การเปลี่ยนแปลง Beigel-Tarui ของ ACC cricuits

ฉันกำลังอ่านภาคผนวกเกี่ยวกับขอบเขตที่ต่ำกว่าของ ACC สำหรับ NEXP ใน Arora และหนังสือ Computational Complexityของ Barak http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf หนึ่งในบทสรุปที่สำคัญคือการเปลี่ยนแปลงจากวงจรไปเป็นพหุนามพหุนามหลายระดับในจำนวนเต็มที่มีระดับ polylogarithmic และสัมประสิทธิ์ quasipolynomial หรือเทียบเท่า ซึ่งเป็นคลาสS Y M +ซึ่งเป็นระดับความลึกสองวงจรที่มี quasipolynomially และประตูที่ระดับล่างสุดของมันด้วยพัดลม polylogarithmic และประตูสมมาตรที่ระดับบนสุด$ACC^{0}$$SYM^{+}$

ในภาคผนวกที่ตำราเรียน, การเปลี่ยนแปลงครั้งนี้มีสามขั้นตอนสมมติว่าชุดประตูประกอบด้วย OR, mod , MOD 3และคงที่1 ขั้นตอนแรกคือการลดแฟนอินของประตู OR ให้เป็นระเบียบคำสั่ง polylogarithmic$2$$3$$1$

ใช้องอาจ-Vazirani แยกแทรกผู้เขียนจะขอที่ได้รับหรือประตูมากกว่าปัจจัยการผลิตในรูปแบบO R ( x 1 , . . . , x 2 k ) , ถ้าเราเลือกเอชที่จะเป็นคู่ฟังก์ชันแฮชอิสระ , จาก[ 2 k ]ถึง{ 0 , 1 } , จากนั้นสำหรับค่าใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์x ∈ { 0 , 1 } 2 k , ความน่าจะเป็นอย่างน้อย1 /$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$จะถือว่า Σ i : h $1/(10k)$ 2$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

ไม่น่าจะเป็นของอย่างน้อย1 / 2 ? มันดูเหมือนว่า1 / 10 kเป็นอ่อนแอขอบเขตล่าง$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

ขั้นตอนที่สองย้ายไปที่ประตูเลขคณิตและผลักการคูณลง ในขั้นตอนนี้เราจะแปลงวงจรบูลีนด้วยสตริงอินพุตไบนารีที่กำหนดเป็นวงจรคณิตศาสตร์ที่มีอินพุตจำนวนเต็ม

ที่นี่พวกเขาทราบว่าจะถูกแทนที่ด้วย1 - x 1 x 2 ⋯ x kและM O D P ( x 1 , . . . , x k )จะถูกแทนที่ด้วย( Σ ฉัน= 1 , . . . , k x ฉัน ) P $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ใช้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

ทำไมการเปลี่ยนนี้ให้เทียบเท่าวงจร?$SYM^{+}$

ความน่าจะเป็นของอย่างน้อย 1/2 หรือไม่? ดูเหมือนว่า1 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$เป็นขอบเขตล่างที่อ่อนแอ$1/(10k)$

ในความเป็นจริงคำตอบคือไม่ (มันจะเป็นไปได้ว่าถือหุ้นมีโอกาสอย่างน้อย1 / 2 - εถ้าเราได้ทำงานกับε -biased ครอบครัวกัญชาและแน่นอนใช้$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$กัญชา -biased ฟังก์ชั่นให้วิธีการปรับปรุงค่าพารามิเตอร์ของการก่อสร้าง. แต่คู่ความเป็นอิสระไม่จำเป็นต้อง ε -biased.)$\varepsilon$$\varepsilon$

ดูเหมือนว่าพวกเขาจะหายไปอีกหนึ่งขั้นตอนที่นี่ หากต้องการใช้ Valiant-Vazirani โดยตรงคุณจะต้องเลือกช่วงของฟังก์ชันแฮชแบบสุ่มด้วย แทนที่จะหยิบสุ่มจากจำนวนอิสระดูเหมือนว่าคุณควรเลือกแบบสุ่มℓ ∈ { 2 , ... , k + 1 }แล้วเลือกสุ่มจากจำนวนอิสระชั่วโมง: [ 2 k ] → { $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$. (นี่ฉันจงใจใช้คำสั่งร่า-Barak ขององอาจ-Vazirani พบในหน้า 354. ) Let เป็นหมายเลขของx ฉัน = 1 Valiant-Vazirani กล่าวว่าเมื่อคุณเลือกℓเช่นนั้น2 ℓ - 2 ≤ s ≤ 2 ℓ - 1ดังนั้นความน่าจะเป็นที่Σ i : h ( i ) = 1 x i = 1 (มากกว่าจำนวนเต็ม!) อย่างน้อย1 / 8$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

$\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$ hash functions in each set.

Why does this replacement give an equivalent SYM+ circuit ?

A SYM of AND (i.e, SYM+) circuit of size $K$ is essentially equivalent to having a multivariate polynomial $h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$ with at most $K$ monomials, a lookup table $g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$, and computing $g(h(x_1,\ldots,x_n))$. (For instance, a proof can be found in Beigel-Tarui.) The intuition is that each monomial in $f$ is an AND gate, and $g$ is the SYM gate. I say "essentially equivalent" because the multilinear polynomial $h$ could also have negative coefficients for some terms, and negative coefficents are not obviously implementable in SYM of AND. But I claim (and Beigel and Tarui claim) that this is not a problem. Think about it :)