คำถามติดแท็ก nt.number-theory

เรารู้ว่าฟังก์ชั่นเอ็กซ์โปแนนเชียลมากกว่าจำนวนธรรมชาติไม่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามเพราะขนาดของเอาท์พุทไม่ได้ถูก จำกัด ขนาดแบบพหุนามในขนาดของอินพุตประสบการณ์( x , y) = xYexp⁡(x,y)=xy\exp(x,y) = x^y นี่คือเหตุผลหลักสำหรับความยากลำบากในการคำนวณฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือการยกกำลังนั้นยากที่จะคำนวณโดยอิสระจากการพิจารณานี้หรือไม่? ความซับซ้อนของบิตกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร? { ⟨ x , y, ฉัน⟩ ∣ x , y, ฉัน∈ N และ i- th บิตของ xY คือ 1 }{⟨x,y,i⟩∣x,y,i∈N and the i-th bit of xy is 1}\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of …

36 cc.complexity-theory  nt.number-theory 

เมื่อเร็ว ๆ นี้Gil KalaiและDick Liptonทั้งคู่เขียนบทความที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคาดเดาที่น่าสนใจที่เสนอโดย Peter Sarnak ผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวนและสมมติฐานของ Riemann การคาดคะเน ให้เป็นฟังก์ชั่นMöbius สมมติว่าF : N → { - 1 , 1 }เป็นC 0ฟังก์ชั่นด้วยการป้อนข้อมูลkในรูปแบบของการแสดงไบนารีของkแล้ว Σ k ≤ n μ ( k ) ⋅ ฉ( k ) = o ( n )μ ( k )μ(k)\mu(k)f:N→{−1,1}f:N→{−1,1}f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}AC0AC0\mathsf{AC}^0kkkkkk∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n).∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n). \sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot …

35 cc.complexity-theory  randomness  open-problem  nt.number-theory 

พิจารณาปัญหาการนับต่อไปนี้ (หรือปัญหาการตัดสินใจที่เกี่ยวข้อง): กำหนดจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่เข้ารหัสในไบนารีคำนวณตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของพวกเขา (gcd) คลาสที่ซับซ้อนที่สุดที่เล็กที่สุดปัญหานี้มีอยู่ในอะไร? คุณสามารถให้การอ้างอิงได้หรือไม่? ในคำถามนี้ฉันไม่ได้สนใจเรื่องขอบเขตเชิงเส้นตายในเวลาทำงาน แต่เป็นการเรียนที่ซับซ้อน ปัญหาใน AC หรือไม่ สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่โกหกใน AC0 หรือไม่ คลาสความซับซ้อนอื่น ๆ ภายใน P ที่เกี่ยวข้องที่นี่คืออะไร

33 cc.complexity-theory  reference-request  complexity-classes  nt.number-theory 

ด้วยจำนวนเต็มของความยาวบิตมันยากแค่ไหนที่จะส่งออกจำนวนปัจจัยหลัก (หรือจำนวนปัจจัยอื่น ๆ ) ของ ?NNNnnnNNN ถ้าเรารู้การแยกตัวประกอบเฉพาะของแล้วนี่จะง่าย อย่างไรก็ตามหากเราทราบจำนวนของปัจจัยสำคัญหรือจำนวนของปัจจัยทั่วไปมันไม่ชัดเจนว่าเราจะพบการแยกตัวประกอบที่แท้จริงได้อย่างไรNNN มีการศึกษาปัญหานี้หรือไม่? มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่แก้ปัญหานี้โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบเฉพาะ? คำถามนี้เป็นแรงบันดาลใจด้วยความอยากรู้และมีบางส่วนโดยคำถาม math.SE

