กรณีง่าย ๆ ของ SAT ที่ไม่ง่ายสำหรับการแก้ไขทรี

10

มีคลาสตามธรรมชาติของสูตร CNF หรือไม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้ในวรรณกรรม - มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: $C$

$C$ เป็นกรณีที่ง่ายของ SAT เช่นเช่น Horn หรือ 2-CNF คือสมาชิกในสามารถทดสอบในเวลาพหุนามและสูตรสามารถทดสอบเพื่อความพึงพอใจในเวลาพหุนาม $C$ $F\in C$
ไม่ทราบสูตรที่ไม่น่าพอใจมีขนาดสั้น (ขนาดพหุนาม) การแก้ไขความละเอียดเหมือนต้นไม้ ยิ่งไปกว่านั้นก็คือ: มีสูตรที่ไม่น่าพอใจในซึ่งเป็นขอบเขตล่างพหุนามแบบซุปเปอร์สำหรับการแก้ปัญหาแบบต้นไม้ $F\in C$ $C$
ในทางกลับกันสูตรที่ไม่น่าพอใจในเป็นที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์สั้น ๆ ในระบบพิสูจน์ที่แรงกว่าเช่นในการแก้ปัญหาแบบ dag-like หรือบางระบบที่แข็งแกร่งกว่า $C$

$C$ ไม่ควรจะเบาบางเกินไปคือมีหลายสูตรด้วยตัวแปรสำหรับทุก (หรืออย่างน้อยค่ามากที่สุดของ){N} มันควรเป็นเรื่องไม่สำคัญในแง่ของการมีสูตรที่น่าพอใจและไม่น่าพอใจ $n$ $n\in \mathbb{N}$

วิธีการต่อไปนี้เพื่อแก้สูตร CNF พลควรมีความหมาย: หามอบหมายบางส่วนเซนต์สูตรที่เหลืออยู่ในและจากนั้นให้ใช้อัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับสูตรในเพื่อFดังนั้นฉันต้องการคำตอบอื่นนอกเหนือจากข้อ จำกัด ที่แตกต่างจากคำตอบที่ยอมรับในปัจจุบันเพราะฉันคิดว่ามันยากที่สูตรโดยพลการจะกลายเป็นข้อ จำกัด ที่แตกต่างกันทั้งหมดหลังจากใช้ข้อ จำกัด $F$ $\alpha$ $F\alpha$ $C$ $C$ $F\alpha$

sat proof-complexity

— Jan Johannsen
แหล่งที่มา

1

ม.ค. ฉันคิดว่ามันเป็นไปได้ที่จะให้ตัวอย่างเทียมเช่น PHP union Horn ฉันไม่แน่ใจว่าจะแยกแยะตัวอย่างเช่นนี้อย่างเป็นทางการได้อย่างไร คุณต้องการชั้นเรียนที่มีชื่อและได้รับการศึกษาบ้างไหม? (ps: ถ้าคุณอธิบายว่าทำไมคุณถึงกำลังมองหาชั้นเรียนดังกล่าวที่อาจช่วยตอบสนองความต้องการเพิ่มเติมของชั้นเรียนได้)

— Kaveh

ไม่แน่ใจเกี่ยวกับประโยคสุดท้าย ปัญหา pigeonhole สามารถมีได้ทั้งสูตรจริงและสูตรเท็จใช่ไหม โดยปกติจะเป็นเพียงสูตรที่แท้จริงไม่แน่ใจว่าสูตรที่ผิดพลาดอยู่ในกระดาษมีใครเห็นบ้างไหม สูตร pigeonhole เท็จที่เป็นธรรมชาติจะเป็นสูตรที่พยายามกำหนด pigeons ให้กับ hole

n + 1

$n+1$

n

$n$

— vzn

@Kaveh คุณพูดถูก แต่ใคร ๆ ก็คงไม่สามารถแยกแยะตัวอย่างที่ประดิษฐ์ขึ้นมาได้ ฉันพยายามชี้แจงคำถามเล็กน้อย

— Jan Johannsen

เงื่อนไขที่ต้องการในการแก้ไขล่าสุดของคุณเป็นหลักขอชั้นเรียนทางพันธุกรรม โปรดทราบว่าการเข้ารหัสโดยตรงของผลผลิตที่แตกต่างกันทั้งหมดจะทำให้เกิดคลาสทางพันธุกรรมของอินสแตนซ์ SAT บางทีคุณอาจอธิบายได้ว่าทำไมตัวอย่างหลักที่เรามี (ตามที่แนะนำโดยสามความคิดเห็น / คำตอบ) ไม่เหมาะสม?

