ปัญหาง่าย ๆ ที่ไม่สามารถทราบได้

ฉันกำลังเตรียมตัวสำหรับการสนทนาที่มุ่งเน้นวิชาเอกทางคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีและเป็นส่วนหนึ่งของมันฉันกำลังพิจารณาที่จะพูดคุยเกี่ยวกับแนวคิดของความสามารถในการตัดสินใจ ฉันต้องการยกตัวอย่างปัญหาที่เราไม่ทราบว่าสามารถตัดสินใจได้หรือไม่สามารถตัดสินใจได้ มีปัญหาดังกล่าวมากมาย แต่ดูเหมือนไม่มีใครโดดเด่นเป็นตัวอย่างที่ดี

ปัญหาง่ายต่อการอธิบายที่เปิดใช้การตัดสินใจได้คืออะไร

ปัญหา Matrix ตายสำหรับการฝึกอบรม 2x2 เช่นได้รับจำนวน จำกัด ของเมทริกซ์จำนวนเต็ม 2x2 M ₁ , ... , M _k , M ของ_ฉันสามารถคูณในลำดับใด ๆ (ด้วยซ้ำหลายโดยพลการ) เพื่อผลิตเมทริกซ์ -0 ทั้งหมดหรือไม่?

(กรณี 3x3 เป็นที่รู้จักกันว่า undecidable แน่นอนกรณี 1x1 เป็น decidable)

ปรับปรุง: ปัญหาที่ฉันพูดถึงที่นี่ตอนนี้เป็นที่รู้จักกันว่า undecidable! http://arxiv.org/abs/1605.05274 ยิ่งกว่านั้นกระดาษได้รับแรงบันดาลใจจากการอ่านคำตอบนี้ :)

โปรแกรมเมอร์ในกลุ่มเป้าหมายหลักคณิตศาสตร์ของคุณอาจแปลกใจที่รู้ว่าคำถามที่ว่า "ประเภทนี้สามารถแปลงเป็นประเภทนั้นได้หรือไม่" ไม่ทราบว่าสามารถนำไปใช้กับ Java 5, C # 4 และ Scala 2 ใด ๆ

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดดูที่แอนดรูเคนเนดี้และเบนจามินเพียร์ซของกระดาษ"ใน decidability ของ Subtyping ที่กำหนดมีความแปรปรวน" กระดาษให้ตัวอย่างของข้อ จำกัด เพิ่มเติมกับระบบประเภทของภาษาเหล่านี้ภายใต้ซึ่งเป็นที่รู้จักกันว่า subtyping subtyping เป็น decidable หรือเป็นที่รู้จัก undecidable

น่าสนใจกระดาษถูกเขียนดีก่อนความแปรปรวนร่วมทั่วไปและ contravariance ถูกเพิ่มเข้าไปใน C # แต่ผู้เขียนคาดว่าทิศทางของภาษาที่ถูกต้อง (สิ่งนี้ไม่น่าแปลกใจผู้เขียนออกแบบการสนับสนุนพื้นฐานสำหรับความแปรปรวนใน CLR ที่ฉันใช้ประโยชน์จากเมื่อเพิ่มความแปรปรวนใน C #! พวกเขาทำการยกอย่างหนัก)

ปัญหาที่สิบของฮิลแบร์ตเกี่ยวกับเหตุผล: "สมการพหุนามนี้มีวิธีแก้ปัญหาเชิงเหตุผลหรือไม่"

ปัญหาของการได้รับการเกิดซ้ำเชิงเส้นพร้อมกับค่าเริ่มต้นมันจะใช้ค่า 0 หรือไม่?

สองอ้างอิง:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

ปัญหาง่าย ๆ ที่ไม่ทราบการตัดสินใจคือสิ่งต่อไปนี้ (ฉันคิดว่ามันยังเปิดอยู่):

หมากรุกไม่มีที่สิ้นสุด :

อินพุต : รายการหมากรุกที่แน่นอนและตำแหน่งเริ่มต้นบนกระดานหมากรุก ; คำถาม : White force สามารถหาคู่ครองได้ไหม?$Z \times Z$

หากเราเพิ่มข้อ จำกัด ที่ White จะต้องอาศัยคู่ครองในการย้าย (เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต) จากนั้นจะกลายเป็น decidable: ดูDan Brumleve, Joel David Hamkins และ Philipp Schlicht ปัญหา Philippe In-n ของคู่อนันต์คือ decidable .$n$$n$

อีกปัญหาที่เรียบง่ายคือพฤติกรรมของมดของ Langtonในการกำหนดค่าเริ่มต้นที่แน่นอน

พฤติกรรมมดของ Langton พร้อมการสนับสนุนอัน จำกัด :

สี่เหลี่ยมบนเครื่องบินมีสีต่างกันไม่ว่าจะเป็นสีดำหรือสีขาว เราระบุหนึ่งตารางโดยพลการว่า "มด" มดสามารถเดินทางไปในทิศทางที่สำคัญทั้งสี่ในแต่ละขั้นตอน มดเคลื่อนไหวตามกฎด้านล่าง:

• ที่สี่เหลี่ยมสีขาวเลี้ยวขวา 90 °พลิกสีของสี่เหลี่ยมเลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งยูนิต
• ที่สี่เหลี่ยมสีดำเลี้ยวซ้าย 90 °พลิกสีของสี่เหลี่ยมเลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งยูนิต

อินพุต : การกำหนดค่า จำกัด (สีดำ / ขาว) ของระนาบและตำแหน่งมด;
คำถาม : มดสร้างอาคาร "ทางหลวง" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซ้ำแล้วซ้ำอีกหรือไม่?

สำหรับการสนับสนุนอย่างไม่มีที่สิ้นสุดปัญหาจะไม่สามารถตัดสินใจได้ดู: A. Gajardo, A. Moreira และ E. Goles, ความซับซ้อนของมดของ Langton

ปัญหา Collatz เป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายถึงปัญหาที่มีการตัดสินใจเปิด มันเกี่ยวข้องกับการเกิดซ้ำของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น

n / 2 3 n + $f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$สำหรับเลขจำนวนเต็มคู่, สำหรับเลขจำนวนเต็มคี่$3n+1$

ปัญหาคือการตัดสินใจว่า iterating ฟังก์ชั่นนี้มักจะกลับไปที่ 1 สำหรับให้จำนวนเต็มบวกn_0$n_0$

น่าสนใจภาพรวมของปัญหา Collatz ก็แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถตัดสินใจได้

อ้างอิง:

1 - ปัญหาที่ไม่สามารถปฏิเสธได้: ตัวอย่าง , BJORN POONEN

2- Weisstein, Eric W. "ปัญหา Collatz" จาก MathWorld - ทรัพยากรเว็บ Wolfram

3- ปัญหา 3X + 1: ภาพรวม Jeffrey C. Lagarias

ไม่ทราบว่าสามารถตัดสินใจได้หรือไม่ ว่ารูปร่างที่กำหนดนั้นสามารถต่อแผ่นระนาบได้หรือไม่

ความสามารถในการถอดรหัสของการสืบค้นที่เชื่อมโยงกันนั้นเปิดมานานกว่ายี่สิบปีแล้ว การแก้ไขปัญหานี้จะเป็นความก้าวหน้าในทฤษฎีฐานข้อมูล

$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

ในเชื่อมคำสั่งอย่างใดอย่างหนึ่งใช้และการเชื่อมโยงภาคด้วยกันปริมาณ existentially ในแง่ SQL แบบสอบถามแบบใช้ร่วมกันคือแบบสอบถามแบบ SELECT-FROM-WHERE โดยใช้ "=" และ "AND" แต่ไม่มีแบบสอบถามย่อยหรือการรวม นี่อาจเป็นข้อความค้นหาฐานข้อมูลที่พบบ่อยที่สุดและรวมถึงคำค้นหาของเครื่องมือค้นหาส่วนใหญ่

$I$$Q_1$$Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

หากต้องการคำแนะนำเกี่ยวกับวรรณคดีที่กว้างขวางและการปฏิบัติที่เข้มงวดให้ดูที่กระดาษบางเล่มของ ToDS (ในสื่อสิ่งพิมพ์) โดยบางคน

$Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

ปัญหาการโพสต์ของโพสต์ด้วยจำนวนไพ่ที่คงที่ระหว่าง 3 ถึง 6

แม้ว่ามันจะไม่ง่ายเลยที่จะอธิบาย แต่ก็มีคำอธิบายที่ "ขี้เล่น" มากและฉันคิดว่ามันเหมาะสำหรับการพูดคุยระดับปรีชา

ปัญหาความสูงดาวทั่วไป: "ฉันต้องทำรังดาว Kleene จำนวนเท่าไรเพื่อแสดงภาษาปกตินี้โดยอนุญาตให้มีการแสดงออกแบบปกติพร้อมการอนุญาตเสริม"

เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าอัลกอริทึมที่ส่งกลับค่า 1 เสมอ (ยกเว้น 0 สำหรับภาษาที่ไม่มีดาวซึ่งเป็นกรณีที่สามารถตัดสินใจได้) นั้นถูกต้อง

ปัญหาจากทฤษฎีออโตมาตา

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

ความคิดเห็น:ฉันเดิมได้ยินปัญหานี้จากคำตอบ stackexchange โดย Jeffrey Shallit หากคุณทราบถึงการอ้างอิงใด ๆ โปรดแจ้งให้เราทราบ ขอขอบคุณ!

