เทคนิคขั้นสูงสำหรับการกำหนดขอบเขตความซับซ้อนที่ต่ำกว่า

คุณบางคนอาจติดตามคำถามนี้ซึ่งถูกปิดเนื่องจากไม่ได้อยู่ในระดับการวิจัย ดังนั้นฉันจึงแยกส่วนของคำถามที่อยู่ในระดับการวิจัย

นอกเหนือจากเทคนิค "เรียบง่าย" เช่นการลดการเรียงลำดับหรือปัญหาที่สมบูรณ์แบบ EXPTIME เทคนิคใดที่ใช้ในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับความซับซ้อนของเวลาในปัญหา

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• อะไรคือ "ทันสมัย" เทคนิคที่ได้รับการพัฒนาในทศวรรษที่ผ่านมา?
• สามารถใช้เทคนิคจากพีชคณิตนามธรรม, ประเภททฤษฎีหรือสาขาอื่นที่มักจะ "บริสุทธิ์" คณิตศาสตร์นำมาใช้? (ตัวอย่างเช่นผมมักจะได้ยินพูดถึงของ "โครงสร้างพีชคณิต" ของการเรียงลำดับโดยไม่มีคำอธิบายใด ๆ จริงของสิ่งที่นี้หมายถึง.)
• อะไรคือผลลัพธ์ที่สำคัญ แต่ไม่ค่อยมีคนรู้จักสำหรับความซับซ้อนที่ต่ำกว่าขอบเขต

ขอบเขตล่างสำหรับวงจรพีชคณิต

ในการตั้งค่าของวงจรพีชคณิตซึ่งขอบเขตล่างของขนาดวงจรคล้ายกับขอบเขตล่างตรงเวลาผลลัพธ์จำนวนมากเป็นที่รู้จักกัน แต่มีเพียงไม่กี่เทคนิคหลักในผลลัพธ์ที่ทันสมัยมากขึ้น ฉันรู้ว่าคุณขอเวลาลดขอบเขตลง แต่ฉันคิดว่าในหลาย ๆ กรณีความหวังคือขอบเขตที่ต่ำกว่าพีชคณิตในวันหนึ่งจะนำไปสู่ ​​Boolean / Turing machine ที่ต่ำกว่าขอบเขต ผลลัพธ์เหล่านี้มักใช้เทคนิคที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นจาก "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์" ตามที่คุณวางไว้

I. ระดับที่ถูกผูกไว้

Strassen แสดงให้เห็นว่าบันทึกของระดับความหลากหลายของพีชคณิตบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่น (ชุด) เป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าในขนาดวงจรพีชคณิตของการคำนวณฟังก์ชั่นเหล่านั้น

ครั้งที่สอง ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ (หรือโดยทั่วไปคือขนาดของกลุ่มที่คล้ายคลึงกันสูงกว่า)

เบ็น - ออร์แสดงให้เห็นว่าขนาดของต้นไม้ตัดสินใจเชิงพีชคณิตจริง ๆ ตัดสินใจเป็นสมาชิกในเซต (กึ่ง - พีชคณิต) อย่างน้อยโดยที่Cคือจำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของชุดนั้น เบนหรือใช้นี้เพื่อพิสูจน์Ω ( n log n )ลดผูกพันในการเรียงลำดับ (ดีองค์ประกอบแตกต่าง แต่องค์ประกอบที่แตกต่างเพื่อลดการเรียงลำดับ) ในรูปแบบต้นไม้ตัดสินใจจริงเกี่ยวกับพีชคณิต ยาวได้ขยายสิ่งนี้จากส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไปยังผลรวมของหมายเลข Betti และพิสูจน์ขอบเขตที่เหมาะสมสำหรับปัญหาอื่น ๆ (เช่นk -equals) ในกระดาษที่แตกต่างกันยาวขยายนี้เพื่อต้นไม้ตัดสินใจเกี่ยวกับพีชคณิตมากกว่าจำนวนเต็ม.$\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

