ตัวอย่างของคณิตศาสตร์“ ไม่เกี่ยวข้อง” มีบทบาทพื้นฐานใน TCS หรือไม่?

โปรดเขียนรายการตัวอย่างที่ใช้ทฤษฎีบทจากคณิตศาสตร์ซึ่งไม่ได้พิจารณาว่าจะใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เป็นครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ตัวอย่างที่ดีที่สุดคือสิ่งที่การเชื่อมต่อไม่ชัดเจน แต่เมื่อมีการค้นพบมันชัดเจนว่าเป็น "วิธีที่ถูกต้อง" ที่จะทำ

นี่คือทิศทางที่ตรงข้ามของคำถามการประยุกต์ใช้ TCS กับคณิตศาสตร์คลาสสิก?

ตัวอย่างเช่นดู"ทฤษฎีบทของกรีนและการแยกในกราฟระนาบ"ซึ่งทฤษฎีการแยก (ซึ่งรู้จักกันแล้วโดยใช้หลักฐานทางเทคนิค) ได้รับการพิสูจน์อีกครั้งโดยใช้ทฤษฎีบทของกรีนจากแคลคูลัสหลายตัวแปร

มีตัวอย่างอะไรอีกบ้าง?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit และ Fotios Zaharoglou ได้รับรางวัล Godel ในปี 2004สำหรับการใช้ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตในการศึกษาปัญหาบางอย่างในการคำนวณแบบกระจาย

ฉันมีตัวอย่างจากงานที่ฉันร่วมเขียนกับ Noga Alon และ Muli Safra ไม่กี่ปีที่ผ่านมา:

Noga ใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่เกี่ยวกับพีชคณิตเชิงทอพอโลยีเพื่อพิสูจน์ "ทฤษฎีการแยกสร้อย": ถ้าคุณมีสร้อยคอที่มีลูกปัดประเภท t และคุณต้องการแบ่งส่วนของมันระหว่างคน b ดังนั้นแต่ละคนจึงได้จำนวนเม็ดเดียวกันจากแต่ละประเภท ( สมมติว่า b แบ่ง t) คุณสามารถทำเช่นนั้นได้โดยตัดสร้อยในที่ (b-1) t ที่สุด

เราใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อสร้างวัตถุ combinatorial ที่เราใช้ในการพิสูจน์ความแข็งของการประมาณเซตปก

ข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่างอยู่ที่นี่: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

ในการหวนกลับมาสิ่งนี้อาจเห็นได้ชัด แต่ฉันชอบของ Steele, Yao และ Ben-Or ในการประยุกต์ใช้ทฤษฎี Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom (ขอบเขตจำนวน Betti ของเซตกึ่งพีชคณิตจริง) ที่ต่ำกว่า ขอบเขตในแผนภูมิการตัดสินใจเกี่ยวกับพีชคณิตและแบบจำลองการคำนวณพีชคณิตของการคำนวณ

หนึ่งในผลที่ชื่นชอบคือการใช้งานของข้อโต้แย้งทอพอโลยีในหลักฐาน Lovasz ของการคาดเดา Kneserและการใช้งานของทอพอโลยี (คนและกลุ่มตามทฤษฎี ) วิธีการในการโจมตีคาห์น-Saks-Sturtevantบนที่แข็งแกร่งคาดเดา Aandera-Rosenberg-Karp ใน evasiveness .

