มีกราฟวงกลมที่ไม่มีรูปดาวที่ปราศจากการตัดดาวและมีขอบมากกว่า n หรือไม่?

ฉันกำลังพยายามหากราฟที่มีคุณสมบัติเหล่านั้นสำหรับการศึกษาของฉัน แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถหากราฟดังกล่าวได้

ไม่มีใครรู้ว่ามีกราฟนั้นหรือทำไมจึงไม่มีอยู่?

สมมติว่าเป็นกราฟวงกลมที่ไม่มีดาวที่ปราศจากการตัดสามเหลี่ยม ฉันจะแสดงให้เห็นว่าไม่มีจุดยอดที่มีระดับมากกว่า 2 ดังนั้นจึงมีขอบไม่เกิน$G$$G$$G$$n$

พิจารณาเป็นตัวแทนวงกลมของGชุดของคอร์ดจะขนานกันหากไม่มีสองคนข้าม แต่มีเส้นตรงที่ข้ามคอร์ดทั้งหมด$C$$G$

คุณสมบัติ 1 :ไม่มีคอร์ด 3 ขนาน$C$

พิสูจน์ สมมติว่ามี 3 คอร์ดขนาน Condider จุดยอดสอดคล้องกับคอร์ดกลาง จากนั้นเป็นรอยตัด สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติ$C$$v$$N[v]$

เพื่อประโยชน์ของความขัดแย้งสมมติ $G$ มีจุดสุดยอด $v$ อย่างน้อย 3 ระดับจากนั้นคอร์ดที่สอดคล้องกับ $v$ปริภูมิอีก 3 คอร์ด เนื่องจากทั้งสามคอร์ดตัดกันหนึ่งบรรทัดพวกเขาทั้งคู่ขนานหรือสองคนตัดกัน เนื่องจากคุณสมบัติ 1 ทั้งสองตัดกันซึ่งหมายความว่าจุดยอดของพวกเขาเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย$v$ซึ่งขัดแย้งกัน $G$ เป็นรูปสามเหลี่ยมฟรี

ไม่ไม่มีกราฟดังกล่าว หากต้องการดูว่าทำไมไม่เช่นนั้นสมมติว่าเรามีกราฟวงกลมที่กำหนดโดยชุดคอร์ดที่ไม่มีสามเหลี่ยม ปล่อย$n$ เป็นจำนวนจุดยอดของกราฟวงกลม (หรือจำนวนคอร์ด) และ $m$เป็นจำนวนขอบของกราฟ (แยกเป็นสองคอร์ด) จากนั้นการเหนี่ยวนำที่ง่ายของจำนวนคอร์ดแสดงให้เห็นว่าการจัดเรียงของคอร์ดมีอย่างแน่นอน$m+n+1$ใบหน้า อย่างไรก็ตามมีมากที่สุด$2n$ ใบหน้าที่สัมผัสวงกลม (น้อยกว่าหากใบหน้าบางคนแตะวงกลมมากกว่าหนึ่งครั้ง) ดังนั้นถ้า $m>n$จากนั้นจะต้องมีใบหน้าภายในอย่างน้อยสองใบหน้าของข้อตกลง ปล่อย$p$เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟคู่ของการจัดเรียง ( สี่เหลี่ยมจัตุรัส ) จากใบหน้าหนึ่งไปยังอีกใบหน้าหนึ่งและปล่อยให้$c$ เป็นคอร์ดคู่ใด ๆ กับขอบของ $p$. จากนั้นดวงดาวที่ถูกเหนี่ยวนำโดย$c$ แยกบางคอร์ดที่ล้อมรอบใบหน้าไว้ที่ปลายด้านหนึ่งของ $p$ จากคอร์ดบางอันที่ล้อมรอบใบหน้าไว้ที่ปลายอีกด้านหนึ่ง