III อนุพันธ์บางส่วน

นี่เป็นผลงานของวงจรพีชคณิตสมัยใหม่หลายแห่งที่มีขอบเขตต่ำกว่า ผมเชื่อว่าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าบางส่วนถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกที่จะพิสูจน์ต่ำผูกพันตาม Baur-Strassen ที่พวกเขาแสดงให้เห็นว่าการคำนวณทั้งหมด partials แรกของสามารถทำได้ในขนาด5 sที่sคือขนาดที่จำเป็นในการคำนวณฉ บวกกับการศึกษาระดับปริญญา Strassen ของผูกพันนี้ให้Ω ( n log n )ขนาดขอบเขตที่ลดลงในฟังก์ชั่นต่าง ๆ ซึ่งยังคงแข็งแกร่งขอบเขตที่ลดลงในขนาดของวงจรเลขคณิตไม่ จำกัด สำหรับการทำงานอย่างชัดเจน$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

การใช้อนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่ผ่านมาดูเหมือนว่าจะเกิดจากกระดาษของนิสันซึ่งเขาได้พิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าในวงจรที่ไม่ธรรมดาโดยพิจารณาจากมิติของพื้นที่ของอนุพันธ์บางส่วนทั้งหมด สิ่งนี้ถูกใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าในวงจรเชิงลึกระดับที่ 3 ที่ถูก จำกัด โดย Nisan-Wigderson และแนวคิดที่คล้ายกันถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าในขนาดสูตรหลายบรรทัดโดย Raz (และรุ่นที่เกี่ยวข้องโดย Raz และผู้ทำงานร่วมกัน) ความลึก 4 และความลึก 3 ที่ลดลงล่าสุดโดย Gupta, Kayal, Kamath และ Saptharishi ใช้ความคิดทั่วไปของแนวคิดนี้เพื่อนับมิติของพื้นที่ของ "อนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่เลื่อน" - ซึ่งคุณสามารถหาอนุพันธ์บางส่วนแล้วคูณด้วย monomials ใด ๆ ของการศึกษาระดับปริญญาที่กำหนด ) อาจ "เพียงแค่" เป็นเรื่องของการทำความเข้าใจในอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยผู้เยาว์ถาวร (ดูการคาดเดาที่ส่วนท้ายของบทความ)$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

IV กำหนดสมพันธุ์

ความคิดที่นี่คือการเชื่อมโยงกับ "ฟังก์ชั่นที่ง่าย" ความหลากหลายของพีชคณิตบางอย่างหาสมการที่หายไปในสายพันธุ์นี้และแสดงให้เห็นว่าสมการเหล่านี้จะไม่หายไปใน "ฟังก์ชั่นยาก" ของคุณ (ดังนั้นพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชั่นฮาร์ดของคุณไม่ได้อยู่ในฟังก์ชั่นที่ง่ายดังนั้นมันจึงยากจริง ๆ ) มีประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขอบเขตที่ต่ำกว่าในการคูณเมทริกซ์ ดู Landsberg - Ottaviani บน arXiv สำหรับล่าสุดและการอ้างอิงถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าก่อน

(อันที่จริงแล้ว I, II, และ III ข้างต้นสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษในการค้นหาสมการสำหรับบางสายพันธุ์แม้ว่าหลักฐานที่ใช้ I, II, III นั้นไม่เคยใช้ถ้อยคำแบบนี้จริง ๆ เพราะไม่มี จำเป็นต้อง.)

V. ทฤษฎีการเป็นตัวแทน, esp. ในทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิต

ที่จริงแล้ว Landsberg - Ottaviani ใช้เพื่อหาสมการบางอย่าง ยังใช้โดย Burgisser-Ikenmeyer เพื่อรับการพิสูจน์ทางทฤษฎี "หมดจด" เพื่อพิสูจน์ขอบเขตล่างที่อ่อนแอกว่าเล็กน้อยในการคูณเมทริกซ์ คาดคะเนโดย Mulmuley และ Sohoni (cf "เรขาคณิตซับซ้อนทฤษฎี I & II") เพื่อเป็นประโยชน์ในการแก้ไข VS วีN Pและในที่สุดN PเทียบกับP / P o L Y$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Kaveh ได้แนะนำเบา ๆ ในคำตอบของเขาว่าฉันควรพูดอะไรบางอย่าง ฉันไม่มีอะไรมากพอที่จะมีส่วนร่วมในรายการคำตอบที่ครอบคลุมอย่างนี้ ฉันสามารถเพิ่มคำทั่วไปไม่กี่คำเกี่ยวกับวิธีที่ "ความซับซ้อนเชิงโครงสร้าง" ขอบเขตล่างมีการพัฒนาในช่วงสิบปีที่ผ่านมาหรือมากกว่านั้น (ฉันใช้ชื่อ "ความซับซ้อนเชิงโครงสร้าง" เพียงเพื่อแยกความแตกต่างจากพีชคณิตความซับซ้อนในการสื่อสาร ฯลฯ )