— András Salamon

1

ผมคิดว่าสิ่ง ม.ค. ต้องการเป็นระดับธรรมชาติของสูตรไม่ได้เป็นครอบครัวของสูตร ปัญหาคือทั้ง "ธรรมชาติ" และ "คลาส" เป็นแนวคิดที่ไม่เป็นทางการ ฉันคิดว่าเงื่อนไขหนึ่งที่เราสามารถทำได้สำหรับการเรียนคือต้องมีระดับของการแสดงออกหรือการปิดเพื่อให้ครอบครัวของสูตรเช่น PHP ไม่นับเป็นชั้นเรียน และสำหรับความเป็นธรรมชาติฉันคิดว่าถ้าชั้นเรียนได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้หรือมีชื่อแล้วมันก็น่าจะเป็นธรรมชาติ

— Kaveh

10

ดูเหมือนว่าคุณสนใจในข้อ จำกัด ที่แตกต่างกันทั้งหมด (และประโยคสุดท้ายของคุณอยู่ในทิศทางที่ถูกต้อง) เหล่านี้เป็นตัวอย่างที่ไม่สำคัญของหลักการของนกพิราบซึ่งจำนวนของนกพิราบไม่จำเป็นต้องมากกว่าจำนวนของหลุมและนอกจากนี้นกพิราบบางตัวอาจถูกกันออกไปจากหลุมบางส่วน

ข้อ จำกัด ที่แตกต่างกันทั้งหมดสามารถตัดสินใจได้โดยการจับคู่ในเวลาพหุนามต่ำ

Jean-Charles Régin อัลกอริทึมการกรองสำหรับข้อ จำกัด ของความแตกต่างใน CSP , AAAI 1994, 362–367
DE Knuth และ A. Raghunathan ปัญหาของตัวแทนที่เข้ากันได้ SIAM J. Discrete Math 5 422–427, 1992. ดอย: 10.1137 / 0405033

เมื่อแสดงข้อ จำกัด ที่แตกต่างกันทั้งหมด (ใช้การเข้ารหัสหนึ่งในหลาย ๆ ตัว) เป็นอินสแตนซ์ SAT ดังนั้นการเรียนรู้ประโยคที่ขัดแย้งกันมักจะหาทางแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วถ้ามันมีอยู่ อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหาล้วนๆสำหรับ PHP จะต้องสร้างชุดคำสั่งที่มีขนาดใหญ่เป็นพิเศษเพื่อแสดงว่าอินสแตนซ์นั้นไม่น่าพึงพอใจ ขอบเขตนี้มีความชัดเจนว่าเป็นปัญหาทั่วไป ในทางกลับกันโปรดจำไว้ว่าการเข้ารหัส PHP ของ Cook ทำให้สามารถเพิ่มความละเอียดในการขยายขนาดพหุนาม

SA Cook หลักฐานสั้น ๆ ของหลักการหลุมของนกพิราบโดยใช้ความละเอียดที่เพิ่มมากขึ้น SIGACT News 8 28–32, 1976 ดอย: 10.1145 / 1008335.1008338

ผลงานล่าสุดของบทเหล่านี้คือบทที่ 5 ของวิทยานิพนธ์ของSergi Olivaซึ่งเป็นพื้นฐานของกระดาษที่มี Alberto Atserias ใน CCC 2013

ฉันคาดหวังว่าคุณจะรับรู้ถึงผลลัพธ์ที่คลาสสิกของ Cook ดังนั้นบางทีคุณอาจต้องการ จำกัด พลังของระบบพิสูจน์ในสภาวะที่สามของคุณ?

— András Salamon
แหล่งที่มา

ไม่แน่ใจว่านั่นคือสิ่งที่แจนมองหาในขณะที่เขาถามหา CNF โดยเฉพาะหรือไม่

— Mikolas

@ Mikolas: คุณช่วยอธิบายสิ่งที่คุณเป็นห่วงได้ไหม?

— András Salamon

1

ฉันหมายความว่าถ้าฉันมีผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับข้อ จำกัด ที่แตกต่างกันทั้งหมดมันก็ไม่ชัดเจนว่าผลลัพธ์นี้แปลเป็น CNF อย่างไร ในขณะที่ฉันเข้าใจคำถามแจนต้องการให้ CNF ยากต่อการตัดทอนต้นไม้ แต่ง่ายสำหรับสิ่งอื่น (เช่น dag-res) มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันเช่นกันว่าทำไม PHP จึงเป็นตัวอย่างสำหรับสิ่งนี้เพราะ PHP มีความหมายอย่างชัดเจนสำหรับ dag-res เช่นกัน (BTW วิทยานิพนธ์อ้างอิงดูเรียบร้อย!)

— Mikolas

@mikolas ตามที่ฉันเข้าใจคำถามว่าหากครอบครัวสามารถรับรู้ได้ในเวลาที่น่าพอใจ / ไม่น่าพอใจในเวลา P แต่มันยากสำหรับต้นไม้หรือการแก้ปัญหา DAG นั่นคือสิ่งที่ต้องการ ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะชี้ให้เห็นในเอกสารใด ๆ แต่ afaik (ใครรู้เพิ่มเติมหรือไม่), สามารถรับรู้ PHP sat / unsat instance ในเวลา P ได้

— vzn

1

ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมต้องมีสูตร sat ด้วย แต่มีบางบทความเกี่ยวกับการแยกระหว่างความละเอียดทั่วไปและความละเอียดแบบทรีเช่น [1] มันฟังฉันว่านี่คือสิ่งที่คุณต้องการ