กระทู้ที่เกี่ยวข้อง:

(1) มีปัญหาแบบเปิดที่เหลืออยู่เกี่ยวกับ DFAs หรือไม่

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

งานที่เกี่ยวข้อง: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"องค์ประกอบขั้นต่ำสำหรับหมายเลขเฉพาะ" โดย C. Bright, R. Devillers และ J. Shallit

แผนที่ซ้ำในช่วงเวลา (คำอธิบายจากที่นี่ ):

(เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เสนอโดย Magnus Find)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

อ้างอิง: Asarin 2011

ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติ / มุมในการศึกษาคำถามนี้ที่ใช้ในอย่างน้อย 3 เอกสารดังนี้

$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

ผลลัพธ์สามารถแสดงบนกริดเช่นเดียวกับการอ้างอิงต่อไปนี้ ในภาคกลางนั้นเป็นที่ทราบกันดีว่าบางเครื่อง (ไม่ได้รับการแก้ไข) มีความสามารถในการจำลองการคาดคะเน Collatz สำหรับอินพุตบางส่วน

ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่า"จุดเปลี่ยน"เหมือนปรากฏการณ์ที่ดำเนินการที่นี่ แต่ไม่ได้อยู่ในภูมิภาคที่คำนวณได้ แต่ในความรู้สึกผิดปกติระหว่างการคำนวณและไม่สามารถคำนวณได้

• เครื่องจักรทัวริงขนาดเล็กและการแข่งขันบีเว่อร์ไม่ว่างทั่วไปมิช

• ความซับซ้อนของเครื่องทัวริงสากลขนาดเล็ก: การสำรวจป่า Neary

• ในขอบเขตของการแก้ปัญหาและแก้ไม่ได้ในระบบแท็ก ผลการทดลองเชิงทฤษฎีและการทดลองเดอโมล

$2^8$

นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างของ "พลาดใกล้" หรือ "คำถามเปิดที่ค่อนข้างมีมติเมื่อเร็ว ๆ นี้ TM สมบูรณ์" ที่เครื่องวุลแฟรม 2,3 พิสูจน์สากลในปี 2007 สำหรับรางวัล การประกวดได้รับการประกาศในเดือนพฤษภาคมปี 2007 และการประกวดประกาศผู้ชนะสมิ ธ ในตุลาคม 2007

มีวิธีที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติในการทำแผนที่ปัญหาที่เปิดกว้างที่สุดสำหรับคำถามที่ว่า ปัญหาที่เปิดอยู่ส่วนใหญ่มักไม่ทราบว่าพิสูจน์ได้หรือไม่สามารถพิสูจน์ได้

บนเว็บมีความสับสนอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของปัญหาP vs NPซึ่งไม่ได้เป็นปัญหาการตัดสินใจอย่างเคร่งครัดดังนั้นการพูดคุยเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของมันไม่ถูกต้องในทางเทคนิค แต่ในทางกลับกันดูเหมือนว่าจะมีการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิด / เป็นธรรมชาติระหว่างความไม่แน่นอนและการพิสูจน์ได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่นพิจารณา

$L$$x$$O(n^x)$

ภาษานี้ตัดสินได้หรือไม่ นั่นเป็นคำถามเกี่ยวกับภาษาที่มีความสามารถในการตัดสินใจที่เปิดกว้างซึ่งโดยทั่วไปจะเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหา P vs NP และความสามารถในการพิสูจน์ (un?)

สำหรับ P vs NP ว่า "ง่ายต่อการอธิบาย" มันต้องใช้แนวคิดของTMs , สัญกรณ์รันไทม์บิ๊กโอ , nondeterminismซึ่งค่อนข้างง่าย (บางแนวคิดพื้นฐานที่สุดของ TCS) และสอนในระดับปริญญาตรีหรือที่มีพรสวรรค์ นักเรียนมัธยมปลายสามารถเข้าใจได้

ในความเป็นจริง NP vs P / Poly ยังเปิดอยู่และสามารถแมปเข้ากับคำถามแบบเปิดเกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจในลักษณะเดียวกันและอาจกล่าวได้ว่าเป็นปัญหาที่ค่อนข้างง่ายเกี่ยวกับการเติบโตของวงจรน้อย (โมโนโทน) เพื่อรับรู้ NP สมบูรณ์ ปัญหา (เช่นกลุ่มคน)