แนวทางในปัจจุบันส่วนใหญ่ยังคงอยู่บนพื้นฐานของเส้นทแยงมุมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกระบวนทัศน์พื้นฐานต่อไปนี้: เริ่มต้นด้วยการสมมติว่าตรงกันข้ามกับขอบเขตล่าง นี่เป็นอัลกอริธึมที่ดีสำหรับปัญหาบางอย่าง ลองใช้อัลกอริธึมนั้นเพื่อขัดแย้งกับทฤษฎีบทลำดับชั้นบางอย่างโดยใช้แนวทแยงมุมเช่นลำดับชั้นเวลาหรือลำดับชั้นของอวกาศ เนื่องจากข้อโต้แย้งในแนวทแยงเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ขอบเขตใหม่ที่ต่ำกว่าส่วนผสมอื่น ๆ จะถูกเพิ่มเข้าไปในส่วนผสมเพื่อให้ได้สูตรที่ขัดแย้งกัน

ฉันควรจะบอกว่าข้อโต้แย้งมากมายจากยุค 70 และยุค 80 สามารถพูดได้ว่าทำตามรูปแบบข้างต้น ความแตกต่างหลักในปัจจุบันคือ "ส่วนผสมอื่น ๆ" - มีหลายส่วนผสมในการเลือกและวิธีการที่ส่วนผสมที่สามารถนำมาใช้ดูเหมือนจะถูก จำกัด ด้วยความคิดสร้างสรรค์ของคุณเองเท่านั้น บางครั้งเมื่อคุณไม่ทราบวิธีผสมส่วนผสมเฉพาะเพื่อให้ได้สูตรอาหารที่ดีกว่านี้ แต่คุณเข้าใจดีว่าจะผสมได้อย่างไรมันช่วยในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่แนะนำสูตรอาหารใหม่สำหรับคุณ

มันจะน่าสนใจมากที่จะได้รับการพิสูจน์ใหม่ของขอบเขตล่างล่าสุดที่แน่นอนไม่ทำตามกระบวนทัศน์นี้ ตัวอย่างเช่นสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีการอ้างอิงถึงการโต้แย้งในแนวทแยงมุมหรือไม่? เพื่อเริ่มต้นกับมันสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องเรียกทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลา nondeterministic? (หนึ่งสามารถใช้ "ลำดับชั้นขนาดวงจร" แทนเช่น?)$NEXP \not\subset ACC$

เทคนิคที่ขึ้นอยู่กับรูปแบบและประเภทของทรัพยากรที่เราต้องการที่จะได้รับผูกพันที่ลดลงใน โปรดทราบว่าการพิสูจน์ขอบเขตล่างบนความซับซ้อนของปัญหาเราต้องแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการคำนวณก่อน: ขอบเขตล่างสำหรับสถานะปัญหาคือว่าไม่มีอัลกอริทึมที่ใช้ทรัพยากรจำนวนหนึ่งสามารถแก้ปัญหาได้นั่นคือเรากำลังหาปริมาณสากล มากกว่าอัลกอริทึม เราจำเป็นต้องมีความหมายทางคณิตศาสตร์ของโดเมนของปริมาณ (โดยทั่วไปจะเป็นจริงสำหรับผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้) ดังนั้นผลลัพธ์ที่มีขอบเขตล่างจะเก็บไว้เฉพาะสำหรับการคำนวณรูปแบบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น$\Omega(n \log n)$ขอบเขตล่างสำหรับการเรียงลำดับใช้งานได้เฉพาะอัลกอริธึมการเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบโดยไม่มีข้อ จำกัด นี้และในแบบจำลองทั่วไปของการคำนวณอาจเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาการเรียงลำดับได้เร็วขึ้นแม้กระทั่งเวลาเชิงเส้น (ดูความคิดเห็นของ Josh ด้านล่าง)

นี่คือวิธีการพื้นฐานโดยตรงสองสามข้อในการพิสูจน์ขอบเขตล่างในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณสำหรับแบบจำลองการคำนวณทั่วไป (เครื่องทัวริงและวงจร)

