เหตุผลที่ครอบคลุมถึงสาเหตุที่เป็นปัญหาใน P หรือ BPP

เมื่อเร็ว ๆ นี้เมื่อพูดคุยกับนักฟิสิกส์ฉันอ้างว่าจากประสบการณ์ของฉันเมื่อมีปัญหาที่ดูเหมือนว่าไร้เดียงสามันควรจะใช้เวลาชี้แจงเป็นปรากฎโดยไม่ตั้งใจว่าจะอยู่ใน P หรือ BPP "เหตุผลครอบคลุม" ทำไมโดยทั่วไป --- และเกือบทุกครั้งเหตุผลนั้นเป็นของรายชื่อผู้ต้องสงสัย "ปกติหรือโหล" หรือน้อยกว่า (ตัวอย่างเช่น: การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกพีชคณิตเชิงเส้น ... ) อย่างไรก็ตามนั่นทำให้ฉันคิดว่า: เราสามารถเขียนรายการที่เหมาะสมด้วยเหตุผลดังกล่าวได้หรือไม่? นี่เป็นความพยายามครั้งแรกที่ไม่สมบูรณ์ที่หนึ่ง:

(0) ลักษณะทางคณิตศาสตร์ ปัญหามีลักษณะของ "ทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ" ที่ไม่ชัดเจนซึ่งเป็นที่รู้จักกันในทันทีทำให้คุณสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็วผ่านรายการโพลี (n) ที่เป็นไปได้ ตัวอย่าง: กราฟ planarity ซึ่ง O (n ⁶ ) อัลกอริทึมดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบทของ Kuratowski

(ดังที่ "ระนาบ" ชี้ให้เห็นด้านล่างนี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดี: แม้ว่าคุณจะรู้ลักษณะเชิงระนาบของ combinatorial แล้วให้อัลกอรึทึมเวลาแบบพหุนามยังคงไม่น่าสนใจดังนั้นขอผมลองแทนตัวอย่างที่ดีกว่านี้ พูดว่า "ให้อินพุต n เขียนด้วยเลขฐานสองคำนวณว่าต้องใช้สีกี่สีในการทำแผนที่โดยพลการที่ฝังอยู่บนพื้นผิวที่มีรู n รู" มันไม่ชัดเจนเลยว่านี่จะคำนวณได้ทั้งหมด (หรือแม้แต่ จำกัด !) แต่มีสูตรที่เป็นที่รู้จักซึ่งให้คำตอบและเมื่อคุณทราบสูตรแล้วมันเป็นเรื่องง่ายที่จะคำนวณในเวลาพหุนามขณะเดียวกัน "ลดการแยกผู้เยาว์ / ทฤษฎี Robertson-Seymour" ควรถูกเพิ่มเป็นเหตุผลที่แยกต่างหาก ใน P. )

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่สถานการณ์ที่ฉันสนใจเป็นพิเศษ

(1) การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก ปัญหาสามารถสลายในลักษณะที่เปิดใช้งานโซลูชันแบบเรียกซ้ำโดยไม่เกิดการระเบิดแบบเอกซ์โปเนนเชียล - บ่อยครั้งเนื่องจากข้อ จำกัด ที่ต้องพึงพอใจจัดเรียงตามลำดับหรือแบบง่าย ๆ "combinatorial หมดจด"; ไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างพีชคณิต สามารถเข้าถึงกราฟได้ (และด้วยเหตุนี้ 2SAT) จึงเป็นกรณีพิเศษ

(2) Matroids ปัญหามีโครงสร้าง matroid ทำให้อัลกอริทึมโลภทำงานได้ ตัวอย่าง: การจับคู่ต้นไม้ทอดขั้นต่ำ

(3) พีชคณิตเชิงเส้น ปัญหาสามารถลดลงเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ ฯลฯ ปัญหาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับ "การยกเลิกที่น่าอัศจรรย์" รวมถึงสิ่งที่แก้ไขได้ด้วยวิธีการจับคู่ทางการของ Valiant เช่นกัน

(4) นูน ปัญหาสามารถแสดงเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพของการจัดเรียงนูนบางอย่าง การเขียนโปรแกรม Semidefinite, การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและเกมศูนย์ผลรวมเป็นกรณีพิเศษ (มากขึ้น -) กรณีพิเศษ

(5) การทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม ปัญหาสามารถลดลงได้เพื่อตรวจสอบอัตลักษณ์พหุนามดังนั้นทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตจะนำไปสู่อัลกอริธึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพ - และในบางกรณีเช่นขั้นแรก

(6) Markov Chain Monte Carlo ปัญหาสามารถลดลงเป็นการสุ่มตัวอย่างจากผลลัพธ์ของการเดินที่ผสมกันอย่างรวดเร็ว (ตัวอย่าง: ประมาณการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบโดยประมาณ)

(7) อัลกอริทึมแบบยุคลิด GCD เศษส่วนต่อเนื่อง ...

เบ็ดเตล็ด / ไม่ชัดเจนว่าจะจำแนกได้อย่างไร:การแต่งงานที่มั่นคงการแยกตัวประกอบพหุนามปัญหาการเป็นสมาชิกของกลุ่มการเปลี่ยนแปลงปัญหาอื่น ๆ ในทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีกลุ่มปัญหาขัดแตะมิติต่ำ ...

คำถามของฉันคืออะไรคือสิ่งที่สำคัญที่สุดที่ฉันได้จากไป?

เพื่อชี้แจง:

• ฉันรู้ว่าไม่มีรายการใดที่จะสมบูรณ์ได้ไม่ว่าด้วยเหตุผลใดก็ตามที่คุณ จำกัด จำนวนใครบางคนจะสามารถพบปัญหาแปลกใหม่ที่อยู่ใน P แต่ไม่ใช่ด้วยเหตุผลเหล่านั้น ส่วนหนึ่งด้วยเหตุนี้ฉันจึงสนใจแนวคิดที่ทำให้เกิดปัญหาที่แตกต่างและไม่เกี่ยวข้องใน P หรือ BPP มากกว่าในความคิดที่ใช้งานได้สำหรับปัญหาเดียวเท่านั้น

• ฉันก็ตระหนักว่ามันเป็นเรื่องส่วนตัวว่าจะแบ่งสิ่งต่าง ๆ อย่างไร ตัวอย่างเช่น matroids ควรเป็นกรณีพิเศษของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกหรือไม่? ความสามารถในการละลายได้โดยการค้นหาในเชิงลึกมีความสำคัญพอที่จะเป็นเหตุผลของตัวเองแยกจากการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกหรือไม่? นอกจากนี้บ่อยครั้งที่ปัญหาเดียวกันอาจเป็น P ด้วยเหตุผลหลายประการขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณดู: ตัวอย่างเช่นการหาค่า eigenvalue ที่สำคัญคือ P เนื่องจากพีชคณิตเชิงเส้น แต่เป็นเพราะมันเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดของนูน

ในระยะสั้นฉันไม่หวังสำหรับ "ทฤษฎีการจำแนกประเภท" - สำหรับรายการที่สะท้อนถึงสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในปัจจุบัน และนั่นคือสาเหตุที่สิ่งที่ฉันสนใจมากที่สุดคือเทคนิคในการวางสิ่งต่าง ๆ ใน P หรือ BPP ที่มีการบังคับใช้ในวงกว้าง แต่ไม่เหมาะกับรายการด้านบน - หรือแนวคิดอื่น ๆ สำหรับการปรับปรุงความพยายามครั้งแรกของฉัน นักฟิสิกส์

คลาสกราฟบางอย่างอนุญาตให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหาที่เกิดจาก NP-hard สำหรับคลาสของกราฟทั้งหมด ตัวอย่างเช่นสำหรับกราฟที่สมบูรณ์แบบเราสามารถหาชุดอิสระที่ใหญ่ที่สุดในเวลาพหุนาม (ขอบคุณ vzn ในความคิดเห็นสำหรับการวิ่งออกกำลังความจำของฉัน) ผ่านการสร้างผลิตภัณฑ์สิ่งนี้ยังช่วยให้คำอธิบายแบบรวมสำหรับ CSPs ที่แตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัดหลายอย่างถูกเวิ้งว้าง

อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่ากราฟที่สมบูรณ์แบบนั้น "ง่าย" เพราะอนุญาตให้ใช้สูตรการเขียนโปรแกรม semidefinite ที่ดีของปัญหาที่เป็นปัญหา (และอยู่ภายใต้พีชคณิตเชิงเส้นและ / หรือนูน) อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าจะจับสิ่งที่เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์

• András Z. Salamon และ Peter G. Jeavons ข้อ จำกัด ที่สมบูรณ์แบบนั้นสามารถอยู่ได้ , CP 2008, LNCS 5202, 524–528 ดอย: 10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Meinolf Sellmann, โพลีท็อป ของปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด ไบนารีโครงสร้างต้นไม้ , CPAIOR 2008, LNCS 5015, 367–371 ดอย: 10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

