จำนวนรอบในกราฟ

วิธีการหลายรอบจะมีในกราฟจุดสุดยอดดังกล่าวว่ากราฟไม่ได้มีวงจรใด ๆk) $C_k$ $(k \geq 3)$ $n$ $C_m$ $(m>k)$

ตัวอย่างเช่น ,จากนั้นกราฟจะมีอย่างน้อยสองดังนั้นจะไม่มี $n=5$ $k=3$ $C_3$ $G$ $C_k (k > 3).$

ฉันคิดว่ามีรอบจะมีความพึงพอใจเหนือเงื่อนไข $O(n)$

บางคนสามารถช่วยฉันออก

graph-theory graph-algorithms

คุณกำลังพูดถึงวัฏจักรที่เกิดจากจุดสุดยอดหรือไม่? ไม่ปะติดปะต่อรอบ?

— Igor Shinkar

คำตอบอาจจะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของmkยกตัวอย่างเช่นพิจารณาการระเบิด 5 รอบอย่างสมดุล กราฟนี้ไม่มี 6 รอบ แต่มันมี 5 รอบ

m - k

$m-k$

Θ (n^{5})

$\Theta(n^5)$

— Igor Shinkar

@IgorShinkar ฉันอ่านคำถามว่า "จำนวนสูงสุดของ -____ ในกราฟ -vertex ที่ไม่มี -cycle สำหรับคืออะไร" ดังนั้นไม่ใช่พารามิเตอร์ แต่เป็นปริมาณที่เป็นสากล

k

$k$

n

$n$

m

$m$

m > k

$m > k$

m

$m$

— Sasho Nikolov

ฉันคิดว่าคุณกำลังพูดถึงรอบเหนี่ยวนำ (หลุม) ถ้าคุณต้องการจำนวนขั้นต่ำมันเป็น 0, กราฟเปล่า หากคุณต้องการจำนวนสูงสุดมันคือ n ^ 3 สำหรับ k = 3 (พิจารณากราฟที่สมบูรณ์)

— Yixin Cao

@YixinCao สำหรับ k = 3 หากคุณพิจารณากราฟที่สมบูรณ์ด้วยจุดยอด 'n' เราจะมีวัฏจักรที่มีความยาวมากกว่า 3 ฉันกำลังมองหาจำนวนรอบสูงสุดของความยาว k ในกราฟโดยที่กราฟไม่ควรมี รอบความยาวใด ๆ ที่มากกว่า k

— Kumar

คำตอบ:

มันไม่ใช่ $O(n)$ เว้นแต่ $k=3$ . สำหรับ $k$ แม้กระทั่งความยาวสูงสุดของรอบในกราฟสองฝ่ายที่สมบูรณ์ $K_{n,k/2}$ คือ $k$ และจำนวนความยาว - $k$ รอบคือ $(\frac{k}{2}-1)! n^{k/2}=\Theta(n^{k/2})$ . ตัวอย่างเช่น $K_{2,n}$ มีจำนวนกำลังสองเป็น 4 รอบ แต่ไม่เกิน 4 รอบ

ในทางตรงกันข้ามสำหรับค่าคงที่ใด ๆ $k$ ในความยาวของวัฏจักรที่ยาวที่สุดจำนวนของสามเหลี่ยมจริง ๆ คือ $O(n)$ . ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์อย่างรวดเร็ว: ในโครงสร้างการค้นหาแรกที่มีความลึกแต่ละขอบเริ่มจากจุดสิ้นสุดด้านล่างสองจุดไปสู่บรรพบุรุษที่มากที่สุด $k-1$ ย้อนกลับไปดังนั้นใบไม้ใด ๆ ของต้นไม้จึงมีระดับมากที่สุด $k-1$ และเป็นที่มากที่สุดรูปสามเหลี่ยม ตอนนี้เอาใบไม้และการเหนี่ยวนำ $\binom{k-1}{2}$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

ใช่คุณพูดถูก :)

— virgi

ฉันเขียนโปรแกรม clingo สั้น ๆ เพื่อตรวจสอบค่าเล็ก ๆ (มันสามารถจัดการกราฟได้ถึง 7 จุดยอดนอกจากนั้นการต่อสายดินอาจใช้เวลาสักครู่):

ฉันได้รับตารางนี้

                            n (vertices)
                         3   4   5   6   7

                      3  1   1   2   2   3

                      4      3   3   6  10

k (cycle length)      5         12  12  12

                      6             60  60

                      7                360

นี่คือโปรแกรม:

num(1..n).
is_sym_order(empty,0).
ncontains(empty,K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,empty),1) :- num(K).
last(cons(K,empty), K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,S),M+1) :- is_sym_order(S,M), ncontains(S,K), last(S,L), K > L.
ncontains(cons(K,S), J) :- J != K, ncontains(S,J), is_sym_order(cons(K,S),_).
last(cons(K,S), L) :- last(S,L), is_sym_order(cons(K,S),_).
sec_last(cons(A,S),A) :- is_sym_order(cons(A,S),2).
sec_last(cons(K,S), SL) :- sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(K,S),_).
is_sub_order(cons(A,S), M) :- A > SL, sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(A,S), M).

vertex(1..n).
{is_edge(V,W)} :- vertex(V), vertex(W), V < W.
sym_edge(V,W;W,V) :- is_edge(V,W).

is_path(cons(V,empty)) :- vertex(V).

is_path(cons(A,cons(B,S))) :- is_path(cons(B,S)), sym_edge(A,B), is_sym_order(cons(A,cons(B,S)),_).
is_cycle(cons(A,S)) :- is_path(cons(A,S)), is_edge(V,A), last(S,V), is_sub_order(cons(A,S),M), M >= k.

:- is_cycle(S), is_sub_order(S,M), M > k.
prim_cycle(S) :- is_cycle(S), is_sub_order(S,k).
:~ not is_cycle(S), is_sub_order(S,k).[1,S]

num_cycs(C) :- C = #count{is_cycle(S):is_cycle(S)}.
#show is_edge/2.
#show num_cycs/1.
#show prim_cycle/1.

— dspyz
แหล่งที่มา