ความแข็งของชุดย่อยของ Set Cover

10

ปัญหา Set Cover ยากเพียงใดหากจำนวนองค์ประกอบถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชันบางอย่าง (เช่น $\log n$ ) ที่ใด $n$ คือขนาดของอินสแตนซ์ปัญหา อย่างเป็นทางการ

Let และ ที่และ )ยากแค่ไหนที่จะตัดสินใจเลือกปัญหาต่อไปนี้ $\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$ $\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$ $S_i \subseteq \mathcal{U}$ $m = O(\log n)$

\begin{aligned} SET-COVER' = {< U, F, k >: & there exists at most k subsets \\ S_{i_{1}}, \dots, S_{i_{k}} \in F that cover U} . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{SET-COVER'}=\{<\mathcal{U}, \mathcal{F}, k>: &\text{ there exists at most $k$ subsets }\\ &\text{ $S_{i_1}, \cdots, S_{i_k}\in \mathcal{F}$ that cover $\mathcal{U}$} \}. \end{align*}$

เกิดอะไรขึ้นถ้า ? $m=O(\sqrt{n})$

ผลลัพธ์ใด ๆ ตามการคาดเดาที่รู้จักกันดี (เช่นเกมที่ไม่ซ้ำ ETH) เป็นสิ่งที่ดี

แก้ไข 1: แรงจูงใจสำหรับปัญหานี้คือการค้นหาเมื่อปัญหายากขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้น เห็นได้ชัดว่าปัญหาอยู่ใน P ถ้าและ NP-hard ถ้า $m$ $m=O(1)$ )เกณฑ์สำหรับความแข็งของ NP คืออะไร $m=O(n)$

แก้ไข 2: มีอัลกอริทึมเล็กน้อยในการตัดสินใจในเวลา (ซึ่งระบุชุดย่อยทั้งหมดที่มีขนาดของ ) ดังนั้นปัญหาไม่ใช่ปัญหา NP-hard หากเนื่องจาก ETH แสดงว่าไม่มีอัลกอริทึมในเวลาสำหรับปัญหา NP-hard ใด ๆ (โดยที่คือขนาดของ ปัญหา NP-hard) $O(n^{m})$ $m$ $\mathcal{F}$ $m=O(\log{n})$ $O(2^{n^{o(1)}})$ $n$

np-hardness set-cover exp-time-algorithms

— user1297
แหล่งที่มา

2

มีอัลกอริทึมที่ดีกว่าในการตัดสินใจปัญหาในเวลา

(แม่นยำยิ่งกว่าหมายเลข Bell สำหรับ

): สำหรับแต่ละพาร์ติชันขององค์ประกอบเป็นชุดย่อยทดสอบว่ามีชุดอินพุตที่ครอบคลุมแต่ละชุดย่อยหรือไม่ ดังนั้นสำหรับ

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม นี้ไม่ได้ค่อนข้างตอบคำถามของคุณเกี่ยวกับ

แม้ว่า

m^{O (m)}

$m^{O(m)}$

m

$m$

m = O (\log n / \log \log n)

$m=O(\log n/\log\log n)$

m = O (\log n)

$m=O(\log n)$

— David Eppstein

11

เมื่อคุณสามารถใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเพื่อค้นหาเวลาที่เหมาะสมที่สุดในพหุนาม ตารางประกอบด้วยเซลล์บูลีนมูลค่าสำหรับแต่ละและแสดงให้เห็นว่ามีชุดซึ่งครอบคลุมองค์ประกอบในX $m = O(\log n)$ $T_{\ell,X}$ $\ell \in \{0,\ldots,k\}$ $X \subseteq \mathcal{U}$ $\ell$ $X$

เมื่อพูด $m = O(\sqrt{n})$ ปัญหายังคงเป็นปัญหาอยู่ ได้รับตัวอย่างของ SET-COVER เพิ่มองค์ประกอบใหม่และชุดใหม่ประกอบด้วยส่วนย่อยที่ไม่ว่างเปล่าขององค์ประกอบใหม่ ๆ รวมทั้ง(เมื่อมีขนาดใหญ่พอ) เพิ่ม $m \leq C\sqrt{n}$ $m$ $x_1,\ldots,x_m$ $(2C^{-1}m)^2$ $\{x_1,\ldots,x_m\}$ $m$ $(2C^{-1}m)^2 < 2^m$ $k$ หนึ่ง ใหม่มีและ 2 $m,n$ $m' = 2m$ $n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

โดยทั่วไป case

คือ NP-hard และ case

ไม่ใช่ NP-hard สมมติ ETH เนื่องจากมีอัลกอริทึม

.

m = n^{O (1)}

$m = n^{O(1)}$

m = n^{o (1)}

$m = n^{o(1)}$

p o l y (n, 2^{m})

$\mathrm{poly}(n,2^m)$

— Yuval Filmus

11

กรณีอยู่ในเวลาตามที่ระบุไว้โดย Yuval แต่ยังทราบสำหรับคุณสามารถแก้ปัญหาในเวลา (เวลาพหุนาม) โดย ค้นหาละเอียดถี่ถ้วน สมมติว่าสมมติฐานเวลาที่คาดเดาได้ยาก (CNF-SAT นั้นบนสูตรที่มีตัวแปรและส่วนคำสั่งต้องการอย่างน้อย $m = c \log n$ $n^{O(c)}$ $k = O(1)$ $O(n^k \cdot m)$ $N$ $O(N)$ $2^{N-o(N)}$ เวลา) ขอบเขตเวลาสองช่วงนี้เป็น "ขีด จำกัด " ของสิ่งที่เราคาดหวังในเวลาพหุนามในความหมายต่อไปนี้

ในบทความ SODA'10ของฉันกับ Mihai Patrascuเราศึกษาปัญหา isomorphic โดยหลักในการค้นหาชุดขนาดมีอำนาจเหนือในกราฟโหนดโดยพลการแสดงว่าถ้าชุด -dominating สามารถแก้ไขได้ใน time สำหรับบางตัวและจากนั้นจะมีอัลกอริทึมเวลาสำหรับ CNF-SAT บนตัวแปรและ $k$ $n$ $k$ $n^{k-\varepsilon}$ $k \geq 2$ $\varepsilon > 0$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$ $N$ $M$ เบ็ดเตล็ด

สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างละแวกใกล้เคียงของจุดในอินสแตนซ์ชุดครอบครองและชุดในอินสแตนซ์ฝาครอบชุดและตรวจสอบการลดลงคุณจะพบว่าการลดลงนี้ยังแสดงให้เห็นว่าการแก้ -SET คลุมด้วยชุดจักรวาลขนาดในเวลาหมายถึงขั้นตอนวิธีการ CNF-SAT สำหรับสูตร CNF กับคำสั่งและตัวแปรทำงานใน $k$ $n$ $m$ $n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$ $M$ $N$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$ $M = O(N)$ $n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$ $\alpha(m)$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา