โทโพโลยีเชิงบวกลำดับ 3

สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ n คูณ n เป็นไปได้ไหมที่จะจัดลำดับแถวและคอลัมน์ใหม่เพื่อให้เราได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน?

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหานี้: ลำดับโทโพโลยีเชิงบวก

ปัญหาการตัดสินใจเดิมนั้นยากอย่างน้อยเท่ากับปัญหานี้ดังนั้นผลลัพธ์ความสมบูรณ์แบบของ NP จึงแก้ได้เช่นกัน

แก้ไข: Laszlo Vegh และ Andras Frank เรียกร้องความสนใจของฉันต่อปัญหาที่เทียบเท่าที่ถามโดย Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

แก้ไข: การลดปัญหาเดิมมีดังนี้ สมมติว่า DAG มีเพียงสองระดับซึ่งจะสอดคล้องกับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ นอกจากนี้เรายังมีโหนดเดียวที่มีน้ำหนัก +1 ทุกคนที่อยู่ในระดับต่ำกว่ามีน้ำหนัก -1 และในระดับบน +1

ปัญหากลายเป็นปัญหาสมบูรณ์ คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมในรายละเอียดที่นี่และที่นี่ สรุปสั้น ๆ:

การลดลงมาจากปัญหาที่เกิดขึ้นแสดงให้เห็นว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์โดย Dasgupta, Jiang, Kannan, Li และ Sweedyk: ให้กราฟกราฟสองฝ่าย G และจำนวนเต็ม k ตัดสินใจว่า G มี subgraph ที่เหนี่ยวนำบนโหนด 2k ที่สามารถขยายไปถึง จับคู่ที่ไม่ซ้ำกัน มันถูกตรวจสอบโดยStéphane Vialette ซึ่งจะช่วยลดปัญหาการจับคู่แบบสองส่วนที่เป็นเอกลักษณ์ของปัญหานี้ถ้าเราเพิ่มโหนดที่แยก nk ให้กับทั้งสองคลาส

ข้อควรระวัง: นี่เป็นคำตอบบางส่วนจากการคาดเดาและคำบอกเล่า! ในขณะที่ปัญหาทั่วไปของ David Eppstein คือปัญหา NP-complete บางทีนี่อาจเป็นใน P.

ให้เราบอกว่ากราฟสองฝ่ายกับ| A | = | B | = nคือ "UPMX" หากขยายได้ในกราฟด้วยการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่ไม่ซ้ำใคร นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นบางอย่างสำหรับ UPMX:$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• ต้องไม่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ 2 รายการ
• $\le (1, 2, ..., n)$

จนถึงตอนนี้ฉันยังไม่สามารถหาตัวอย่างใด ๆ ที่กราฟตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ แต่ไม่สามารถเป็น UPMX ได้ ในกรณีนั้นพวกเขาอาจจะเพียงพอ หนึ่งอาจพิสูจน์ได้โดยอัลกอริทึมต่อไปนี้:

1. ถ้ากราฟมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ> 1 ผลตอบแทน "ไม่ใช่ UPMX"
2. หากกราฟล้มเหลวในระดับปริญญาให้ส่งคืน "ไม่ใช่ UPMX"
3. หากกราฟมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ = 1 ให้ส่งคืน "UPMX"
4. มิฉะนั้นบางทีเราสามารถแสดงว่าเป็น UPMX บางทีอัลกอริทึมต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้:
   • ในขณะที่กราฟมีขอบ$\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • ค้นหา e ขอบใหม่ที่มีการเพิ่มไม่ได้สร้างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและไม่ละเมิดเงื่อนไขการศึกษาระดับปริญญา; เพิ่ม e ลงในกราฟ
5. ตอนนี้กราฟมีขอบและไม่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและเป็นไปตามเงื่อนไขการศึกษาระดับปริญญา ฉันคิดว่ามันไม่ยากเกินไปที่จะแสดงว่าเป็น UPMX ดังนั้นจึงเป็นกราฟดั้งเดิม$\tbinom{n+1}{2} - 1$

คุณสามารถกำหนดลักษณะของขอบใหม่ที่จะสร้างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบโดยใช้ทฤษฎีบทของ Hall และไม่ยากที่จะจำแนกลักษณะของขอบใหม่ที่จะเป็นการละเมิดขอบเขต น่าเสียดายที่แม้ว่ามันจะเป็นจริงที่ขอบของประเภทที่ถูกต้องอยู่เสมอฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้

บทความนี้ได้รับเมทริกซ์สามเหลี่ยมโดยการเรียงสับเปลี่ยนคอลัมน์แถวอิสระ Fertin, Rusu และ Vialette แสดงให้เห็นว่าปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-complete สำหรับเมทริกซ์จตุรัสสแควร์

ปัญหาคือปัญหา NP-complete แต่อัลกอริธึมที่จะแก้ปัญหาอยู่ที่ไหน? ฉันมีอัลกอริทึมเดียวที่ใช้กับตัวอย่างได้หลายอย่าง แต่ฉันไม่สามารถแสดงให้เห็นว่ามันจะทำงานตลอดเวลา