[1] Ben-Sasson, Eli, Russell Impagliazzo และ Avi Wigderson "ใกล้แยกที่ดีที่สุดของความละเอียดต้นไม้และความละเอียดทั่วไป" Combinatorica 24.4 (2004): 585-603

— Mikolas
แหล่งที่มา

1

ฉันตระหนักดีถึงการแยกเหล่านี้ระหว่างการแก้ปัญหาที่มีลักษณะคล้ายต้นไม้และมีลักษณะคล้าย dag แต่นี่เป็นเพียงสูตรตระกูลเดียว นี่เป็นตัวอย่างเทียมที่ฉันพยายามหลีกเลี่ยง

— Jan Johannsen

0

คุณอาจสนใจสูตร SAT ที่มี "แบนด์วิดท์" (แบนด์วิธ)) หรือแบนด์วิ ธ สูตรเหล่านี้สามารถแบ่งพาร์ติชันแบบซ้ำได้ในลักษณะที่ขอบเขตการสื่อสารระหว่างพาร์ติชันมีขนาดเล็กดังนั้นจึงสามารถใช้วิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกจำนวนมากเพื่อแก้ปัญหาได้ หัวข้อที่ได้รับความนิยมในยุค ฉันเคยนับจำนวนรอบของ hamiltonian ในกราฟ treewidth ขนาดเล็กที่มี 24,000 vertices ดังนั้น #P ปัญหากับ treewidth ขนาดเล็กก็สามารถแก้ไขได้เช่นกัน Bodlaender เป็นข้อมูลอ้างอิงที่สำคัญ

— daniel pehoushek
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าอย่างน้อยสูตรที่มีความกว้างคงที่ของต้นไม้จะมีความคมชัดเหมือนต้นไม้สั้น ๆ ดังนั้นฉันไม่คิดว่าคลาสนี้ตรงตามข้อกำหนดของคำถาม

— Jan Johannsen

-1

บทความต่อไปนี้ดูเหมือนจะใกล้เคียงกับสิ่งที่ร้องขอในบางวิธี (ถ้ามันไม่พอดี JJ อาจอธิบายได้ว่าทำไม) คำถามต้องการแยกแยะอินสแตนซ์ PHP (pigeonhole) ตามการขาดทั้งสูตรจริง / เท็จ แต่ (ตามที่กล่าวไว้ในคำตอบอื่น ๆ ) PHP เป็นหนึ่งในกรณีศึกษาที่ดีที่สุด / เครื่องกำเนิดอินสแตนซ์จากด้านทฤษฎีและมี เป็นตัวกำเนิดสำหรับสูตรที่พึงพอใจ / ไม่พอใจเสมอแม้ว่าสูตรที่พึงพอใจนั้นจะถูกเน้น / ศึกษาน้อยกว่า

${^m_n}$ $m$ $n$ $m>n$ $m \leq n$

การแก้ปัญหาที่มีต้นไม้คล้ายกันนั้นช้ากว่าการแก้ปัญหาแบบ DAG ที่เหมือนกันสำหรับหลักการ Pigeonhole (1999)โดย Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki

อีกวิธีหนึ่งคือการทำมุมมองเชิงประจักษ์มากขึ้นและสร้างอินสแตนซ์แบบสุ่ม (สมมุติรอบจุดเปลี่ยนที่น่าพอใจ 50% ที่ทำได้ง่ายและง่าย) และกรองตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ หนึ่งจะต้องมีการใช้งานของการแก้ปัญหาต้นไม้ / ความละเอียด DAG หรือ "ระบบที่แข็งแกร่ง"

— vzn
แหล่งที่มา

1

ความคิดเห็นเดียวกันกับคำตอบของ @Mikolas มีผลกับที่นี่

— Jan Johannsen

1

ไม่เข้าใจความคิดเห็นของคุณต้องการข้อมูลเพิ่มเติม กำลังติดตาม mikolas คอมเม้นท์ "ในขณะที่ฉันเข้าใจคำถามแจนต้องการให้ CNFs ยากสำหรับการรีทรี แต่ง่ายสำหรับสิ่งอื่น (เช่น dag-res)" คุณหมายถึงอะไรโดย "สิ่งนี้ให้เพียงหนึ่งตระกูลของสูตร" คำถามของคุณกำลังขอสูตรของตระกูล

— vzn

1

ไม่คำถามของฉันถามหาคลาสของสูตร ข้อแตกต่างสำหรับฉันคือครอบครัวสูตรเหล่านี้มีสูตรไม่เกินหนึ่งตัวต่อจำนวนตัวแปรในขณะที่คลาสที่เหมาะสมควรมีสูตรหลายสูตรสำหรับตัวแปรทุกตัว

— Jan Johannsen

ฉันได้อธิบายไปแล้วในหลายสถานที่ (เปรียบเทียบความคิดเห็นที่นี่และคำตอบอื่น ๆ และคำถาม) ทำไมนี่ไม่ใช่สิ่งที่ฉันกำลังมองหา !! โดยเฉพาะอย่างยิ่งอ่านย่อหน้าสุดท้ายของคำถาม!

— Jan Johannsen