การคำนวณความยาวอินพุตบนเครื่องทัวริงหนึ่งเทป

ในการเชื่อมต่อกับคำถามนี้มันเกิดขึ้นกับฉันสงสัย: อะไรคือความซับซ้อนของเวลาสำหรับเครื่องทัวริงหัวเทปเดี่ยวเทปเดียวในการคำนวณความยาวของอินพุตของมัน? หากต้องการระบุเฉพาะสมมุติว่าตัวอักษรของเทปคืออินพุตนั้นเป็นสตริงในล้อมรอบด้วยช่องว่างเครื่องจะเริ่มที่สัญลักษณ์อินพุตซ้ายสุดและจะต้อง สิ้นสุดที่สัญลักษณ์ซ้ายสุดของสตริงใน (ล้อมรอบด้วยช่องว่างอีกครั้ง) ที่ให้การแสดงไบนารีของความยาวอินพุต สิ่งนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นปัญหาของการแปลงตัวเลขจากเอกภาพเป็นไบนารี่$\{0,1,b\}$$(0+1)^*$$(0+1)^*$

มันง่ายที่จะแก้ปัญหานี้ในเครื่องสองเทปหรือเครื่องสองหัวในเวลาเชิงเส้น (เพียงสแกนอินพุตด้วยหัวเดียวในขณะที่ใช้หัวอีกหัวเพื่อเพิ่มเคาน์เตอร์ซ้ำ ๆ การเพิ่มขึ้นเป็นการดำเนินการเวลาที่คงที่) แต่วิธีแก้ปัญหาหัวเดียวที่ฉันสามารถหาได้มีเพียง (เช่นเพิ่มตัวนับซ้ำ ๆ จากนั้นเลื่อนไปทีละตำแหน่งตามเทป) มีขอบเขตล่างที่ตรงกันหรือไม่$O(n\log n)$

ฉันพยายามค้นหาบางอย่าง แต่วลีเช่น "หนึ่งหัว" และ "ความยาวอินพุต" เป็นเรื่องธรรมดามากที่จะทำให้ยากต่อการค้นหาวรรณกรรมสำหรับผลลัพธ์ที่ทราบเกี่ยวกับปัญหานี้

มันไม่สามารถคำนวณได้ในเวลาLG)$o(n\lg n)$

ให้เป็นเครื่องที่ให้อินพุตสตริง หยุดด้วยขนาดของ เขียนด้วยเลขฐานสองบนเทป$M$$x$$x$

เราสามารถเพิ่ม DFA แบบง่าย (zero-space linear-time) ไปที่ เพื่อตรวจสอบว่าขนาดของอินพุตเป็นกำลังสองหรือไม่: ตรวจสอบว่าบิตแรกคือ 1 และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์$M$

สมมติว่าวิ่งเวลาLG) จากนั้นเราสามารถตัดสินใจในเวลาว่าขนาดของอินพุตเป็นกำลังสอง ในคำอื่น ๆ ภาษาต่อไปนี้เป็น decidable ในLG) มันตามมาจาก ที่ควรเป็นปกติ แต่มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าภาษาไม่ปกติ ดังนั้นไม่สามารถทำงานได้ในเวลาLG)$M$$o(n \lg n)$$o(n \lg n)$$\mathsf{DTime}(n \lg n)$