ทฤษฎีการแสดงของกลุ่มแน่นอนจะใช้ในวิธี Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans การคูณเมทริกซ์ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าหากครอบครัวของผลิตภัณฑ์พวงมาลาของชาวคริสต์ที่มีกลุ่มสมมาตรเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการก็จะมีอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ของความซับซ้อนกำลังสอง

ทฤษฎีการเป็นตัวแทน (ของกลุ่มพีชคณิต) ก็แสดงให้เห็นใน Mulmuley และ Sohoni ของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตเพื่อลดขอบเขต ยังไม่ชัดเจนหากนับเป็นแอปพลิเคชันเนื่องจากยังไม่มีการพิสูจน์ความซับซ้อนใหม่ ๆ ด้วยวิธีการนี้ แต่อย่างน้อยก็มีการเชื่อมต่อที่น่าสนใจระหว่างสองพื้นที่ที่บลัชออนในตอนแรกดูไม่เกี่ยวข้องเลย

มีตัวอย่างมากมาย ครั้งแรกที่ผมได้เรียนรู้ทฤษฎีความซับซ้อนผมพบว่ามันน่าแปลกใจว่าทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับรากของพหุนาม (เช่น Schwartz-ZIPPEL-DeMillo-ลิปตันแทรก) มีอะไรจะทำอย่างไรกับคำถามที่ว่าหลักฐานอันโต้ตอบสามารถจำลองพื้นที่พหุนาม ( ) แน่นอนว่าคุณสมบัติของพหุนามเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในงานก่อนหน้านี้แล้วและทุกวันนี้การใช้การคำนวณแบบ "พหุนาม" ได้กลายเป็นมาตรฐานในทฤษฎีความซับซ้อน$IP = PSPACE$

ทฤษฎีการประมาณ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการประมาณฟังก์ชั่นที่อาจจะซับซ้อนหรือผิดธรรมชาติจริง ๆ โดยฟังก์ชั่นง่าย ๆ เช่นพหุนามระดับต่ำ) มีการใช้งานหลายอย่างในวงจรความซับซ้อน, ความซับซ้อนของควอนตัมควอนตัม

ฉันคิดว่าหนึ่งของการใช้งานที่ยอดเยี่ยมของเครื่องมือจากพื้นที่นี้มาจากนี้กระดาษ Beigel, Reingold และ Spielman ที่พวกเขาแสดงให้เห็นว่า PP ระดับความซับซ้อนนี้ปิดให้บริการภายใต้สี่แยกโดยใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นการเข้าสู่ระบบสามารถห้วงต่ำ ฟังก์ชั่นเหตุผล -degree

Nisan และ SzegedyและPaturiแสดงขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการประมาณฟังก์ชันสมมาตรโดยชื่อพหุนามในระดับต่ำ วิธีนี้ใช้บ่อยในการพิสูจน์ความซับซ้อนของควอนตัมที่ต่ำกว่าขอบเขต ดูตัวอย่างการบรรยายของ Scott Aaronson

แนวคิดที่สวยงามอีกประการหนึ่ง: ความคิดของเหยาที่จะใช้หลักการมินิแม็กซ์และพิสูจน์ว่าเกมแบบผสมมีดุลยภาพ

ทฤษฎีบทจุดคงที่มีอยู่ทุกที่ ...

แต่ตัวอย่างที่น่าประหลาดใจเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่โผล่มาจากที่นี่คือผลการเปรียบเทียบที่มีประสิทธิภาพ ที่นี่ให้ลำดับที่กำหนดไว้บางส่วนเหนือชุดองค์ประกอบพิจารณาชุดเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุที่เข้ากันได้กับลำดับบางส่วนที่กำหนด คำถามคือเลือกการเปรียบเทียบที่มีประสิทธิภาพที่สุดที่จะทำต่อไป นั่นคือการเปรียบเทียบที่จะลดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เข้ากันได้กับคำสั่งบางส่วนใหม่ (แน่นอนมีคำสั่งบางส่วนที่เป็นไปได้สองคำขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบเดี่ยวนี้) เป็นที่ทราบกันว่ามีการเปรียบเทียบที่ลดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนโดยปัจจัยคงที่เสมอ (ดังนั้นคุณสามารถเรียงลำดับในO ( บันทึกn ! $n$$O(\log n!)$การเปรียบเทียบ duh) การพิสูจน์ความจริงข้อนี้ผ่านรูปทรงเรขาคณิตของโพลิสไตรีมิติสูง โดยเฉพาะการพิสูจน์ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Brunn-Minkowski การนำเสนอที่ดีของเรื่องนี้อยู่ในหนังสือ Matousek เรื่องการบรรยายเรื่องเรขาคณิตไม่ต่อเนื่อง (ส่วนที่ 12.3) หลักฐานต้นฉบับโดยคาห์นและ Linial จากที่นี่

