อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับการค้นหาค่าสูงสุดที่เลื่อน

สมมติว่าเราได้รับอาร์เรย์ที่มีจำนวนเต็มไม่ใช่ค่าลบ (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) $A[1..n]$

ให้เป็นเรียงตามลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น เราต้องการคำนวณ $B$ $A$

m = max_{i \in [n]} B [i] + i .

$m = \max_{i\in [n]} B[i]+i.$

วิธีการแก้ปัญหาที่เห็นได้ชัดคือการเรียงลำดับแล้วคำนวณเมตรสิ่งนี้ให้อัลกอริทึมที่ทำงานในเวลาในกรณีที่แย่ที่สุด $A$ $m$ $O(n \lg n)$

เป็นไปได้ไหมที่จะทำได้ดีกว่า เราสามารถคำนวณ $m$ ในเวลาเชิงเส้นได้หรือไม่?

คำถามหลักของฉันคือคำถามข้างต้น แต่มันน่าสนใจที่จะทราบเกี่ยวกับการวางนัยทั่วไปของปัญหา

ให้ $B$ เป็น $A$ เรียงตามการเปรียบเทียบ oracle $\leq$ และ $f$ ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย oracle ให้ $A$ และ oracles สำหรับ $\leq$ และ $f$ เราสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับเวลาที่ต้องใช้ในการคำนวณ $m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$ ?

เรายังสามารถคำนวณ $m$ ใน $O(n \lg n)$ เวลา แต่เราสามารถพิสูจน์ขอบเขตล่างสุดของเส้นตรงสำหรับกรณีทั่วไปนี้ได้หรือไม่?

ถ้าคำตอบคือใช่ขอบเขตล่างถูกพักไว้หรือไม่ถ้าเราคิดว่าเป็นคำสั่งปกติของจำนวนเต็มและคือฟังก์ชัน "ดี" (โมโนโทน, พหุนาม, เชิงเส้น ฯลฯ )? $\leq$ $f$

— Kaveh
แหล่งที่มา

คำตอบ:

เราสามารถคำนวณในเวลาเชิงเส้นได้ $m$

สำหรับความเรียบง่ายสมมติว่าอาร์เรย์เป็น 0 ตาม: ,[0..n-1] เราต้องการที่จะคำนวณ i $A[0..n-1]$ $B[0..n-1]$ $m = \max_i B[i]+i$

ให้[ผม] เห็นได้ชัดเมตร $max = \max_i A[i]$ $max \leq m$

ให้เป็นหลังจากการเรียงลำดับ ถ้าเรามี $A[j]$ $B[k]$ $A[j] \leq max - n$

B [k] + k \leq B [k] + (n - 1) = A [j] + (n - 1) \leq (m a x - n) + (n - 1) = m a x - 1 < m a x \leq m .

$B[k] + k \leq B[k] + (n-1) = A[j] + (n-1) \leq (max-n) + (n-1) = max-1 < max \leq m.$

ดังนั้นเราจึงสามารถละเว้นเมื่อn เราต้องพิจารณาตัวเลขในช่วงเท่านั้น $A[j]$ $A[j] \leq max - n$ $[max-n, max]$

เราสามารถใช้การนับเรียงลำดับการเรียงลำดับตัวเลขใน ซึ่งอยู่ในช่วงเส้นเวลาและใช้รายการที่เรียงลำดับการคำนวณเมตร $A$ $[max-n, max]$ $m$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

... mmm ... แต่ราคาของ C [x] = C [x] +1 คืออะไร!