I. การนับ:

ความคิด: เราแสดงให้เห็นว่ายังมีฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่อัลกอริทึม

Ex: มีฟังก์ชั่นที่ต้องใช้วงจรขนาดใหญ่ที่มีการชี้แจง

ปัญหาของวิธีนี้คือมันเป็นอาร์กิวเมนต์ที่มีอยู่และไม่ได้ให้ฟังก์ชั่นที่ชัดเจนหรือมีขอบเขตบนความซับซ้อนของปัญหาที่พิสูจน์แล้วว่าเป็นเรื่องยาก

ครั้งที่สอง Combinatorial / พีชคณิต:

แนวคิด: เราวิเคราะห์วงจรและแสดงให้เห็นว่าพวกเขามีคุณสมบัติเฉพาะเช่นฟังก์ชันที่คำนวณโดยพวกเขาสามารถประมาณชั้นดีของวัตถุทางคณิตศาสตร์ในขณะที่ฟังก์ชั่นเป้าหมายไม่มีคุณสมบัตินั้น

ตัวอย่าง: บทแทรกของHåstadและตัวแปรต่างๆใช้ต้นไม้ตัดสินใจเพื่อประมาณ , Razborov-Smolensky ใช้ชื่อพหุนามมากกว่าฟิลด์เพื่อฟังก์ชั่นโดยประมาณA C 0 [ p ] , ฯลฯ$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

ปัญหาด้วยวิธีนี้คือในทางปฏิบัติมันใช้งานได้สำหรับชั้นเรียนขนาดเล็กและค่อนข้างง่ายในการวิเคราะห์เท่านั้น นอกจากนี้ยังมีอุปสรรคการพิสูจน์ตามธรรมชาติของ Razborov-Rudich ในลักษณะที่เป็นทางการว่าทำไมคุณสมบัติที่เรียบง่ายของตัวเองไม่น่าจะเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ขอบเขตทั่วไปของวงจรที่ต่ำกว่า

กระดาษของ Razborov " ในวิธีการประมาณ " ระบุว่าวิธีการประมาณนั้นสมบูรณ์สำหรับการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าในแง่หนึ่ง

III diagonalization:

ความคิด เราทแยงมุมกับฟังก์ชั่นในชั้นเรียนขนาดเล็ก ความคิดกลับไปที่Gödel (และแม้แต่คันทอร์)

อดีต ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา , อวกาศทฤษฎีบทลำดับชั้นฯลฯ

ปัญหาหลักของวิธีนี้คือการได้รับขอบเขตสูงสุดเราจำเป็นต้องมีตัวจำลองสากลสำหรับชั้นเรียนขนาดเล็กและเป็นการยากที่จะหาตัวจำลองที่ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่นการแยกต่างหากจากP S P คอี เราจำเป็นต้องมีการจำลองสำหรับPภายในP S P คอีและมีผลแสดงให้เห็นว่าหากมีการจำลองดังกล่าวพวกเขาจะไม่ได้ไปจะดี ดังนั้นเรามักจะจบลงด้วยการแยกคลาสที่มีทรัพยากรชนิดเดียวกันโดยใช้ทรัพยากรเพิ่มอีกเล็กน้อยที่เราสามารถจำลองคลาสที่เล็กกว่าในระดับสากลได้$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

นอกจากนี้เรายังมีกำแพงกั้นความสัมพันธ์ (กลับไปที่ Baker, Gill, และ Solovay) และ algebraization barrier (โดย Aaronson และ Wigderson) ซึ่งระบุว่าการโต้แย้งแนวทแยงมุมประเภทใดประเภทหนึ่งจะถ่ายโอนไปยังการตั้งค่าอื่น ๆ

โปรดทราบว่าอุปสรรคเหล่านี้ใช้ไม่ได้กับข้อโต้แย้งแนวทแยงทั่วไป ในความเป็นจริงตามกระดาษของ Dexter Kozen "การจัดทำดัชนีของ subrecursive class " การทำแนวทแยงมุมนั้นเสร็จสมบูรณ์เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า

ดังที่คุณอาจสังเกตเห็นว่ามีความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นระหว่างการค้นหาตัวจำลองสากลที่ดีสำหรับคลาสความซับซ้อนและการแยกคลาสความซับซ้อนนั้นออกจากคลาสที่มีขนาดใหญ่กว่า

