การประมาณค่าเฉลี่ยในเวลาพหุนาม

ปล่อย$f \colon \lbrace 0,1 \rbrace ^ n \to (2^{-n},1]$เป็นฟังก์ชันเราต้องการประมาณค่าเฉลี่ยของนั่นคือ:(x)$f$$\mathbb{E}[f(n)]=2^{-n}\sum_{x\in \lbrace 0,1 \rbrace ^ n}f(x)$

NOTE: In the OP, the range of f was [0,1]. I changed this a bit for technical reasons. (This should simplify the problem; if not, forget it!)

ให้เป็นอัลกอริทึมการประมาณ (แบบสุ่ม) สมมติว่ามีการเข้าถึงกล่องดำที่จะฉเราหมายถึงนี้โดยฉ$E$$E$$f$$E^f$

มีสองเงื่อนไขคือ

1) เวลาทำงานของเครื่องมือประมาณการ:มีพหุนามเดียว$p(\cdot)$เช่นนั้นสำหรับทุก$n$และfทั้งหมด$f$เวลาทำงานของ$E^f(1^n)$ถูก จำกัด โดย$\frac{p(n)}{\mathbb{E}[f(n)]}$(n)]}

2) ความแม่นยำของเครื่องมือประมาณค่าด้วยความมั่นใจ$\delta$ :มีพหุนามเดียว$q(\cdot)$เช่นนั้นสำหรับ$n$และfทั้งหมด$f$เรามี${1 \over {q(n)}} < \frac{E^f(1^n)}{\mathbb{E}[f(n)]} < q(n)$ที่มีความน่าจะเป็นอย่างน้อย\$\delta$

NOTE: The confidence δ was not in the OP. The parameter δ is in (0,1), and may depend on n. For instance, it may be 1-1/2^n.

ตัวประมาณดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่?

ความเป็นมาและแรงจูงใจ

ฉันไม่ได้พูดถึงแรงจูงใจในตอนแรกเพราะมันต้องใช้ความรู้พื้นฐานมากมาย อย่างไรก็ตามสำหรับผู้ที่ชื่นชอบฉันอธิบายสั้น ๆ : ความต้องการตัวประมาณดังกล่าวเกิดขึ้นในบริบทของ "พิสูจน์ความสามารถ" ตามที่กำหนดไว้ในบทความต่อไปนี้:

Mihir Bellare, Oded Goldreich พิสูจน์ความสามารถในการคำนวณ , 1992 ต้นฉบับที่ไม่ได้เผยแพร่

โดยเฉพาะที่ด้านล่างของหน้า 5 ผู้เขียนโดยปริยายสันนิษฐานว่าการดำรงอยู่ของตัวประมาณดังกล่าว (มีการกล่าวถึงความแม่นยำไม่ได้และเวลาการทำงานไม่ได้กำหนดไว้อย่างแม่นยำ. ยังบริบทชัดเจนกำหนดทุกอย่าง)

ความพยายามครั้งแรกของฉันคืออ่าน " ตัวอย่างของกลุ่มตัวอย่าง --- มุมมองการคำนวณเกี่ยวกับการสุ่มตัวอย่าง " มันเกี่ยวข้องกับปัญหาที่คล้ายกันมาก แต่ความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดที่กำหนดเป็นสารเติมแต่งในขณะที่เราเป็นแบบคูณ (ฉันไม่ได้อ่านกระดาษอย่างเต็มที่บางทีมันอาจพูดถึงสิ่งที่ฉันต้องการที่ไหนสักแห่ง)

แก้ไข (ตามคำขอของซึโยชิ 's):ในความเป็นจริงความหมายของ "หลักฐานของการคำนวณความสามารถ" ต้องมีการดำรงอยู่ของ "ความรู้แยก" ที่มี (ที่คาดว่า) เวลาทำงานคือ(n)] เนื่องจากเราไม่รู้จักเราจึงต้องการประมาณมัน แต่สิ่งนี้จะต้องไม่เปลี่ยนเวลาในการทำงานอย่างมาก: ควรเปลี่ยนเป็นปัจจัยพหุนาม เงื่อนไขความแม่นยำพยายามที่จะจับความต้องการดังกล่าว$p(n) \over E[f(n)]$$E[f(n)]$

แก้ไข: นี่เป็นการแก้ปัญหาของรุ่นที่ f ส่งออกเฉพาะ 0 หรือ 1 แต่ฉันคิดว่าโซลูชันสามารถปรับเปลี่ยนได้เพื่อให้ใช้ได้กับกรณีทั่วไปมากขึ้น

บางทีฉันอาจจะเข้าใจผิดคำถาม แต่มันก็ดูไม่ยากเกินไป

แทนที่จะลองประมาณค่าเฉลี่ยลองคิดถึงจำนวน 1s แล้วเรียกเลขนั้นว่า k ให้ n ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ k / N คุณต้องการประมาณค่านี้ภายในปัจจัยการคูณพหุนามในเวลา O (N polylog (N) / k)$N = 2^n$

ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถทำได้ภายในหลายปัจจัยคูณคงที่เช่นกัน ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องการประมาณค่านี้ให้อยู่ในปัจจัยที่ 2 ดังนั้นเอาต์พุตของอัลกอริทึมจะอยู่ระหว่าง k / 2 ถึง 2k$k'$

