ความยากในการทำความเข้าใจอัลกอริทึมควอนตัมสำหรับปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่

ฉันลำบากในการทำความเข้าใจขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม AHSP ให้เป็นคริสต์กลุ่มและเป็นฟังก์ชันที่ซ่อนกลุ่มย่อยHให้เป็นตัวแทนของกลุ่มที่สองของGf H G ∗$G$$f$$H$$G^*$$G$

นี่คือขั้นตอนของอัลกอริทึม

1. ก่อนอื่นเตรียมรัฐ

   $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$⟩

2. จากนั้นใช้พยากรณ์ควอนตัมที่ประเมิน$f$กับ$I$เราได้

   $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ ⟩

3. ทีนี้วัด qubit ที่สองของ$I'$เราได้

   $\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

   สำหรับบาง$r \in G$ G

4. ตอนนี้เราใช้การแปลงฟูริเยร์ควอนตัมกับ qubit แรกเราได้

   ,$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

   ที่ }$H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

ตอนนี้จากรัฐวิธีการที่เราจะได้รับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มH ?$I_m$$H$

การโพสต์การประมวลผลแบบคลาสสิกนี้ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติทางทฤษฎีที่ไม่สำคัญหลายกลุ่มของกลุ่ม Abelian ฉันเขียนคำอธิบายเกี่ยวกับการสอนเกี่ยวกับวิธีที่คลาสสิกอัลกอริทึมทำงานที่นี่ [1] ; แหล่งข้อมูลที่ดีอื่น ๆ ที่ควรอ่านคือ [ 2 , 3 , 4 ]

ดังนั้นการวัดที่ส่วนท้ายของอัลกอริทึมในแบบมาตรฐานจะให้องค์ประกอบของอย่างสม่ำเสมอ ไม่ยากที่จะตรวจสอบว่าเซตH ∗เป็นกลุ่มย่อย (จำกัด Abelian) ของกลุ่มอักขระG ∗ ; เนื่องจากหลังจากการวัดO ( log | G | )รอบการสร้างชุดการสร้างH ∗จะได้รับโดยมีความน่าจะเป็นใกล้เคียงอย่างมาก$H^{*}$$H^{*}$$G^{*}$$O(\log{|G|})$$H^{*}$

ส่วนทางด้านเทคนิคมากที่สุดคือวิธีการสร้างรับสร้างชุดของH * ให้เรามุ่งเน้นที่ปัญหานี้นับจากนี้ สำหรับสิ่งนี้เราจะต้องมีพื้นฐานจากทฤษฎีตัวละคร$H$$H^{*}$

---

ทฤษฎีตัวละคร

ก่อนอื่นจำไว้ว่าเมื่อจำกัด Abelian ตัวละครจะรวมตัวกันเป็นกลุ่ม isomorphic ถึงGและพวกมันสามารถเขียนเป็น χ g ( h ) = exp ( 2 π i m ∑ i = 1 g ( i ) h ( i ) h ( i) $G$$G$ ป้ายกรัมของตัวละครχกรัมเป็นองค์ประกอบของG แผนที่g→χgกำหนด isomorphism ระหว่างG∗และGเพื่อให้เราสามารถระบุทั้งสองกลุ่ม

$$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$$ $g$$\chi_g$$G$$g\rightarrow \chi_g$$G^*$$G$

ตอนนี้ได้รับชุดH *คุณอธิบายเป็น Calle กลุ่มย่อยมุมฉากของHหรือขึ้นอยู่กับแหล่งที่สังหารของ H กลุ่มย่อยนี้มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ:$H$$H^*$$H$$H$

1. ก่อนอื่นเป็นกลุ่มย่อยของG ;$H^*$$G$

2. มันเป็นคู่ที่จะในแง่ที่ว่าถ้าเราพิจารณาคู่สังหารกลุ่มย่อยH * * * * * * * *กลุ่มย่อยนี้คือ isomorphic เพื่อ H : เช่นH ≅ H * * * * * * * * สิ่งนี้รับประกันได้ว่าคำตอบของระบบสมการχ g ( h ) = 1 $H$$H^{**}$$H$$H\cong H^{**}$ ได้อย่างแม่นยำองค์ประกอบของกลุ่มย่อยที่ Hที่คุณต้องการ

   $$\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$$ $H$

---

สมการเชิงเส้นมากกว่ากลุ่ม

ตอนนี้สังเกตที่สำคัญที่เราสามารถใช้เป็นดังต่อไปนี้ (ฉันจะทำตาม [1]สำหรับส่วนนี้): อดีตระบบสมการสามารถนำมาเขียนใหม่เป็น '' ระบบสมการเชิงเส้นมากกว่ากลุ่ม abelian แน่นอน '' จากนั้นฉันหมายถึงปัญหาที่อินพุตจะ จำกัด Abelian group , Y ; องค์ประกอบb ∈ Y ; กลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึมα : X → Yและภารกิจคือการหาคำตอบของสมการα ( x ) = bคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์$X$$Y$$b\in Y$$\alpha:X\rightarrow Y$

$$\alpha(x)=b$$ $A$ในทางดังกล่าวว่าปัญหาดังกล่าวสามารถใหม่แสดงเป็น x = ( 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ⋯ n ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) ⋯ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 1 ( ม. ) 2 ( ม. ) ⋯ n ( เมตร) ที่เราสมมติY=Zd 1 ×⋯×Zdเมตร $$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$$ $Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

$x_0+\ker{\alpha}$$x_0$$\ker{\alpha}$$\alpha$$X$$\ker{\alpha}$ เพื่อเขียนระบบในรูปแบบเส้นทแยงมุมเกือบ (ขั้นตอนกลางอื่น ๆ ที่จำเป็น แต่ที่ควรให้ภาพที่ใช้งานง่าย)

$H$$\Omega x = 0$$\Omega$$\Omega$

$I_m$$\chi \in G^*$

$n$$n$$G$$K$$G^*$

$H$$H^*$$K$

$n$