ผลงานล่าสุด

สำหรับความก้าวหน้าล่าสุดให้ตรวจสอบเอกสารล่าสุดของRyan Williams ฉันไม่พูดถึงพวกเขาในคำตอบนี้เพราะฉันหวังว่าไรอันเองจะเขียนคำตอบ

ต้นไม้ตัดสินใจเชิงพีชคณิต

นี่ไม่ใช่เทคนิคล่าสุด แต่เป็นวิธีที่ค่อนข้างทรงพลังสำหรับปัญหาบางอย่าง

โมเดลต้นไม้ตัดสินใจเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นลักษณะทั่วไปที่มีประสิทธิภาพของต้นไม้เปรียบเทียบ ในรูปแบบนี้ขั้นตอนวิธีการเป็นแบบจำลองเป็นครอบครัวไม่สม่ำเสมอของต้นไม้ตัดสินใจหนึ่งสำหรับแต่ละขนาดอินพุตnโดยเฉพาะเป็นd TH-เพื่อต้นไม้ตัดสินใจเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นต้นไม้ที่หยั่งราก ternary ที่มีโครงสร้างต่อไปนี้:$n$$d$

• แต่ละคนที่ไม่ใช่ใบโหนดมีป้ายที่มีการสอบถามหลายตัวแปรพหุนามQ V ( x 1 , ... , x n )ของระดับที่มากที่สุดd ยกตัวอย่างเช่นในการเปรียบเทียบต้นไม้ทุกพหุนามแบบสอบถามมีรูปแบบx ฉัน - x Jสำหรับอินดี้บางฉันและเจ$v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• ขอบออกทุกโหนดที่ไม่ใช่ใบจะมีป้ายกำกับ , 0และ+ 1$-1$$0$$+1$

• $\{1,2,\dots,n\}$

$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

$\Omega(n^d)$

$\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

$\Omega(n\log n)$

$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$ชื่อพหุนามแบบสอบถาม เวลาก่อสร้างนี้ฟรีในรุ่นที่มีขอบเขต จำกัด

ไชโยสำหรับผลลัพธ์ลบสองเท่า!

Manindra Agrawal มีกระดาษดี "พิสูจน์ขอบเขตล่างผ่านเครื่องกำเนิด Psuedorandom" นี่อาจถือได้ว่าเป็น "ม้ามืด" ในระยะวิ่งเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า แต่กระดาษนั้นน่าสนใจ

นี่คือการสำรวจ 32p ที่เพิ่งปรากฏบนตัวแบบโดยมุ่งไปที่มุมล่างของวงจร (มีการทับซ้อนที่แข็งแกร่งในเนื้อหาพร้อมคำตอบอื่น ๆ ที่นี่)

• อัลกอริทึมเมื่อเทียบกับขอบเขตขอบเขตวงจรโดย Oliveira

มีการใช้เทคนิคที่แตกต่างกันเพื่อพิสูจน์ทฤษฏีการถ่ายโอนหลายรูปแบบของ "อัลกอริทึมแบบไม่น่าสนใจสำหรับคลาสคลาส C ที่ให้วงจรวงจรที่ต่ำกว่าขอบเขตกับ C" ในการสำรวจนี้เรากลับมายังผลลัพธ์เหล่านี้จำนวนมาก เราอภิปรายถึงวิธีการลดขอบเขตของวงจรที่ต่ำลงได้จากอัลกอริธึม derandomization การบีบอัดการเรียนรู้และความพึงพอใจ นอกจากนี้เรายังครอบคลุมการเชื่อมต่อระหว่างขอบเขตของวงจรที่ต่ำกว่าและคุณสมบัติที่มีประโยชน์ความคิดที่กลายเป็นพื้นฐานในบริบทของทฤษฏีการถ่ายโอนเหล่านี้ ระหว่างทางเราได้รับผลลัพธ์ใหม่ไม่กี่ทำให้พิสูจน์ได้ง่ายขึ้นและแสดงการเชื่อมต่อที่เกี่ยวข้องกับกรอบงานที่แตกต่างกัน เราหวังว่างานนำเสนอของเราจะทำหน้าที่เป็นการแนะนำตัวเองสำหรับผู้ที่สนใจในการติดตามการวิจัยในพื้นที่นี้