— Marzio De Biasi

มีปัญหากับคำตอบของคุณไหม? เพราะมันดูดีสำหรับฉัน: คุณกำลังบอกว่าเราใส่ใจเฉพาะองค์ประกอบของอาเรย์ด้วยค่าในดังนั้นเราจึงสามารถใช้การจัดเรียงแบบนับได้ สิ่งนี้ใช้ได้กับปัญหาทั่วไปเมื่อใดก็ตามสำหรับทุกฉัน

[M - n, M]

$[M-n, M]$

| f (B [i], i) - B [i] | = O (n)

$|f(B[i], i) - B[i]| = O(n)$

i

$i$

— Sasho Nikolov

ขอบคุณ @Marzio :) ฉันแก้ไขคำตอบของคุณเล็กน้อยเพื่อความชัดเจน อย่าลังเลที่จะย้อนกลับการแก้ไขหรือแก้ไขเพิ่มเติม

— Kaveh

วิธีแก้ปัญหานี้ดูเหมือนว่าจะทำงานได้กับทุกที่ซึ่งและ ,(n)

f (x, i)

$f(x,i)$

x

$x$

i \leq n

$i\leq n$

| f (x, i) - x | = O (n)

$|f(x,i)-x| = O(n)$

— Kaveh

@Kaveh: แก้ไขก็โอเค! ฉันเขียนคำตอบอย่างรวดเร็วและฉันก็ไม่แน่ใจในความถูกต้องของมัน: -S

— Marzio De Biasi

-1

หากอาร์เรย์ประกอบด้วยจำนวนเต็มที่แตกต่างกันดังนั้นเนื่องจากระยะห่างระหว่างรายการที่อยู่ติดกันในเป็นอย่างน้อย ; สถานการณ์น่าสนใจมากขึ้นเมื่อพวกเขาไม่ต้องการชัดเจน $A$ $m = \max(A) + 1$ $B$ $1$

สำหรับคำถามทั่วไปมากขึ้นของคุณจินตนาการสถานการณ์ที่เป็นเพียง "น่าสนใจ" เมื่อJ ดูเหมือนจะเป็นไปได้ที่จะสร้างอาร์กิวเมนต์ที่เป็นปฏิปักษ์ซึ่งบังคับให้คุณค้นหาสำหรับทั้งหมดก่อนที่คุณจะรู้ดังนั้นคุณต้องเรียงเพื่อ หาคำตอบซึ่งจะการเปรียบเทียบ (มีภาวะแทรกซ้อนบางอย่างเนื่องจากอาจเป็นกรณีที่เราสามารถทดสอบได้ว่าอยู่ในค่าคงที่มากกว่าเวลาเชิงเส้นโดยการสอบถามหรือไม่) นี่เป็นกรณีแม้ว่าคือพหุนาม (ระดับสูง) $f(B[i],j)$ $i = j$ $f(B[i],i)$ $i$ $\max_i f(B[i],i)$ $A$ $\Omega(n\log n)$ $A[i] = B[j]$ $f(A[i],j)$ $f$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

เกิดอะไรขึ้นถ้า A มี n - 1 ศูนย์และหนึ่งเดียว? จากนั้นคำตอบคือ n ไม่ใช่ 1

— Grigory Yaroslavtsev

สวัสดี Yuval มีสามารถทำซ้ำตัวเลขใน ดังกริกอกล่าวว่าวิธีแก้ปัญหาดูเหมือนจะไม่ทำงาน

A

$A$

— Kaveh

ฉันคิดว่าฉันเห็นความคิดของคุณสำหรับอาร์กิวเมนต์ต่ำผูกพัน: รับเราสามารถคำนวณอย่างรวดเร็วโดยใช้คู่แบบสอบถามที่ทำกับโดยการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในเวลาที่อัลกอริทึมLG) เราสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าอัลกอริทึมค้นหาทั้งหมดแต่เราไม่สามารถแน่ใจได้ว่ามันจะไม่สืบค้นคู่อื่น ๆ อย่างไรก็ตามเราสามารถตั้งค่าสำหรับคู่อื่น ๆ ให้เป็นค่าที่แตกต่างเพื่อให้เราสามารถยกเลิกคู่เหล่านั้น

A

$A$

B

$B$

f

$f$

o (n \lg n)

$o(n\lg n)$

f

$f$

(B [i], i)

$(B[i],i)$

f

$f$

— Kaveh