การล่มสลายของ

ที่มีอยู่ในระหว่างแต่ละระดับของลำดับชั้นเรียนพหุนามความซับซ้อนต่าง ๆ รวมทั้ง $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ และ $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ ฉันสำหรับการขาดคำศัพท์ที่ดีกว่าฉันจะอ้างถึงสิ่งเหล่านี้และอื่น ๆ เป็นคลาสกลางระหว่างระดับ $i$ และ $i+1$ ในลำดับชั้นพหุนาม สำหรับวัตถุประสงค์ของคำถามนี้ถือว่าพวกเขาเป็นชั้นเรียนที่มีอยู่ใน $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ แต่มี $\Sigma_i^\text{P}$ และ / หรือ $\Pi_i^\text{P}$ ฉันเราต้องการที่จะหลีกเลี่ยงการรวม $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ ถ้าเป็นไปตามที่มันเป็นนิด ๆ เทียบเท่ากับ $\text{PH}$ ถ้ามันทรุดฮวบลงกับ ${i+1}^{th}$ ระดับ

นอกจากนี้ยังกำหนดต่อไปนี้:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

ด้านบนเป็นลักษณะทั่วไปของคลาส $\text{DP}$ (หรือเขียนเป็น $\text{D}^\text{P}$ ) ในความหมายนี้ $\text{DP}$ เทียบเท่ากับ $\text{DP}_1$ 1ก็ถือว่าเป็นอีกคำถาม cstheory.se มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ และมีทั้ง $\Sigma_i^\text{P}$ และ $\Pi_i^\text{P}$ ฉัน

แผนภาพอ้างอิง:

ไดอะแกรมของ PH

คำถาม:
สมมติว่าลำดับชั้นพหุนามทรุดฮวบลงกับระดับ แต่ไม่ได้ยุบไประดับ นั่นคือและฉัน ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

เราสามารถพูดอะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างชนชั้นกลางเหล่านี้กับคนอื่น ๆ ในระดับใดก็ตามที่ต่ำกว่าหรือไม่? มีสคีมาสำหรับคอลเลกชันของคลาสที่ซับซ้อนหรือไม่สำหรับทุกคอลเลกชันคลาสนั้นจะมีค่าเทียบเท่าหากยุบลงไปถึงระดับที่เลือกไว้อย่างแน่นอนหรือไม่ $i+1$ $\text{PH}$

เช่นเดียวกับการติดตามสมมติว่าลำดับชั้นยุบลงไปหนึ่งในคลาสกลางเหล่านี้ (เช่น ) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับระดับที่เลือกเราทราบว่าการล่มสลายนี้จะต้องดำเนินการต่อเพื่อขยายลงบางทีก็ไประดับ? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

คำถามข้างต้นได้รับการสำรวจบางส่วนและตอบในกระดาษโดย Hemaspaandra และ al:
การล่มสลายลงในลำดับชั้นพหุนาม
มีใครรู้ตัวอย่างเพิ่มเติมที่ไม่ได้กล่าวถึงในบทความนี้หรือมีสัญชาตญาณเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่ต้องเกิดขึ้นเพื่อให้ชั้นเรียนทำสิ่งนี้ให้สำเร็จ

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
แหล่งที่มา

ฉันไม่มีคำตอบที่ดี แต่ด้วยจิตวิญญาณของความซับซ้อนฉันมีคำตอบบางอย่างที่แนะนำว่าคำตอบที่ดีอาจเป็นเรื่องยากที่จะเกิดขึ้น :)

$\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
$\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-I Koให้ออราเคิลในการที่เขาแยกระดับของจากบรรดา{} ในฐานะที่เป็นทั้งสองวรรณะสานอีกคนหนึ่งนี้จะช่วยให้คุณอย่างน้อยข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับการล่มสลายของ relativizable ปัญหาระหว่างระดับของ{} $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
การอ้างอิงต่อไปนี้เป็นทิศทางที่ผิด แต่คุณอาจสนใจในผลลัพธ์และเทคนิคของมัน Chang และ Kadinแสดงให้เห็นว่าหากลำดับชั้นบูลีน (ซึ่งอยู่ต่ำกว่าระดับที่สองของแต่ขยายเป็นลำดับชั้นทั้งหมด) จะยุบลงในระดับ -th ดังนั้นทรุดตัวลง กับระดับ -th ของลำดับชั้นบูลีนมากกว่าP} $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ควรจะ

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— ....

ขอโทษ แต่ฉันคิดว่าถูกต้องไหม เช่น

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....