ฟังก์ชั่นสุ่มระดับต่ำเป็นพหุนามจริง

มีวิธี (สมเหตุสมผล) ในการสุ่มฟังก์ชั่นบูลีนสุ่มอย่างสม่ำเสมอ $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ ซึ่งระดับของพหุนามเป็นจริงมากที่สุด $d$ ?

แก้ไข: นิสันและ Szegedyได้แสดงให้เห็นว่าการทำงานของการศึกษาระดับปริญญา $d$ ขึ้นอยู่กับที่มากที่สุด $d2^d$ พิกัดดังนั้นเราอาจคิดว่า $n \leq d2^d$ dปัญหาที่ผมเห็นเป็นดังต่อไปนี้: 1) หนึ่งในมือถ้าเราเลือกฟังก์ชั่นบูลสุ่ม $d2^d$ พิกัดแล้วองศาจะใกล้เคียงกับ $d2^d$ สูงกว่าd $d$ 2) ในทางกลับกันถ้าเราเลือกค่าสัมประสิทธิ์แต่ละระดับที่ส่วนใหญ่ $d$ แล้วฟังก์ชันจะไม่บูลีน

ดังนั้นคำถามคือ: มีวิธีตัวอย่างฟังก์ชั่นบูลีนระดับต่ำที่หลีกเลี่ยงปัญหาทั้งสองนี้หรือไม่?

randomness boolean-functions bounded-degree

— Igor Shinkar
แหล่งที่มา

คุณต้องการฟังก์ชั่นที่เกิดขึ้นจริงจะเป็นข้อ จำกัด ของการพหุนามที่แท้จริงของการศึกษาระดับปริญญา

d

$d$ ไป 0-1 ปัจจัยการผลิตหรือไม่หรือคุณต้องการให้เป็นที่

f (x) = 1

$f(x) = 1$ IFF

p (x) > 0

$p(x) > 0$ สำหรับบางพหุนามจริง

p

$p$ ของ ปริญญาที่

มากที่สุด

d

$d$ ? หรืออย่างอื่น?

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow ฉันต้องการฟังก์ชั่นที่มีการขยายตัวของฟูริเยร์มีปริญญาd

d

$d$ นั่นคือตัวเลือกแรกของคุณ

— Igor Shinkar

รุ่นของคุณคืออะไร? การจดบันทึกฟังก์ชันตัวอย่างจะใช้เวลา

2^{n}

$2^n$ หรือ

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$ หากคุณต้องการส่งออกการขยายฟูริเยร์ เป็น

d

$d$ คงที่ถาวร?

— MCH

ฉันเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติมในคำถาม

— Igor Shinkar

@MCH หากฟังก์ชั่นถ้าเป็นเรื่องการศึกษาระดับปริญญา

d

$d$ (กับศูนย์น้ำหนักเหนือระดับ

d

$d$ ) แล้วก็ไม่สามารถขึ้นอยู่กับกว่า

d 2^{d}

$d2^d$ พิกัด นี่คือผลลัพธ์เนื่องจาก Nisan และ Szegedy คิดเกี่ยวกับกรณีพิเศษของ

d = 1

$d=1$ 1

ในกรณีนี้เรารู้ว่าฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับพิกัด (มากที่สุด) 1

— Igor Shinkar

นี่คืออัลกอริทึมที่เอาชนะความพยายามเล็กน้อย

ต่อไปนี้เป็นความจริงที่รู้จักกัน (การใช้สิทธิ 1.12 ในหนังสือดอนเนลล์): ถ้า $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ เป็นฟังก์ชั่นบูลีนซึ่งมีการศึกษาระดับปริญญา $\le d$ เป็นพหุนามแล้วทุกค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ ของ $f$ , เป็นจำนวนเต็มของ dใช้ Cauchy-Schwarz และ Parseval หนึ่งได้รับว่ามีที่มากที่สุดภัณฑ์สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์และ $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ d

นี่แสดงให้เห็นวิธีการสุ่มตัวอย่าง -

เลือกเลขสุ่มที่ไม่ใช่เชิงลบสำหรับทุกชุดขนาดที่มากที่สุดซึ่งรวมถึง d $a_S$ $S\subseteq[n]$ $d$ $\le 4^d$
ให้ $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ )
ตรวจสอบว่า $f$ เป็นบูลีน ถ้าเป็นเช่นนั้นผลตอบแทนฉ $f$ อื่น ๆ กลับไปที่1 $1$

หมายเหตุว่าสำหรับทุกการศึกษาระดับปริญญา $\le d$ พหุนาม $f$ อีกหนึ่งทางเลือกของจำนวนเต็มสุ่มในขั้นตอนที่ 1 จะสร้างพหุนามฉ $f$ ความน่าจะเป็นของการศึกษาระดับปริญญาเฉพาะ $\le d$ พหุนามมี ดังนั้นเราต้องทำซ้ำขั้นตอนนี้มากที่สุดครั้งโดยคาดหวังก่อนที่จะหยุด

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

มันยังคงแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการขั้นตอนที่ 3 หนึ่งสามารถกำหนด\} ตรวจสอบว่า (ซึ่งควรถือโดยนิสัน-Szegedy ทุกฟังก์ชั่นบูลีน) และจากนั้นประเมินที่ได้รับมอบหมายเป็นไปได้ทั้งหมดกับตัวแปรใน ซึ่งสามารถทำได้ในเวลาd} Gur และ Tamuz เสนออัลกอริทึมแบบสุ่มที่เร็วขึ้นสำหรับงานนี้อย่างไรก็ตามเนื่องจากส่วนนี้ไม่ได้ควบคุมความซับซ้อนของเวลาซึ่งเพียงพอแล้ว $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

โดยรวมขั้นตอนวิธีการผลิตตัวอย่างที่สุ่มของระดับพหุนามในเวลาd} ภายใต้สมมติฐานว่าซับซ้อนเป็นเวลาd)} $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

นี้ไม่ได้เป็นเวลาพหุนามสุ่มตัวอย่างอัลกอริทึมแม้ว่ามันจะเป็นได้เร็วขึ้นมากแล้วสุ่มตัวอย่างฟังก์ชั่นแบบสุ่มสมบูรณ์ (ซึ่งในกรณีนี้น่าจะเป็นของการศึกษาระดับปริญญาเฉพาะพหุนามคือ ) $\le d$ $1/2^{2^n}$

— Avishay Tal
แหล่งที่มา

ดี! อันที่จริงนี่ให้อัลกอริทึมที่ whp (wrt ) ส่งออกจำนวนสูงสุดของพิกัดที่ฟังก์ชันระดับต่ำสามารถพึ่งพาได้ เพียงแค่ใช้ให้มีขนาดใหญ่พอตัวอย่างฟังก์ชั่นมากมายและสำหรับแต่ละฟังก์ชั่นนับจำนวนพิกัดที่มีอิทธิพล ส่งออกสูงสุดที่คุณเห็น

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$

— Igor Shinkar