ฉันจะร่างอัลกอริทึมซึ่งควรมีเวลาทำงานที่เหมาะสม ก่อนอื่นให้ตรวจสอบว่า k อยู่ระหว่าง N / 2 ถึง N นี่เป็นเรื่องง่ายแค่ลองสุ่มค่าสองสามค่าและถ้าคุณได้มากกว่าครึ่ง คุณมีการประมาณ 2 ค่า หากไม่เป็นเช่นนั้นให้ตรวจสอบว่าอยู่ระหว่าง N / 4 ถึง N / 2 หรือไม่ และอื่น ๆ ทุกครั้งที่คุณทำให้ช่วงเวลามีขนาดเล็กลงจะมีค่าใช้จ่ายมากขึ้นในการประเมินว่า k อยู่ในช่วงนั้นหรือไม่ แต่ต้นทุนนั้นแปรผกผันกับช่วงเวลาที่เล็ก

ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังตรวจสอบว่า k อยู่ระหว่างและ2 N / 2 qคุณต้องทำการสอบถามเกี่ยวกับO ( 2 q ) อย่างไรก็ตามหลังจากทำซ้ำขั้นตอนนี้มากพอแล้วคุณควรได้รับช่วงเวลาที่ k อยู่ Say k อยู่ระหว่างN / 2 Qและ2 N / 2 Q แล้ว k ประมาณN / 2 Q ดังนั้น2 $N/2^q$$2N/2^q$$O(2^q)$$N/2^q$$2N/2^q$$N/2^q$$2^q$เป็นเรื่องเกี่ยวกับ k / N ดังนั้นในขั้นตอนนี้เราจะใช้การค้นหา O (k / N) แต่การเข้าสู่ขั้นตอนนี้จำเป็นต้องใช้ q ขั้นตอนอื่น ๆ แต่นั่นเป็นเพียงปัจจัยเสริมที่เข้าสู่ระบบ ดังนั้นเวลาทำงานโดยรวมคือ O (N polylog (N) / k) สำหรับการประมาณ 2 ครั้ง

(จริง ๆ แล้วจะต้องทำการขยายข้อผิดพลาดเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่เหมาะสมในแต่ละขั้นตอน แต่นั่นเป็นเพียงปัจจัยเสริมเท่านั้น)

เหตุผลที่ฉันชอบคิดในกระบวนการหลายขั้นตอนนี้คือมันเน้นกระบวนการเป็นเดาและตรวจสอบก่อน หากมีคนบอกคุณว่าอยู่ระหว่างN / 2 qและ2 n / 2 qคุณสามารถประมาณค่าได้เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อทราบข้อเท็จจริงนี้ในเวลาที่สัญญาไว้ ดังนั้นเราจึงจำเป็นที่จะขจัดขั้นตอนของการที่จะได้รับการคาดเดาสำหรับที่k สิ่งนี้ทำได้โดยการค้นหาแบบไบนารีในทุกช่วงเวลาที่เป็นไปได้ของประเภทนั้น$k$$N/2^q$$2n/2^q$$k$

หากต้องการทำให้กรณีนี้เป็นเอาต์พุตที่ไม่ใช่บูลีนแทนที่จะนับจำนวน 1s เพียงแค่รวมค่าที่เห็น ฉันจะพยายามหาข้อมูลอ้างอิงเพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ได้ผลอย่างจริงจัง

Let แสดงค่าของฉนำไปใช้กับลำดับอนันต์ของกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม (ด้วยการเปลี่ยน) จาก{ 0 , 1 } n ให้kเป็นจำนวนเต็มบวกอย่างน้อยเช่นว่าΣ k ฉัน= 1ฉฉัน ≥ Mสำหรับค่าบางMบางทีM = P o L Y L o กรัม( n ) ฉันเดาว่าตัวประมาณM $f_1,f_2,\ldots$$f$$\{0,1\}^n$$k$$\sum_{i=1}^k f_i \ge M$$M$$M=polylog(n)$ควรบรรลุสิ่งที่คุณต้องการ$M / k$

สำหรับการวิเคราะห์คุณไม่สามารถใช้ Chernoff ขอบเขตโดยตรงกับตัวแปรสุ่มแต่มีเคล็ดลับเพื่อให้คุณสามารถใช้ Chernoff ได้ ให้μแสดงถึงความคาดหวังที่ไม่รู้จักE ( ฉ ) หาค่าคงที่k l o wและk h i g h (ฟังก์ชันของμ ) เพื่อให้มีความน่าจะเป็นอย่างน้อย1 - δเรามี∑ k l o w i = 1 f i < Mและ∑ k $k$$\mu$$E(f)$$k_{low}$$k_{high}$$\mu$$1 - \delta$$\sum_{i=1}^{k_{low}} f_i < M$M ผลรวมของบรรดาฉฉันs สามารถกระโดดใช้ Chernoff ตามด้วยklow<k<khighด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย1-δดังนั้นตัวประมาณM/kจึงมีความเข้มข้นดี$\sum_{i=1}^{k_{high}} f_i > M$$f_i$$k_{low} < k < k_{high}$$1-\delta$$M/k$