เราสามารถคำนวณจากจำนวนบิตในเวลาหรือไม่?

ฉันกำลังค้นหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา:

การป้อนข้อมูล : จำนวนเต็มบวก (เก็บไว้เป็นบิต) สำหรับจำนวนเต็มบาง0 $3^n$ $n \geq 0$

เอาท์พุท : จำนวนn $n$

คำถาม : เราสามารถคำนวณจากบิตในเวลาหรือไม่? $n$ $3^n$ $O(n)$

นี่เป็นคำถามเชิงทฤษฎีที่กระตุ้นโดยคำตอบของฉันสำหรับคำถามทางคณิตศาสตร์ SE จะค้นหาสูตรสำหรับ bijection นี้ได้อย่างไร . ในคำถามนี้ผู้เขียนต้องการหา bijection จากและตัวเลขธรรมชาติ\} ฉันเสนอเป็นวิธีแก้ปัญหา มีคำตอบอีกข้อหนึ่งที่ยืนยันว่า "ไม่มีสูตรง่าย ๆ " ซึ่งทำให้ฉันสงสัยว่าวิธีแก้ปัญหาที่ฉันเสนอนั้นง่ายแค่ไหน

{2^{n} 3^{m} : n \geq 0 and m \geq 0}

$\{2^n 3^m: n \geq 0 \text{ and } m \geq 0\}$

N = {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$

2^{m} 3^{n} \mapsto 2^{m} (2 n + 1)

$2^m 3^n \mapsto 2^m(2n+1)$

ด้วยวิธีแก้ปัญหาที่เสนอของฉันถ้าเรารู้ว่าและเราสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย (เขียนเลขฐานสองของตามด้วยตามด้วย zeroes) นี้จะใช้เวลาเวลา $n$ $m$ $2^m(2n+1)$ $n$ $1$ $m$ $O(n+m)$

การค้นหาจากบิตจำนวนเพื่อค้นหาบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด (ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยการนับการเลื่อนบิตขวา, ทิ้งไว้ในหน่วยความจำ) นี้จะใช้เวลาเวลา $m$ $2^m 3^n$ $3^n$ $O(m)$

อย่างไรก็ตามเราต้องหาซึ่งอาจจะยากขึ้น มันจะเป็นไปได้ที่จะหาโดยหารด้วยซ้ำ ๆแต่มันดูสิ้นเปลือง ต้องใช้การดำเนินการหารซึ่งแต่ละรายการจะใช้เวลาดังนั้นนี่คือเวลาทั้งหมด[ที่จริงแล้วหลังจากแต่ละรอบซ้ำจำนวนหลักจะลดลงเป็นเส้นตรง แต่สิ่งนี้ยังคงส่งผลให้เวลา ] $n$ $n$ $3$ $n$ $O(n)$ $O(n^2)$ $O(n^2)$

ดูเหมือนว่าเราควรจะสามารถใช้ประโยชน์จากการรู้เข้าเป็นอำนาจของ3 $3$

ds.algorithms time-complexity

— รีเบคก้าเจสโตน
แหล่งที่มา

รูปแบบการคำนวณที่แน่นอนของคุณคืออะไร? การดำเนินงานสิ่งที่ได้รับอนุญาตในเวลาหรือไม่ (ถ้าเราสามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลขเช่นมันจะมีประโยชน์มาก ... )

O (1)

$O(1)$

\log_{2} 3

$\log_2 3$

— Yuval Filmus

downvoter สามารถอธิบาย downvote ได้หรือไม่? ดูเหมือนจะเป็นคำถามที่ไม่สำคัญเลย เวลาทำงานที่ดีที่สุดภายใต้รูปแบบการคำนวณที่เหมาะสมคืออะไร

— Yuval Filmus

ฉันจินตนาการถึงเทปที่มี 0, 1 และเซลล์ว่างเปล่า (ที่มีจำนวนไม่ จำกัด จำนวนเทป) ฉันต้องการสลับบิตเดียวและซ้าย / ขวาขยับการดำเนินงานที่จะทำงานในเวลา (ถ้าเรามีเครื่องหมายที่ 0 บิตบนเทปไม่มีที่สิ้นสุดแล้วการเลื่อนซ้าย / ขวาจะทำได้โดยการเลื่อนเครื่องหมาย) ต่างจากเครื่องทัวริงฉันไม่อยากให้มันขยับตัวชี้ ดังนั้น "สลับบิตที่ 0" จึงใช้เวลาเหมือนกับ "สลับบิตที่ 124126"

O (1)

$O(1)$

— Rebecca J. Stones

อาจเกี่ยวข้องกับคำถาม

— J.

