ความซับซ้อนของพารามิเตอร์ของชุดการกดในมิติ VC จำกัด

ฉันสนใจในความซับซ้อนแบบแปรผันของสิ่งที่ฉันจะเรียกว่าปัญหาชุดมิติกระทบมิติ: กำหนดพื้นที่พิสัย (เช่นชุดระบบ / ไฮเปอร์กราฟกราฟ) S = (X, R) มีมิติ VC มากที่สุดและ จำนวนเต็มบวก k, X มีชุดย่อยของขนาด k ที่กระทบทุกช่วงใน R หรือไม่? เวอร์ชันของพารามิเตอร์ของปัญหาถูกทำให้เป็นพารามิเตอร์โดย k

ค่าของ d คืออะไรปัญหา d-Dimitting Hitting Set

• ใน FPT
• ใน W [1]?
• W [1] -hard?
• W [2] -hard?

สิ่งที่ฉันรู้สามารถสรุปได้ดังนี้:

• ชุดการกดปุ่ม 1 มิติอยู่ใน P และอยู่ใน FPT ถ้า S มีมิติที่ 1 ก็ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่ามีชุดการตีขนาด 2 หรือเมทริกซ์การเกิดของ S นั้นมีความสมดุลโดยสิ้นเชิง ไม่ว่าในกรณีใดเราสามารถหาค่าการชนขั้นต่ำในเวลาพหุนาม

• ชุดกดปุ่ม 4 มิติคือ W [1] - ยาก Dom, Fellows, และ Rosamond [PDF]พิสูจน์แล้วว่า W [1] - ความแข็งแรงสำหรับปัญหาของการแทงสี่เหลี่ยมขนานกับแกนใน R ^ 2 ด้วยเส้นขนานแกน สิ่งนี้สามารถกำหนดเป็น Hitting Set ในช่วงของ VC-dimension 4

• หากไม่มีข้อ จำกัด ถูกวางไว้บน d เรามีปัญหาชุด Hitting มาตรฐานซึ่งเป็น W [2] - สมบูรณ์และ NP-complete

• Langerman และ Morin [ลิงค์ Citeseer]ให้อัลกอริธึม FPT สำหรับ Set Cover ในมิติที่ จำกัด แม้ว่าโมเดลมิติขอบเขตของพวกเขาจะไม่เหมือนกับโมเดลที่กำหนดโดย VC-dimension ที่ถูก จำกัด แบบจำลองของพวกเขาดูเหมือนจะไม่รวมตัวอย่างเช่นปัญหาของการกดจุดครึ่งจุดด้วยคะแนนแม้ว่าปัญหาต้นแบบสำหรับแบบจำลองของพวกเขาจะเทียบเท่ากับการกดปุ่มเครื่องบินด้วยจุด

ฉันคิดว่าปัญหานี้ยากเกินไป เราไม่ทราบคำตอบสำหรับปัญหาที่ง่ายขึ้นในครอบครัวนี้ ตัวอย่างเช่นกำหนดชุดของจุด n ในระนาบและชุดของดิสก์ยูนิต (พูด n) ให้ตัดสินใจว่ามีการปิดบังคะแนนโดย k ของดิสก์ยูนิตหรือไม่ มีอัลกอริธึมเวลา n ^ O (k) ง่ายสำหรับเรื่องนี้และฉันจะไม่แปลกใจหากใช้ข้อมูลเชิงลึกที่รู้จักเราสามารถทำ n ^ O (sqrt {k}) (แต่ก็ไม่ชัดเจน) แต่ทำ f ( k) * n ^ {O (1)} เปิดอยู่และที่จริงแล้วน่าสนใจทีเดียว A (1 + EPS) ประมาณนี้มาจากการทำงานของมุสตาฟาและเรย์http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367

BTW สำหรับรุ่นต่อเนื่องที่อนุญาตให้ใช้ดิสก์ยูนิตใด ๆ สามารถแก้ไขปัญหาได้ในเวลา n ^ {O (k)} PTAS ในกรณีนี้ก็ค่อนข้างง่ายด้วยการใช้กริดแบบเลื่อน

เราตอบคำถามนี้ในแบบพิมพ์ใหม่: http://arxiv.org/abs/1512.00481

การกดปุ่มตั้งค่าในกราฟไฮเปอร์ของ VC-low (Karl Bringmann, László Kozma, Shay Moran, NS Narayanaswamy)

ปรากฎว่าชุดการกดปุ่มเป็น W [1] - ยากแล้วเมื่อมิติ VC เท่ากับ 2

กระดาษDániel Marx: แผนการประมาณที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาทางเรขาคณิต ? ESA 2005: 448-459 มีความเกี่ยวข้องมาก