ดังที่ระบุไว้โดย Gil Kalai คุณสมบัติของกราฟที่เป็นรูปแบบของคลาสย่อยปิดสามารถกำหนดได้โดยกลุ่มผู้เยาว์ต้องห้ามที่มีขอบเขต จำกัด (นี่คือทฤษฎีบท Robertson-Seymour ) ผลอีกประการหนึ่งของ Robertson และ Seymour ก็คือการทดสอบการมีอยู่ของผู้เยาว์สามารถทำได้ในเวลาลูกบาศก์ ร่วมกันนำไปสู่อัลกอริทึมเวลาพหุนามในการตัดสินใจคุณสมบัติที่ปิดเล็กน้อย

• Neil Robertson และ PD Seymour, กราฟผู้เยาว์ สิบสาม ปัญหาเส้นทางที่แยกจากกัน , วารสารทฤษฎี Combinatorial, ซีรี่ส์ B 63 (1) 65–110, 1995. ดอย: 10.1006 / jctb.1995.1006

ปัญหาหนึ่งที่มีคุณสมบัติกราฟที่ปิดเล็กน้อยคือปัญหาเหล่านั้นคือ "เล็ก" ไม่รวมแม้แต่หนึ่งรายย่อยไม่รวมกราฟจำนวนมาก นี่อาจเป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้โครงสร้างการย่อยสลายของ Robertson-Seymour: มีกราฟที่เหลืออยู่ไม่กี่พอสำหรับพวกเขาที่จะมีโครงสร้างที่ดี

• Serguei Norine, Paul Seymour, Robin Thomas, และ Paul Wollan, ครอบครัวผู้เยาว์ที่เหมาะสมมีขนาดเล็ก , วารสาร Combinatorial Theory, Series B 96 (5) 754–757, 2006. doi: 10.1016 / j.jctb.2006.01.006 ( พิมพ์ล่วงหน้า )

หนึ่งความพยายามที่จะไปไกลกว่าคลาสปิดเล็กน้อยคือผ่านคลาสที่กำหนดโดย subgraphs ที่ต้องห้ามหรือ subgraphs ที่เกิดจากสิ่งต้องห้าม

คุณสมบัติกราฟที่กำหนดโดยเซต จำกัดของกราฟย่อยต้องห้ามหรือกราฟย่อยเหนี่ยวนำจะถูกตัดสินในเวลาพหุนามโดยการตรวจสอบกราฟย่อยทั้งหมดที่เป็นไปได้

$F$$F$$F$$F$

$F$

$F$$F$$F$$F$

• มาเรีย Chudnovsky และพอลซีมัวร์ไม่รวมเทพยดาsubgraphsสำรวจใน Combinatorics 2550, 99-119 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ไอ 9780521698238 ( พิมพ์ )

$F$$F$$F$

การลดโครงข่ายประกอบ (อัลกอริทึม LLL) นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามจำนวนเต็มที่มีประสิทธิภาพและอัลกอริทึม cryptanalytic ที่มีประสิทธิภาพบางอย่างเช่นการแตกของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเชิงเส้นที่สมส่วนและอาร์เอสระดับต่ำ ในบางแง่มุมคุณสามารถดูอัลกอริทึมแบบยุคลิดเป็นกรณีพิเศษ

การเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มของ Lenstra ในขอบเขตที่ จำกัด อัลกอริทึม Lenstra-Lenstra-Lovasz และอัลกอริทึมที่ตามมาที่เกี่ยวข้อง - อัลกอริทึมของ Barvinok สำหรับจำนวนของการแก้ปัญหาจำนวนเต็มกับปัญหา IP ในมิติที่ จำกัด และ P-algorithm สำหรับ Kannan หมวดหมู่พิเศษ ปัญหาเปิดเด่นที่นี่คือการหาอัลกอริทึม P สำหรับปัญหาการสั่งซื้อที่สูงขึ้นในลำดับชั้นของ Presburger

คลาส P- อัลกอริธึมที่ควรกล่าวถึงอีกอย่างหนึ่งคือ P-algorithm ที่มอบให้กับวัตถุที่พิสูจน์แล้วว่ามีอยู่โดยการพิสูจน์แบบสุ่ม ตัวอย่าง: อัลกอริทึมสำหรับการใช้งานของ Lovasz-Local Lemma; ผลการวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อนของ Spencer เวอร์ชั่น Algorimic (ของรสชาติที่แตกต่างกันเล็กน้อย) เวอร์ชันอัลกอริทึมของ Szemeredi regularity lemma