ขอบเขตล่างของชัดเจนหรือไม่?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Boris Bukh

คำตอบ:

วิธีการที่ชัดเจนคือ:

(1) การคำนวณการประมาณที่จะn) คุณสามารถประมาณได้ภายในข้อผิดพลาดเพิ่มเติมของ 1 โดยการนับจำนวนบิตในการแสดงไบนารีที่กำหนดและภายในข้อผิดพลาดเพิ่มเติมของโดยดูที่ด้านบนบิตของอินพุต มันควรจะเพียงพอที่จะเลือกค่าคงที่ของดังนั้น (หลังจากรวมกับข้อผิดพลาดในขั้นตอน (2)) ผลลัพธ์สุดท้ายจะสิ้นสุดลงภายในข้อผิดพลาดเพิ่มเติมของถูกต้อง $\log_2(3^n)$ $\epsilon$ $O(\log\frac{1}{\epsilon})$ $\epsilon$ $1/2$

(2) การคำนวณการประมาณที่จะ(3) ฉันไม่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมสำหรับเรื่องนี้ แต่ฉันคาดว่าพวกมันใช้เวลาพหุนามในจำนวนบิตความแม่นยำที่คุณต้องการและคุณต้องการเพียงบิตความแม่นยำ $\log_2(3)$ $O(\log n)$

(3) แบ่งคำตอบเป็น (1) โดยคำตอบไปที่ (2) และปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

ดังนั้นขั้นตอนแรกต้องใช้เวลาเชิงเส้น (ในแบบจำลองส่วนใหญ่ของการคำนวณแม้ว่าอาจจะไม่ใช่สำหรับบางคนที่มีกำลังต่ำเช่นเครื่องทัวริงหัวเดียว ) และขั้นตอนที่เหลือควรเป็นโพลี

— David Eppstein
แหล่งที่มา

ผมเชื่อว่าการคำนวณเพื่อบิตของความแม่นยำต้องใช้เวลาที่เป็นเวลาที่จะคูณตัวเลข -bit ดูเบรนต์ - Zimmermann, loria.fr/~zimmerma/mca/pub226.html

\log_{2} (3)

$\log_2(3)$

t

$t$

O (M (t) \log t)

$O(M(t) \log t)$

M (t) \leq O (t \log t 2^{\log^{*} t})

$M(t) \leq O(t \log t 2^{\log^* t})$

t

$t$

— Ryan O'Donnell

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิงและขอโทษที่ขี้เกียจเกินไปที่จะค้นหาด้วยตัวเอง

— David Eppstein

สำหรับจำนวนเต็มการเขียนในไบนารีต้องใช้บิตอย่างแน่นอน พีชคณิตระดับต้นบางอันแสดงถึง สำหรับความยาวบิตใด ๆมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนเต็มในช่วงนี้ ดังนั้นเมื่อได้รับการรวมพลังของนั่นคือบิตยาวเลขชี้กำลังต้องเป็นจำนวนเต็ม $n>0$ $3^n$ $L = \lceil \log_2(3^n)+1\rceil$

\frac{L - 2}{\log_{2} 3} \leq n \leq \frac{L - 1}{\log_{2} 3} .

$\frac{L-2}{\log_2 3} \le n \le \frac{L-1}{\log_2 3}.$

L \geq 1

$L\ge 1$

3

$3$

L

$L$

n = ⌊ \frac{L - 1}{\log_{2} 3} ⌋ .

$n = \left\lfloor\frac{L-1}{\log_2 3}\right\rfloor.$

— Jeffε
แหล่งที่มา

นี่คือวิธีการอื่น ที่ได้รับต่ำหลักคุณสามารถเรียนรู้และทำให้ k ดูเหมือนว่าเป็นตัวกำเนิดโมดูโล (เช่นมีคำสั่ง ) $k$ $3^n$ $3^n \bmod 10^k$ $3^n \bmod 5^k$ $3$ $5^k$ $3$ $\varphi(5^k)=5^{k-1} \times 4$

ดังนั้นโดยใช้บันทึกแยกและการยก Hensel ฉันคิดว่าคุณควรคำนวณจากตัวเลขต่ำที่อย่างมีประสิทธิภาพมาก กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณเริ่มต้นด้วยการคำนวณจากตัวเลขต่ำที่โดยบันทึกล็อกแยกจากไปยังฐาน , โมดูโล ; นี้แสดงให้เห็นและสามารถทำได้ในเวลา จากนั้นคุณจะพบบันทึกที่ไม่ต่อเนื่องของถึงฐาน , โมดูโล ; สิ่งนี้เผยให้เห็นและสามารถทำได้ $n \bmod \varphi(5^k)$ $k$ $3^n$ $n \bmod 4$ $3^n$ $3^n \bmod 5$ $3$ $5$ $n \bmod 4$ $O(1)$ $3^n \bmod 25$ $e$ $25$ $n \bmod 20$ $O(1)$ เวลา (ใช้ประโยชน์จากความรู้ของมีเพียงคุณต้องลอง) ย้ำ. ในแต่ละขั้นตอนคุณใช้ความรู้ของเพื่อช่วยให้คุณคำนวณล็อกแบบแยกกันอย่างมีประสิทธิภาพทำให้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ามีเพียงค่าเป็นไปได้สำหรับk) $n \bmod 4$ $5$ $n \bmod \varphi(5^{k-1})$ $3^n \bmod 5^k$ $5$ $n \bmod \varphi(5^k)$

ตอนนี้เพียงแค่ปล่อยให้จะเพียงพอขนาดใหญ่และนี้เผยให้เห็นn $k$ $n$

คุณจะต้องคิดออกว่าเวลาทำงานเป็นแต่มันดูเหมือนว่าฉันอาจจะเป็น ฉันสงสัยว่ามันพอที่จะให้และฉันสงสัยว่าคุณสามารถทำซ้ำในแต่ละเวลารวมเป็นเวลา $O(n)$ $k=O(n)$ $O(1)$ $O(n)$

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา