ความซับซ้อนของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรารู้ว่าฟังก์ชั่นเอ็กซ์โปแนนเชียลมากกว่าจำนวนธรรมชาติไม่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามเพราะขนาดของเอาท์พุทไม่ได้ถูก จำกัด ขนาดแบบพหุนามในขนาดของอินพุต $\exp(x,y) = x^y$

นี่คือเหตุผลหลักสำหรับความยากลำบากในการคำนวณฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือการยกกำลังนั้นยากที่จะคำนวณโดยอิสระจากการพิจารณานี้หรือไม่?

ความซับซ้อนของบิตกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— จางไป
แหล่งที่มา

ฉันเปลี่ยนความคิด "EXP" เป็น "L" เนื่องจาก EXP เป็นชื่อของระดับความซับซ้อนที่มีชื่อเสียงและอาจนำไปสู่ความสับสน

— MS Dousti

ถ้า

จะมีการ จำกัด อำนาจของ 2 แล้ว

คือ

กราฟของการยกกำลัง

มีความซับซ้อนต่ำ

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— Kaveh

Sadeq: หากคุณต้องการหลีกเลี่ยงคลาสที่ซับซ้อน L จะไม่ดีไปกว่า EXP ... เปลี่ยนเป็น X.

— Peter

@ Peter: ในบริบท L แน่นอนที่สุดคือ "ภาษา" มากกว่าชั้นความซับซ้อนของ Log-space อย่างไรก็ตาม X เป็นตัวเลือกที่ดีกว่ามาก

— MS Dousti

@Kaveh: คำถามที่ระบุว่ามันเป็นเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชั่นชี้แจงเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

นี่คือขอบเขตบน

ด้วยการยกกำลังสองซ้ำปัญหานี้อยู่ใน PSPACE

มีขอบเขตบนที่ดีขึ้นเล็กน้อย ปัญหาเป็นกรณีพิเศษของปัญหา BitSLP: กำหนดโปรแกรมแบบเส้นตรงเริ่มต้นจาก 0 และ 1 ด้วยการบวกการลบและการคูณที่แทนจำนวนเต็มNและให้i decide ตัดสินใจว่าi- th bit (นับจาก บิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด) ของการแทนค่าไบนารีของNคือ 1 ปัญหาของ BitSLP อยู่ในลำดับชั้นการนับ ( CH ) [ABKM09] (ระบุไว้ใน [ABKM09] ว่าสามารถแสดงได้ว่าปัญหา BitSLP อยู่ใน PH ^{PP ^{PP ^{PP ^PP}}} )

การเป็นสมาชิกของ CH มักจะถูกพิจารณาว่าเป็นหลักฐานว่าปัญหาไม่น่าจะเป็น PSPACE-hard เพราะความเท่าเทียมกัน CH = PSPACE แสดงถึงว่าลำดับชั้นการนับยุบ อย่างไรก็ตามฉันไม่ทราบว่าหลักฐานนี้มีความแข็งแกร่งเพียงใด

สำหรับความแข็งนั้น BitSLP จะแสดงเป็น # P-hard ในกระดาษเดียวกัน [ABKM09] อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ดูเหมือนว่าไม่มีความหมายถึงความแข็งของภาษาXในคำถาม

อ้างอิง

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen และ Peter Bro Miltersen เกี่ยวกับความซับซ้อนของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วารสารคอมพิวเตอร์สยาม , 38 (5): 2530-2549, ม.ค. 2552. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่อย่างน้อยก็มีบางส่วน

ฉันสังเกตว่าทั้งสองคำตอบที่ปรากฏจนถึงขณะนี้ยังไม่ได้พูดถึงความจริงที่ว่ามีอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณเลขชี้กำลังแบบเอกซ์โพเนนเชียลโดยที่คือจำนวนบิตในและที่ไหนเป็นเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกับอัลกอริธึมการคูณที่เร็วที่สุด ดังนั้นบิตที่มีนัยสำคัญน้อยกว่าของเลขชี้กำลังสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ (ในหรือน้อยกว่า) $O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

วิธีการทำเช่นนี้ค่อนข้างง่าย: คุณสามารถคำนวณ , , Zเห็นได้ชัดว่าและดังนั้นแต่เนื่องจากมีเพียงเทอมสิ่งนี้ใช้เวลาเพียง $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ คูณ

นอกจากนี้เราสามารถเขียนเป็นดังนั้นบิตที่สำคัญที่สุดซึ่งตรงกับประมาณสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพเนื่องจากสิ่งเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับบิตที่สำคัญที่สุดเท่านั้น ของx $x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

ดังนั้นข้อกำหนดปัญหาจริงเท่านั้นที่เกิดจากบิตต่อศูนย์ของ Y $x^y$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

มีความสัมพันธ์ที่น่าสนใจระหว่างคำตอบนี้กับฉัน ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดภาพรวมคร่าวๆของอัลกอริทึมใน[ABKM09 ] ที่อ้างถึงในคำตอบของฉันคือการรวมความคิดนี้เข้ากับทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีนเพื่อให้ได้บิตที่สูงขึ้น

— Tsuyoshi Ito

อาฉันไม่ได้ตระหนักว่า

— Joe Fitzsimons

[คำตอบนี้อธิบายประเด็นที่น่าสนใจเกี่ยวกับคำตอบของPer Vognsen มันไม่ได้เป็นคำตอบโดยตรงกับคำถามของ OP แต่มันอาจช่วยในการแก้ไขคำถามดังกล่าว]

$i$ $\pi$ $i-1$

$i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— MS Dousti
แหล่งที่มา