เครื่องแบบ RNC มีอยู่ในพื้นที่ว่างของโพลิล็อกหรือไม่?

Log-space-uniform NC มีอยู่ใน polylog space ที่กำหนดไว้ (บางครั้งเขียน PolyL) RNC อยู่ในคลาสนี้ด้วยหรือไม่ รุ่นมาตรฐานแบบสุ่มของ PolyL ควรอยู่ใน PolyL แต่ฉันไม่เห็นว่า (เครื่องแบบ) RNC อยู่ในแบบสุ่ม - PolyL

ความยากลำบากที่ฉันเห็นคือใน RNC วงจรสามารถ "ดูบิตสุ่ม" ได้มากเท่าที่ต้องการ นั่นคืออินพุตสุ่มสามารถมี fanout ตามอำเภอใจ แต่ในรุ่น PolyL แบบสุ่มมันไม่ใช่ว่าคุณจะได้รับเทปบิตสุ่มที่คุณจะได้ดูให้มากที่สุดเท่าที่คุณต้องการ ค่อนข้างคุณจะได้รับอนุญาตให้พลิกเหรียญในแต่ละขั้นตอน

ขอบคุณ!

complexity-classes randomized-algorithms

— Ryan O'Donnell
แหล่งที่มา

Periklis Papakonstantinou ส่งอีเมลถึงฉันอย่างแม่นยำถึงคำตอบที่ฉันต้องการ เขาบอกฉันว่า Valentine Kabanets บอกเขาว่ามีใครสามารถใช้ Kabanets - Impagliazzo เพื่อแสดงให้เห็นว่าเครื่องแบบ -RNC ใน PolyL จะบ่งบอกถึงขอบเขตของวงจรที่ต่ำกว่าสำหรับ NEXP หรือถาวร บางทีหนึ่งในนั้นอาจโพสต์ข้อโต้แย้งที่นี่

— Ryan O'Donnell

ข้อ

— พิสูจน์

@sdvvc: ตอบได้ไหม?

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow เรารู้ว่าเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตามเป็นไปได้หรือไม่

N C = P S P A C E

$NC=PSPACE$

R N C = P = B P P = N P = P S P A C E

$RNC=P=BPP=NP=PSPACE$

— T ....

บางทีคนส่วนใหญ่คิดว่า (หรือแม้กระทั่ง ) แต่ฉันสงสัยเรื่องนี้ (ดูส่วนที่สองของ คำตอบของฉันด้านล่าง) ถ้ามีอยู่ในก็จะมีอยู่ใน (โดยเฉพาะมันอยู่ในโดยการค้นหาอย่างละเอียด) $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{DSPACE(polylog)}$ $\mathsf{RNC}=\mathsf{NC}$ $\mathsf{RNC}$ $\mathsf{DSPACE(polylog)}$ $\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$ $\mathsf{DTIME(2^{polylog})}$

Valentine Kabanets อธิบายให้ฉันฟัง (อาร์กิวเมนต์) ต่อไปนี้จากกระดาษของเขากับ Russell Impagliazzo ซึ่งอธิบายว่าทำไมไม่น่าเป็นไปได้ $\mathsf{RNC} \subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

ทฤษฎีบท: ถ้าจากนั้นไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรบูลีนขนาด (เช่นย่อย - maxsize โดย Shannon; ไม่เกี่ยวข้อง แต่ดู Lupanov สำหรับความหนาแน่น), หรือถาวรไม่ได้คำนวณโดย (หาร - ฟรี) สูตรคณิตศาสตร์มากกว่าขนาด quasipolynomial $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$ $\mathsf{NEXP}$ $o(2^n/n)$ ${\mathbb Z}$

พิสูจน์:สมมติ{polylog})} ถ้าถาวรมีสูตรขนาด quasipolynomial จากนั้นเราสามารถคาดเดาและตรวจสอบสูตรดังกล่าวสำหรับการถาวรโดยใช้เครื่องทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม quasipolynomial เวลาโดยสมมติฐาน ตำแหน่งนี้ถาวร{polylog})} $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$ $\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

ตามทฤษฎีของ Todaก็อยู่ในด้วย โดย padding รุ่นเส้นเวลา-ชี้แจงของยังอยู่ใน{} ดังนั้นเวอร์ชั่นเชิงเส้นตรงของจึงมีวงจรขนาด (เช่น submax) แต่ด้วยการแย้งแบบเส้นทแยงมุมอย่างง่าย ๆ เราสามารถแสดงให้เห็นว่ารุ่นเชิงเส้นตรงของต้องการขนาดวงจรสูงสุดซึ่งเป็นความขัดแย้ง (โดยวิธีนี้เป็นตัวแปรของคำถามระดับกลางสำหรับความซับซ้อนระดับบัณฑิตศึกษา แน่นอน; โอเคอาจจะพิสูจน์ได้ว่าต้องการวงจรขนาดสูงสุดเป็นวงจรที่ง่ายกว่า) QED $\Sigma_2$ $\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$ $\Sigma_5$ $\mathsf{NEXP}$ $\Sigma_5$ $o(2^n/n)$ $\Sigma_5$ $\mathsf{EXPSPACE}$

ตอนนี้ทิศทางที่ไม่เป็นที่นิยม

เรารู้อยู่แล้วว่าการสุ่มอ่านหลาย ๆ ครั้งสามารถทำสิ่งที่ไม่ชัดเจน ตัวอย่างที่น่าสนใจสามารถพบได้ใน " Making Nondeterminism Unambiguous " โดย Reinhardt และ Allender (พวกเขาระบุในแง่ของความไม่สม่ำเสมอ แต่โดยหลักการแล้วมันเกี่ยวกับการใช้การสุ่มอ่านหลายครั้ง) อีกตัวอย่างที่น่าสนใจ (เกี่ยวข้องโดยตรงน้อยกว่า) คือ "การซื้อแบบสุ่มเพื่อความลึกโดยประมาณ " โดย Emanuele Viola ฉันเดาว่าทั้งหมดที่ฉันพูดคือฉันจะไม่แปลกใจถ้า derandomization ของไม่ใช่สิ่งที่คนส่วนใหญ่คาดหวัง $\mathsf{RNC}$

(นอกจากนี้ยังมีกระดาษอีกสองสามฉบับเช่นกระดาษวิเศษของ Noam Nisan ในการอ่านแบบสุ่มครั้งเดียวกับการอ่านแบบสุ่มจำนวนมากซึ่งแสดงวิธีการซื้อข้อผิดพลาดสองด้านพร้อมข้อผิดพลาดด้านเดียว)

โดยวิธีการทำความเข้าใจวิธีการสร้างแบบจำลองการคำนวณพื้นที่ที่มีช่องว่าง PRGs ที่มีการเข้าถึงหลายครั้งในการป้อนข้อมูลของพวกเขา (เช่นความยาวเชิงเส้น Bps) ก็มีความเกี่ยวข้องกับคำถามนี้

- เปริคลิส

— user17164
แหล่งที่มา

"ข้อผิดพลาดสองด้านสำหรับข้อผิดพลาดแบบศูนย์"

— user17164