30 cc.complexity-theory  counting-complexity  nt.number-theory  factoring 

หมายเลขธรรมชาติใด ๆ ถือได้ว่าเป็นลำดับบิตดังนั้นการป้อนหมายเลขธรรมชาติจึงเหมือนกับการป้อนลำดับ 0-1 ดังนั้นปัญหา NP-complete กับอินพุตธรรมชาติจึงมีอยู่ แต่มีปัญหาตามธรรมชาติบ้างไหมคือปัญหาที่ไม่ใช้การเข้ารหัสและการตีความตัวเลขพิเศษ? ตัวอย่างเช่น "na na prime?" เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ แต่เกมนี้มีอยู่ในเกมพีหรือ "ใครชนะเกมนิมที่มีกองขนาด 3, 5, n, n?" เป็นอีกปัญหาหนึ่งที่ฉันพิจารณาว่าเป็นเรื่องธรรมดา แต่เราก็รู้ว่าสิ่งนี้อยู่ใน P. ฉันยังสนใจในคลาสความซับซ้อนอื่น ๆ แทน NP ปรับปรุง: เป็นแหลมออกโดยเอมิล Jerabek ให้, ข, ค∈ N ,เพื่อตรวจสอบว่าx 2 + ขY - C = 0มีทางออกมากกว่าธรรมชาติที่เป็น NP-สมบูรณ์ นี่คือสิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจเป็นธรรมชาติยกเว้นว่าที่นี่การป้อนข้อมูลเป็นตัวเลขสามตัวแทนที่จะเป็นเพียงหนึ่งa,b,c∈N,a,b,c∈N,a,b,c\in \mathbb N,ax2+by−c=0ax2+by−c=0ax^2+by-c=0 อัปเดต 2: และหลังจากรอมานานกว่าสี่ปี Dan Brumleve …

30 cc.complexity-theory  np-hardness  nt.number-theory  combinatorial-game-theory 

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณของจำนวนเต็มแฟในจำนวนฟิลด์ทั่วไป? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: กว่าจำนวนเต็มเราแสดงจำนวนเต็มผ่านการขยายไบนารีของพวกเขา การเป็นตัวแทนแบบอะนาล็อกของจำนวนเต็มในฟิลด์หมายเลขทั่วไปคืออะไร เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าการเริ่มต้นเหนือฟิลด์หมายเลขนั้นเป็น P หรือ BPP อัลกอริธึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการรับแฟล็กฟิลด์หมายเลข (ทำexpn−−√exp⁡n\exp \sqrt nและ (เห็นได้ชัด)expn1/3exp⁡n1/3\exp n^{1/3}ขั้นตอนวิธีการขยายจากZZ\mathbb{Z}?) นี่แฟหมายถึงการหาตัวแทนของตัวเลขบางคน (แสดงโดยnnnบิต) เป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะ ความซับซ้อนของการค้นหา factorizations ทั้งหมดของจำนวนเต็มในเขตข้อมูลจำนวนคืออะไร? ในการนับจำนวนแฟคทอเรียลที่แตกต่างกันนั้นมีเท่าไหร่? กว่าZZ\mathbb{Z}เป็นที่รู้จักกันว่าการตัดสินใจว่าจำนวนที่กำหนดมีปัจจัยในช่วง[a,b][a,b][a,b]เป็น NP-ยาก เหนือวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนจะเป็นไปได้ไหมที่เราจะค้นพบว่ามีปัจจัยสำคัญที่บรรทัดฐานอยู่ในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งแล้วหรือไม่? มีการแยกตัวประกอบในเขตข้อมูลหมายเลขใน BQP หรือไม่ ข้อสังเกตแรงจูงใจและการปรับปรุง แน่นอนความจริงที่ว่าการแยกตัวประกอบไม่แตกต่างกันไปตามจำนวนเขตข้อมูลเป็นสิ่งสำคัญที่นี่ คำถาม (โดยเฉพาะตอนที่ 5) ได้รับแรงบันดาลใจจากการโพสต์บล็อกผ่าน GLL (ดูคำพูดนี้ ) และจากคำถาม TCSexchange ก่อนหน้านี้ ผมนำเสนอก็ยังบล็อกของฉันที่ Lior Silverman นำเสนอคำตอบอย่างละเอียด

25 cc.complexity-theory  nt.number-theory  comp-number-theory 

เป็นกำหนดขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาที่รู้จักกันสำหรับปัญหาต่อไปนี้: อินพุต: ตัวเลขธรรมชาติn (ในการเข้ารหัสไบนารี)nn เอาท์พุท: จำนวนเฉพาะP > np > np > n (ตามรายการปัญหาเปิดของ Leonard Adleman ปัญหาดังกล่าวเปิดในปี 1995)