มีทฤษฎีที่มีขนาดใหญ่และกำลังเติบโตเกี่ยวกับคลาสของปัญหาความพึงพอใจของเทมเพลตคงที่ที่มีอัลกอริธึมแบบพหุนาม งานส่วนใหญ่ต้องใช้ความชำนาญของหนังสือHobby และ MacKenzieแต่โชคดีสำหรับพวกเราที่สนใจวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มากกว่าพีชคณิตสากลตอนนี้บางส่วนของทฤษฎีนี้ได้ง่ายพอที่จะเข้าถึงผู้ชม TCS

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; นี่หมายถึงในทางปฏิบัติว่าคลาสของปัญหามีปัญหาย่อยที่ง่ายกว่าอย่างต่อเนื่องที่พิจารณาโดยตัวแก้ข้อ จำกัด ดังนั้นกระบวนการของการแก้ปัญหาข้อ จำกัด หลีกเลี่ยงการสร้างอินสแตนซ์กลาง "ยาก" ในขณะที่การแก้ปัญหา "ง่าย"

$\Gamma$$\Gamma$

ผลลัพธ์ที่ได้ในปัจจุบันดูเหมือนจะบ่งชี้ว่าควรจะมีการเปลี่ยนแปลงกำลังไฟทั่วไปของพื้นที่รัฐที่เข้าถึงได้ซึ่งสามารถเปลี่ยนปัญหาดังกล่าวให้กลายเป็นปัญหาที่มีค่าอันดับคงที่ในแต่ละความสัมพันธ์เช่นตัวอย่างด้านบน (นี่คือความหมายส่วนตัวของฉันของการวิจัยอย่างต่อเนื่องและอาจจะดีถูกต้องสมบูรณ์ขึ้นอยู่กับวิธีการค้นหาอย่างต่อเนื่องสำหรับอัลกอริทึมสำหรับการจีบกับเงื่อนไขวงกลมออกจากกระทะดังนั้นผมจึงขอสงวนสิทธิที่จะถอนคำพูดนี้.) เป็นที่รู้จักกันว่าเมื่อมีisn 'Tการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวแล้วเป็นปัญหา NP-สมบูรณ์ พรมแดนของการคาดเดาการแบ่งขั้วในขณะนี้เกี่ยวข้องกับการปิดช่องว่างนี้ ดูปัญหาเปิดรายชื่อจากการประชุมเชิงปฏิบัติการ 2011 เมื่อพีชคณิตและ CSPs

ในทั้งสองกรณีนี้อาจสมควรได้รับรายการในรายการของสกอตต์

คลาสที่สองใน PTIME อนุญาตให้ใช้เทคนิคความสอดคล้องแบบโลคัลเพื่อตัดโซลูชันที่เป็นไปได้จนกว่าจะพบโซลูชันหรือไม่สามารถแก้ไขปัญหาได้ นี่เป็นรุ่นที่ซับซ้อนของวิธีที่คนส่วนใหญ่แก้ปัญหาซูโดกุ ฉันไม่คิดว่าเหตุผลนี้มีคุณสมบัติในรายการของสก็อต

$\Gamma$

ในที่สุดก็มีงานที่น่าตื่นเต้นมากมายที่ริเริ่มโดยManuel Bodirskyสำหรับกรณีที่ไม่มีขอบเขต อัลกอริทึมบางตัวดูค่อนข้างแปลกและในที่สุดก็อาจนำไปสู่การเข้าร่วมในรายการของสกอตต์ได้มากขึ้น

ฉันเห็นว่าจันทราพูดพาดพิงถึงมัน แต่ฉันคิดว่าโครงสร้างของการผ่อนคลาย LP (เช่นเนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนรวม) เป็นรูปแบบ "โครงสร้าง" ที่แพร่หลายซึ่งนำไปสู่พหุนาม มันเป็นขั้นตอนเวลาโพลีคลาสใหญ่ หากมีปัญหาเกี่ยวกับสัญญาก็จะมีขั้นตอนวิธีการประมาณขนาดใหญ่เช่นกัน เหตุผลที่พบได้บ่อยที่สุดที่ไม่ได้ติดตามจาก LP และ / หรือ SDPs คือการกำจัดแบบเกาส์เซียนและการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกมีหลักสูตรอื่น ๆ เช่นอัลกอริทึมโฮโลแกรมที่ไม่มีคำอธิบายง่ายๆ