ความซับซ้อนของการคำนวณผู้เยาว์ที่หนาแน่นที่สุด

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้
การป้อนข้อมูล: การไม่มีทิศทางกราฟE) เอาท์พุท: กราฟซึ่งเป็นค่าเล็กน้อยของที่มีความหนาแน่นของขอบที่สูงที่สุดในบรรดาผู้เยาว์ทั้งหมดของคืออัตราส่วนที่สูงที่สุด.H G G | E ( H ) | / | V ( H ) $G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

มีการศึกษาปัญหานี้หรือไม่? มันสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือ NP- ยาก? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราพิจารณาคลาสกราฟที่ถูก จำกัด เช่นคลาสที่มีผู้เยาว์ยกเว้น

ถ้าเราขอ subgraph หนาแน่นมากที่สุดแทนปัญหาแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม หากเราเพิ่มพารามิเตอร์เพิ่มเติมและขอกราฟย่อยที่หนาแน่นที่สุดด้วยจุดยอดปัญหาคือปัญหา NP-complete (นี่เป็นการลดลงอย่างง่ายจาก -clique)k $k$$k$$k$

ตกลงเนื่องจากยังไม่มีอะไรที่นี่ในทางของคำตอบให้ฉันอย่างน้อยทำการสังเกตง่ายๆ:

สำหรับกราฟของความว่องไวที่ล้อมรอบมันน่าจะเป็นไปได้ที่จะหาผู้เยาว์ที่หนาแน่นที่สุด (หรือแม้แต่ผู้เยาว์ที่มีจำนวนของขอบและจุดยอดที่ระบุ) โดยโปรแกรมแบบไดนามิกตามปกติบนการสลายตัวของต้นไม้ที่แต่ละสถานะของโปรแกรมแบบไดนามิก จำนวนขอบและจุดยอดในส่วนของผู้เยาว์ที่อาศัยอยู่ในทรีย่อยของการย่อยสลาย, เซตย่อยของจุดยอดในถุงของการสลายตัวที่มีส่วนร่วมในผู้เยาว์, ความเท่าเทียมกันระหว่างจุดยอดในชุดย่อยนี้เกิดจากการหดตัวเล็กน้อยทั้งหมด กราฟและการปรับแต่งความสัมพันธ์ที่เท่ากันนี้เกิดจากการหดตัวในส่วนของการใช้ชีวิตเล็กน้อยในทรีย่อย

ถ้าเป็นเช่นนั้นมันจะตามมาเมื่อความหนาแน่นต่ำกว่าสามมันเป็นไปได้ที่จะหาผู้เยาว์ที่หนาแน่นที่สุดในเวลาพหุนาม (ด้วยปัจจัยคงที่ สำหรับกราฟที่มีความหนาแน่นน้อยที่สุดมีความหนาแน่นมีระนาบที่ต้องห้ามผู้เยาว์จึง จำกัด การเดินทาง$\le 3-\epsilon$

ฉันพบปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในกระดาษของ Bodaender และ อัล . พวกเขาพิจารณาปัญหาที่เรียกว่า contraction degeneracy เช่นปัญหาในการตัดสินใจสำหรับกราฟและไม่ว่าผู้เยาว์ทั้งหมดของจะเป็น -degenerate ตอนนี้ความหนาแน่นของขอบเหนือกราฟย่อยทั้งหมดของกราฟและความเสื่อมนั้นเป็นแนวคิดที่คล้ายกันมาก (หากกราฟมีกราฟย่อยที่มีค่าเฉลี่ยองศาจากนั้นก็ยังมีกราฟย่อยที่ระดับต่ำสุด ) และฉันคิดว่าหลักฐานของพวกเขา ปัญหาของการค้นหาผู้เยาว์ที่หนาแน่นที่สุดคือ NP-complete เช่นกันk ∈ N G k d d /$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

ในความเป็นจริงฉันมีความสุขมากกับบทความนี้เพราะความเสื่อมเป็นสิ่งที่ดีกว่าในการทำงาน - ตัวเลขธรรมชาติเท่านั้นอาจปรากฏว่าเป็นความเสื่อมในขณะที่ค่าเฉลี่ยระดับเหนือกราฟย่อยอาจเป็นจำนวนตรรกยะ นอกจากนี้กระดาษยังให้การพิสูจน์ที่สั้นมากสำหรับความสามารถในการเคลื่อนย้ายพารามิเตอร์คงที่โดยใช้ทฤษฎีกราฟรองของ Robertson และ Seymour คลาสของกราฟที่มีการหดตัวของการหดตัวที่ส่วนใหญ่จะถูกปิดภายใต้การรับผู้เยาว์และด้วยเหตุนี้จะอธิบายโดยกลุ่มผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้น สำหรับการแก้ไขเราจึงมีขั้นตอนวิธีการสำหรับการทดสอบการบรรจุในชั้นเรียนซึ่งจะเริ่มในเวลา3)k O ( n 3$k$$k$$O(n^3)$