ความสมบูรณ์ของต้นไม้ทอด

ต้นไม้ที่ทอดของกราฟเรียกว่าต้นไม้สมบูรณ์หากชุดใบของมันทำให้เกิดกราฟย่อยสมบูรณ์ในกราฟโฮสต์ จากกราฟ และเลขจำนวนเต็มkความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าGมีต้นไม้สมบูรณ์ที่มีkมากที่สุดคือเท่าไหร่?$G$$k$$G$$k$

เหตุผลในการถามคำถามนี้คือปัญหาที่สอดคล้องกันสำหรับ ต้นไม้อิสระ คือปัญหา NP-complete ที่นี่ต้นไม้อิสระเป็นต้นไม้ทอดซึ่งชุดของใบของมันเป็นชุดอิสระในกราฟโฮสต์

อีกเหตุผลคือคำถามนี้ (และคำตอบที่เกี่ยวข้อง) ปรากฎว่าต้นไม้ Spanning ทุกต้นของเป็นต้นไม้สมบูรณ์ถ้าหากGเป็นกราฟสมบูรณ์หรือรอบ $G$$G$

ในกราฟที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมต้นไม้สมบูรณ์จะต้องเป็นวงจร Hamiltonian (ลบหนึ่งในขอบ) ISGCIกล่าวว่าวัฏจักรของแฮมิลตันนั้นสมบูรณ์แบบด้วย NP ในกราฟที่ไม่มีสามเหลี่ยม ดังนั้นการค้นหาต้นไม้ที่สมบูรณ์ (โดยไม่คำนึงถึงข้อ จำกัด ใด ๆ เกี่ยวกับจำนวนสูงสุดของใบไม้)

ฉันไม่สามารถเอาชนะดาวิดได้อย่างสง่างามในคำตอบของเขา แต่หลังจากใช้เวลาคิดมากเกี่ยวกับปัญหานี้ฉันอยากจะทรยศต่อคำตอบของฉันให้คุณ;)

$k \ge 2$$G$$H$$G_1$$G_2$$Q$$k$$x, x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$y$$v_1 \in G_1$$v_2 \in G_2$$H$$G_1, G_2, Q$$y$$x$$v_1$$x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$v_2$$v_1$$G_1$$v_2$$G_2$$y$

$G$$H$$k$