25 cc.complexity-theory  open-problem  nt.number-theory  polynomial-time  primes 

อะไรคือข้อพิสูจน์ของการคาดคะเน abcสำหรับ tcs? http://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/

24 big-picture  nt.number-theory 

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมการทดสอบแบบดั้งเดิมของ AKS คือการตรวจสอบว่าหมายเลขอินพุตนั้นเป็นพลังงานที่สมบูรณ์แบบหรือไม่ ดูเหมือนว่านี่เป็นข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดีในทฤษฎีจำนวนเนื่องจากบทความไม่ได้อธิบายอย่างละเอียด มีคนบอกฉันได้ไหมว่าจะทำอย่างไรในเวลาพหุนาม ขอบคุณ

23 ds.algorithms  nt.number-theory 

Recallจำนวน primesเป็นฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ โดย "PRIMES in P" การคำนวณอยู่ใน #P ปัญหา # P-complete หรือไม่ หรืออาจมีเหตุผลที่ซับซ้อนที่จะเชื่อว่าปัญหานี้ไม่สมบูรณ์ # P? π(n)π(n)\pi(n)≤n≤n\le nπ(n)π(n)\pi(n) ป.ล. ฉันรู้ว่านี่เป็นเรื่องไร้เดียงสาเพราะใครบางคนต้องศึกษาปัญหาและพิสูจน์ / หักล้าง / คาดเดาสิ่งนี้ แต่ฉันไม่สามารถหาคำตอบในวรรณกรรมได้ ดูที่นี่หากคุณสงสัยว่าทำไมฉันถึงแคร์

20 cc.complexity-theory  counting-complexity  nt.number-theory  comp-number-theory  primes 

วิกิพีเดียมีตัวอย่างของปัญหาที่รุ่นนับยากขณะที่รุ่นตัดสินใจง่าย สิ่งเหล่านี้บางอย่างกำลังนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบการนับจำนวนวิธีแก้ปัญหาเป็น -SAT และจำนวนการเรียงลำดับทอพอโลยี222 มีคลาสที่สำคัญอื่น ๆ อีกไหม (พูดตัวอย่างในโปรยต้นไม้ทฤษฎีจำนวนและอื่น ๆ )? มีบทสรุปของปัญหาดังกล่าวหรือไม่? มีปัญหาหลายประเภทในPPPซึ่งมี#P#P\#Pฮาร์ดเวอร์ชันการนับ มีรุ่นของปัญหาธรรมชาติในที่เข้าใจอย่างสมบูรณ์หรือเรียบง่ายกว่าการจับคู่ bipartite ทั่วไปที่สมบูรณ์ (โปรดระบุรายละเอียดเกี่ยวกับสาเหตุที่ง่ายกว่าเช่นการพิสูจน์ในชั้นต่ำสุดของลำดับชั้นเป็นต้น) ในพื้นที่อื่น (เช่นทฤษฎีจำนวน, โปรย) หรืออย่างน้อยสำหรับกราฟสองฝ่ายอย่างง่ายโดยเฉพาะซึ่งรุ่นนับเป็น P - ฮาร์ด?PPPNCNCNC#P#P\#P ตัวอย่างจาก lattices, เรขาคณิตระดับประถมนับจุดทฤษฎีจำนวนจะได้รับการชื่นชม

20 reference-request  counting-complexity  nt.number-theory  permanent  decision-trees 