มีการใช้ข้อมูลทฤษฎีในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีมากมายเช่นในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับรหัสที่ถอดรหัสได้ในท้องถิ่น (ดู Katz และ Trevisan) ในการพิสูจน์ของทฤษฎีบทการทำซ้ำแบบขนานของ Raz ในการสื่อสารที่ซับซ้อน (ดูตัวอย่างเช่นเธรด ของงานเกี่ยวกับการบีบอัดของการสื่อสารเช่นงานล่าสุดของ Barak, Braverman, Chen และ Rao และการอ้างอิงที่นั่น) และงานอื่น ๆ อีกมากมาย

Alon และ Naor ใช้ความไม่เท่าเทียมกัน Grothendieck เพื่อพิสูจน์ขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาการประมาณสูงสุดตัด ฉันคิดว่ามีการทำงานที่ตามมาในหัวข้อนั้น แต่ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ

ที่น่าสนใจคือทฤษฎีบทเดียวกันนี้ถูกใช้โดย Cleve, Hoyer, Toner และ Watrous เพื่อวิเคราะห์เกมควอนตัม XOR และ Linial และ Shraibman ใช้มันสำหรับความซับซ้อนของการสื่อสารควอนตัม ตามความรู้ของฉันความสัมพันธ์ระหว่างความไม่เท่าเทียมกันของ Grothendieck และรากฐานของฟิสิกส์ควอนตัมถูกค้นพบโดย Tsirelson ในปี 85 แต่ผลลัพธ์ทั้งสองที่ฉันพูดถึงเรื่องวิทยาการคอมพิวเตอร์โดยเฉพาะ

ตัวอย่างที่ดีคือทฤษฎีบทของ Barrington:

หากฟังก์ชั่นบูลคือคำนวณจากวงจรของความลึกแล้วคือคำนวณโดยโปรแกรมการแยกทางของความกว้าง 5 และระยะเวลา dd f 4 $f$$d$$f$$4^d$

หลักฐานใช้กลุ่ม (เนื่องจากมีสององค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันและคอมมิวเตเตอร์ของพวกเขา) แต่มันสามารถทำให้เป็นมาตรฐานในการทำงานกับกลุ่มที่ไม่สามารถแก้ไขได้$S_5$

เสียบด้านหน้า: การใช้การคาดคะเน Isotropic (และเรขาคณิตนูนทั่วไป) ในการออกแบบที่ดีที่สุดประมาณกลไกส่วนตัวที่แตกต่างกันสำหรับการค้นหาเชิงเส้นของฉันทำงานกับมอริตซ์ Hardt

ในการตอบคำถามของ Suresh บางส่วนด้านบนฉันคิดว่าคำถามดั้งเดิมเป็นคำถามที่ยุ่งยากเล็กน้อยเพราะ "ไม่ได้รับการพิจารณาให้ใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์" บางส่วนของเทคนิคเหล่านี้ซึ่งอาจดูเหมือน "ไม่เกี่ยวข้อง" แต่เดิมกลายเป็น "ปกติ" เมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้นความสำเร็จของเทคนิคเหล่านี้ (เช่นการวิเคราะห์ฟูริเยร์ในคาห์น - คาไล - ลิเนียล, การแต่งงานแบบตัวชี้วัดในลิเนียล - ลอนดอน - ราบิโนวิช) จึงไม่มีคำตอบที่ถูกต้องอีกต่อไป

