ความแข็งของฟังก์ชั่นบูลีนที่มีเสียงดัง

ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรบูลีนn Let กรัม( x ) = T ε ( ฉ) ( x )เป็นค่าที่คาดหวังของF ( Y )เมื่อปีจะได้รับจากxโดยการพลิกแต่ละประสานงานกับความน่าจะเป็นε / 2$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

ฉันสนใจในกรณีที่มันเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณโดยประมาณกรัมให้ฉันแก้ไขความคิดของ "การประมาณ" (แต่อาจจะมีคนอื่น): ฟังก์ชั่นบูลีนเอชประมาณgถ้าh ( x ) = 1เมื่อg ( x ) ≥ 0.9และh ( x ) = 0เมื่อg ( x ) ≤ $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$อาร์กิวเมนต์การนับ (ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดในเชิงบวกอัตรา) ดูเหมือนจะให้ว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนที่ประมาณเช่นใดต้องใช้วงจรขนาดชี้แจง แต่คำถามคือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเริ่มต้นด้วยอยู่ใน NP หรือในละแวกของมัน$f$

Q1: มีตัวอย่างของอธิบายโดยวงจร NP (หรือ P-space) เพื่อให้ทุกชั่วโมงยากหรือยากในแง่ที่อ่อนแอ$f$$h$

จะเห็นว่าอาจจะไม่เสมอง่าย (ผมขอขอบคุณโยฮันฮาสตาดสำหรับการอภิปรายที่มีประโยชน์เกี่ยวกับเรื่องนี้) เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติของกราฟของการมีก๊กขนาดที่n 1 / 4 , สำหรับการป้อนข้อมูลแบบสุ่มก็เป็นไปได้ว่ามันยากที่จะ ตรวจสอบว่ามีกลุ่มคนจำนวนมาก แต่นี่เป็นที่ประจักษ์โดยมีมากกว่าจำนวนที่คาดหวังของขนาด log n ในกราฟที่มีเสียงดัง ในกรณีนี้hใด ๆจะเป็นไปได้ยาก (แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และไม่ยากอย่างยิ่งเพราะวงจร quasi-polynomial จะบอก)$h$$n^{1/4}$$h$

Q2: สถานการณ์จะเป็นอย่างไรถ้าเริ่มต้นด้วยความซับซ้อนต่ำ ( A C 0 , เสียงเดียวT C 0 , A C Cฯลฯ )$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3: สถานการณ์สำหรับตัวอย่างพื้นฐานของฟังก์ชันบูลีนคืออะไร (สามารถขยายคำถามไปยังฟังก์ชันที่มีคุณค่าได้)

Q4: คำถามข้างต้นสามารถถามอย่างเป็นทางการสำหรับรูปแบบการคำนวณเครื่องแบบ (ทัวริง) หรือไม่?

Update:ในมุมมองของคำตอบของ Andy (สวัสดีแล้ว Andy) ฉันคิดว่าคำถามที่น่าสนใจที่สุดคือการเข้าใจสถานการณ์สำหรับฟังก์ชั่นเฉพาะต่างๆ

อัปเดตคำถามอื่น Q5 [Q1 สำหรับฟังก์ชั่นเสียงเดียว] (ในมุมมองของคำตอบของ Andy) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเป็นเสียงเดียว? เราสามารถยังคงเข้ารหัสคำถามที่สมบูรณ์แบบสมบูรณ์ได้หรือไม่>$f$

สำหรับคำถามที่ 1 คำตอบคือใช่และสามารถแสดงได้ดังนี้ (ฉันจะวาดแบบร่างคำตอบเพื่อยืนยันในไตรมาส 4 โดยปริยายเนื่องจากข้อโต้แย้งนั้นเหมือนกันและจะรักษาความยาวอินพุตทั้งหมดในครั้งเดียว)

แก้ไขภาษา NP ที่สมบูรณ์แบบและตระกูลของรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดไบนารีที่ดี (ด้วยอัตรา 1/4 และการแก้ไขจากเศษส่วนของข้อผิดพลาด. 11) ให้E n c n : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } 4 nเป็นฟังก์ชันการเข้ารหัสสำหรับความยาวn ; เราใช้โค้ดบางอย่างที่E n c = { E n c n }สามารถคำนวณได้โดยอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่สม่ำเสมอ$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

$L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$$h$

หมายเหตุสองประการ:

(1) การเข้ารหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดของอินสแตนซ์ NP ถูกนำมาใช้ก่อนหน้านี้ในเอกสารหลายฉบับโดยเฉพาะ
D. Sivakumar: บนชุดสมาชิกที่เปรียบเทียบได้ เจคอมพิวเตอร์ Syst วิทย์ 59 (2): 270-280 (1999)

(2) การโต้แย้งข้างต้นแน่นอนว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนของกรณีเฉลี่ยของปัญหา NP ใด ๆ เนื่องจากการแก้ไขข้อผิดพลาดจะถูกนำไปใช้บนพื้นฐานของแต่ละกรณี