ในปี 1995 อัลกอริธึมแบบพหุนามเวลากระดาษของเขาสำหรับการแยกตัวประกอบเฉพาะและลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องบนคอมพิวเตอร์ควอนตัม , Peter W. Shor กล่าวถึงการปรับปรุงในส่วนการค้นหาลำดับของอัลกอริธึมแยกตัวประกอบของเขา อัลกอริทึมมาตรฐานเอาท์พุทR'r′r'เป็นตัวหารของการสั่งซื้อRrrของxxxโมดูโลNยังไม่มีข้อความNNแทนที่จะตรวจสอบว่าR'= rr′=rr'=rโดยตรวจสอบว่าการปรับปรุงมีดังต่อไปนี้:xR'≡ 1พอควรยังไม่มีข้อความxr′≡1modNx^{r'}\equiv 1 \mod N [F] หรือผู้สมัครควรพิจารณาไม่เพียง แต่แต่มันยังมีทวีคูณขนาดเล็กเพื่อดูว่านี่เป็นลำดับที่แท้จริงของหรือไม่ [... สิ่งนี้] เทคนิคจะลดจำนวนการทดลองที่คาดไว้สำหรับยากที่สุดจากเป็นถ้าครั้งแรก (ทวีคูณของได้รับการพิจารณา [Odylzko 1995]R ' 2 R ' , 3 R ' , ... x n O ( บันทึกบันทึกn ) O ( 1 ) เข้าสู่ระบบn ) 1 + ε R 'Rrrr …

19 quantum-computing  nt.number-theory  factoring 

ใครสามารถช่วยฉันด้วยปัญหาต่อไปนี้? ฉันต้องการหาค่าบางอย่างa i , b jai,bja_i,b_j (mod ยังไม่มีข้อความNN ) โดยที่i = 1 , 2 , … , K , j = 1 , 2 , … , Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K (เช่นK = 6K=6K=6 ) ให้รายการของค่าเค2K2K^2ที่ สอดคล้องกับความแตกต่างa i - b j( modไม่มี)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N (เช่นN = 251N=251N=251 ) โดยไม่ทราบความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันอย่างเป็นรูปธรรม ตั้งแต่ค่าa i , b …

19 ds.algorithms  linear-algebra  nt.number-theory  cryptographic-attack  comp-number-theory 

ฉันสนใจในความซับซ้อนของการแก้สมการเชิงเส้น modulo kสำหรับ arbitrary k (และด้วยความสนใจเป็นพิเศษในพลังพิเศษ) โดยเฉพาะ: ปัญหา. สำหรับระบบที่กำหนดของสมการเชิงเส้นmmmในnnn unknowns modulo kkkมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่? ในนามธรรมกับกระดาษโครงสร้างและความสำคัญของคลาส logspace-MODในคลาสMod k L , Buntrock, Damm, Hertrampf และ Meinel อ้างว่าพวกเขา " แสดงความสำคัญโดยการพิสูจน์ว่าปัญหามาตรฐานทั้งหมดของพีชคณิตเชิงเส้นบนวงแหวน จำกัดZ/kZZ/kZ\mathbb Z/k\mathbb Zเสร็จสมบูรณ์สำหรับคลาสเหล่านี้ " เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดเนื้อเรื่องก็ซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น Buntrock และคณะ แสดง (โดยการพิสูจน์สเก็ตช์ในแบบร่างที่สามารถเข้าถึงได้อย่างอิสระก่อนหน้านี้และพบได้โดย Kaveh ขอบคุณ!) ว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแทนในชั้นเรียนเสริมcoMod k Lสำหรับเคไพรม์ คลาสนี้ไม่เป็นที่รู้จักเท่ากับMod k Lสำหรับคอมโพสิตkแต่ไม่เป็นไร - สิ่งที่ฉันกังวลคือข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับว่าระบบการแก้สมการเชิงเส้น mod kนั้นมีอยู่หรือไม่ในcoMod k Lสำหรับคอมโพสิตk ! …

19 cc.complexity-theory  dc.parallel-comp  linear-algebra  nt.number-theory 

ฉันสงสัยว่ามีบรรณานุกรมที่ดีเกี่ยวกับความพยายามในการตรวจสอบการคาดคะเนของ Collatzว่าเป็นไวยากรณ์อย่างเป็นทางการหรือไม่? (หรือความพยายามอื่น ๆ ในชุมชน CS เพื่อจัดการกับปรากฏการณ์กำเนิดแบบนี้และคุณสมบัติ "หยุด" ของพวกเขา)

16 fl.formal-languages  nt.number-theory  halting-problem