มีการใช้ทฤษฎี combinatorics / สารเติมแต่งจำนวนมากในวรรณคดีแยก ฉันคิดว่ากรณีแรกมาจากการสังเกตว่ากราฟ Paley สามารถใช้เป็นเครื่องแยกสารที่ดีและคำถามที่เปิดกว้างในทฤษฎีจำนวนสารเติมแต่งจะบอกเป็นนัยได้ดีกว่า การอ้างอิงที่เร็วที่สุดที่ฉันรู้ก็คือ Zuckerman 1990 (ดูวิทยานิพนธ์ของเขา) แต่ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมานี่เป็นพื้นที่กระตือรือร้นที่มีการกลับไปกลับมาระหว่าง TCS และ combinatorics ที่น่าสนใจเพิ่มเติม (หนึ่งในไฮไลท์ที่เป็นข้อพิสูจน์ของ Dvirเกี่ยวกับการคาดคะเน Kakeya ของขอบเขต จำกัด แต่แน่นอนว่าการมีส่วนร่วมของ TCS ในวิชาคณิตศาสตร์และไม่ใช่วิธีอื่น ๆ ) A-Priori ไม่ชัดเจนว่าทำไมคำถามทางคณิตศาสตร์ประเภทนี้เกี่ยวกับผลรวมและผลิตภัณฑ์ ของชุดจะมีความสำคัญสำหรับ CS

Sleator, Tarjan และ Thurstonพิสูจน์การมีอยู่ของตระกูลต้นไม้ค้นหาแบบคู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มีnจุดยอดและระยะทางในการหมุน2n-6โดยใช้เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก

Combinatorics แบบเสริมใช้เพื่อสร้าง RIP matrix อย่างชัดเจนด้วย :$o(k^2)$

Jean Bourgain, Stephen J. Dilworth, Kevin Ford, Sergei Konyagin, Denka Kutzarova: ทำลายอุปสรรคสำหรับการฝึกอบรม RIP ที่ชัดเจน STOC 2011: 637-644$k^2$

พีชคณิตเชิงเส้นที่ใช้แยกวิเคราะห์กราฟ:

Joshua D. Batson, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava: sparsifiers สองครั้ง STOC 2009: 255-262

สิ่งนี้อาจหรือไม่อาจนับได้ แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้ Zermelo-Fraenkel กับอะตอม (ZFA) และ Fraenkel-Mostowski (FM) ตั้งทฤษฎีได้ถูกนำไปใช้กับการศึกษาไวยากรณ์นามธรรมที่มีชื่อผูกพัน ZFA ถูกนำมาใช้ในต้นศตวรรษที่ 20 เป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ความเป็นอิสระของ CH และจากนั้นก็ลืมไป แต่ได้ค้นพบใหม่ในปลายปี 1990 โดยนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สองคนคือ Gabbay และ Pitts ศึกษาสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกันอย่างสมบูรณ์

ดูเอกสารสำรวจนี้

การประยุกต์ใช้กราฟของ Kahn และ Kim ในการเรียงลำดับภายใต้ข้อมูลบางส่วน (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731) พวกเขาให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามครั้งแรกที่ดำเนินการเปรียบเทียบจำนวนที่เหมาะสมทางทฤษฎี (สูงถึงค่าคงที่) บทความนี้เป็นการศึกษาภาคสนามขนาดเล็กในวิชาคณิตศาสตร์โดยใช้ข้อโต้แย้งเชิง combinatorial แบบคลาสสิกร่วมกับเรขาคณิตนูน, entropy กราฟและการเขียนโปรแกรมนูน มีอัลกอริทึมที่ง่ายกว่าเมื่อเร็ว ๆ นี้ แต่ตอนนี้เรายังคงทราบวิธีการวิเคราะห์โดยไม่ใช้กราฟเอนโทรปี

ทฤษฎีจำนวนถูกใช้เพื่อพัฒนา RSA และแผนการเข้ารหัสลับแบบพับลิกคีย์อื่น ๆ

การค้นพบการคูณ Karatsuba นั้นน่าประหลาดใจ