัยที่ 0.94$α$$α$

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับปัญหาของคุณ แต่ผมก็เพิ่งจะรู้ดี (EST) คอลเลกชันของเอกสารที่เกี่ยวข้องกับกราฟขั้นตอนวิธีการจับคู่กับไฟล์ PDF เสียงปรบมือสำหรับ Seth Pettie!

กระดาษที่ @Austin Buchanan ชี้ไปด้านบนในกราฟ Isomorphism โดยประมาณดูเหมือนจะไม่ตรงกับรุ่นที่ถาม ฉันสมมติว่าเมทริกซ์ adjacency มีรายการในกรณีที่วัตถุประสงค์มีการวัดเฉพาะขอบที่ตรงกัน โมเดล Isomorphism โดยประมาณของกราฟวัดทั้งการจับคู่ขอบที่ไม่ตรงกันซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเล็กน้อยจากมุมมองโดยประมาณ$0,1$

ปรากฏว่าปัญหาที่ถามนั้นเป็นปัญหาอย่างน้อยที่สุดเท่าที่ปัญหา -dense-subgraph ซึ่งในปัจจุบันยอมรับเฉพาะการประมาณพหุนามเท่านั้น ดูhttp://arxiv.org/abs/1001.2891และhttp://arxiv.org/abs/1110.1360สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมและสถานะปัจจุบันในแง่ของอัลกอริธึมและความแข็ง$k$

ตอนนี้สำหรับการลด สมมติว่าเราต้องการแก้ปัญหา -dense-subgraph ในกราฟ ; นั่นคือเราต้องการที่จะหาชุดย่อยของโหนดที่เพิ่มจำนวนขอบในกราฟเทพ[S] คุณสามารถลดนี้ปัญหาของคุณโดยการตั้งค่าจะเป็นกราฟที่ประกอบด้วยก๊กบน -vertices และจุดแยกและจะกำหนดHH k S G [ S ] G k n - k G ′$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$