เป็นกับกระโดด fanout อ่อนแอกว่า ?

ในการสำรวจ"วงจรควอนตัมเชิงลึกขนาดเล็ก" โดย D. Bera, F. Green และ S. Homer (หน้า 36 ของ ACM SIGACT News, มิถุนายน 2007 ปีที่ 38, ฉบับที่ 2)ฉันอ่านประโยคต่อไปนี้:

รุ่นคลาสสิกของ (ซึ่งในและประตูที่มี fanout คงที่มากที่สุด) คือสรรพสิ่งที่อ่อนแอกว่า 0 A N D O R A C $QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

ไม่มีการอ้างอิงสำหรับการอ้างสิทธิ์นี้ ฉันจะเรียกคลาสนี้ว่าโดยที่หมายถึง "bounded fanout" (สวนสัตว์ที่มีความซับซ้อนต่ำลงและฉันไม่สามารถตรวจสอบได้ว่าคลาสดังกล่าวมีชื่ออยู่ในวรรณคดีหรือไม่) หากเราสมมติว่า fanout ที่ไม่มีขอบเขตสำหรับบิตอินพุตวงจรเหล่านี้ดูเหมือนจะเทียบเท่ากับสูตรความลึกคงที่จนถึงขนาดพหุนามที่เพิ่มขึ้นดังนั้นการอ้างสิทธิ์ข้างต้นจึงไม่สมเหตุสมผล แต่ถ้าเราคิด fanout จำกัด สำหรับการป้อนข้อมูลบิตเกินไปแล้วฉันไม่สามารถคิดว่าภาษาใด ๆ ที่แยกชั้นนี้จาก 0 ผู้สมัครที่เป็นไปได้อาจเป็นภาษา , เช่นภาษาของสตริงที่มีเพียงหนึ่ง 1 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดง b f A C 0 X : = { x | น้ำหนัก ( x ) = 1 $AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$แต่ฉันไม่ได้จัดการที่จะพิสูจน์ว่า{BF}$X \notin AC^{0}_{bf}$

คำถามคือ:

คือจริงอ่อนแอกว่า ? ถ้าเป็นความคิดหรือการอ้างอิงใด ๆ เกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์มัน? และภาษาที่แยกทั้งสองคลาสนั้นคืออะไร? แล้วล่ะ A C 0$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

ข้อ จำกัด เกี่ยวกับ fan-out ของอินพุตบิตและประตูจะทำให้ขนาดของวงจรเชิงเส้น ให้เป็นสิ่งที่ถูกผูกไว้กับการที่พัดลมออกจากประตูและอินพุต มันเป็น DAG ที่มีการศึกษาระดับปริญญาออกสูงสุดล้อมรอบด้วยและเส้นทางของความยาวสูงสุดdจำนวนสายไฟที่มีอยู่ในแต่ละระดับสามารถเพิ่มครั้งและจำนวนสายที่มีอยู่ที่ด้านบนคือดังนั้นจำนวนสายทั้งหมดในวงจรจึงอยู่ในตำแหน่งสูงสุดซึ่งเป็น(n)k d k k n k n ∑ d i = 0 k i ≤ k d + 1 n O ( n $k$$k$$d$$k$$kn$$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

ใด ๆฟังก์ชั่นที่ต้องใช้ขนาดซุปเปอร์เชิงเส้นจะแยกชั้นเรียนของฟังก์ชั่นที่มีขอบเขตแฟนออก (ยังใช้การป้อนข้อมูลบิต) จาก0} นี่คือตัวอย่างบางส่วน: A C $\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: การฟังก์ชั่นที่จำเป็นขนาดซุปเปอร์เชิงเส้นเป็น -approximate เลือก A -approximate selector เป็นฟังก์ชันใด ๆ ที่มีค่าคือ:1$\mathsf{AC^0}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{4}$

   • 1 $0$เมื่อใดก็ตามที่จำนวนคือที่มากที่สุด ,$1$$\frac{n}{4}$
   • 0 $1$เมื่อใดก็ตามที่หมายเลขคือที่มากที่สุด ,$0$$\frac{n}{4}$
   • สามารถเป็นหรือก็ได้$0$$1$

2. [Ros08] แสดงว่า -clique มีความซับซ้อนของฟังก์ชัน (บิตอินพุตเป็นขอบที่เป็นไปได้ของกราฟที่มีจุดยอด ) นี้จะช่วยให้ lowerbound ขนาดเส้นสุดสำหรับ2A C 0 n Θ ( k ) n 2 n k > $k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$$n^2$$n$$k\gt 2$

3. มันอาจเป็นไปได้ที่จะสรุปตัวอย่างใน 2 สามารถมีอยู่ของ nontrivial ใด ๆ (ต้องมากกว่าหนึ่งบิต) โครงสร้างย่อยที่ถูกเหนี่ยวนำคงที่ในโครงสร้าง unordered ที่กำหนดเช่น:

   • การดำรงอยู่ของเส้นทางของความยาว 2 ในกราฟที่กำหนด
   • $\#_1(x)=2$ ,

   เนื่องจากพวกเขาจำเป็นต้องมีจำนวนคงที่ของซุปเปอร์ประตูขึ้นอยู่กับบิตซึ่งเป็นไปไม่ได้ใน{BF}}$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือเกทของนักทำสำเนานั่นคือเกทที่สร้างสำเนาของบิตอินพุต สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ในเนื่องจากมีเพียงของประตูเท่านั้นที่สามารถขึ้นอยู่กับแต่ละบิตอินพุตA C 0 b f O ( 1 $\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

นอกจากนี้ใด ๆวงจรขนาดสามารถจะกลายเป็นสูตรที่มีขนาดที่มากที่สุดและดังนั้นจึงมีสูตรขนาดเพื่อให้การทำงานของ superlinear ใด ๆซับซ้อนสูตรจะไม่อยู่ใน{BF}} S k d S A C 0 b f k 2 d + 1 n A C 0 A C 0 b $\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

อ้างอิง:

[CR96] S. Chaudhuri และ J. Radhakrishnan " ข้อ จำกัด ที่กำหนดในวงจรความซับซ้อน ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " บนความซับซ้อนที่คงที่เชิงลึกของ k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Boolean Function Complexity: Advance and Frontiers ", ฉบับร่าง