กำกับปัญหา NP-hard เกี่ยวกับ DAG

ความกว้างของต้นไม้วัดได้ว่ากราฟใกล้กับต้นไม้อย่างไร ปัญหา NP-hard หลายอย่างสามารถจัดการได้บนกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ หากปัญหายังคงมีปัญหา NP-hard บนต้นไม้ความกว้างของต้นไม้จะไม่สามารถช่วยเราได้ นี่คือแรงบันดาลใจที่อยู่เบื้องหลังหนึ่งในคำถามก่อนหน้าของฉันที่ถามถึงปัญหาที่เกิดขึ้นกับต้นไม้

มีการวัดความกว้างของต้นไม้หลายเวอร์ชันโดยตรงว่ากราฟที่กำกับไว้นั้นตรงกับกราฟที่กำหนดทิศทาง (DAG) อย่างไร อะไรบางอย่างกำกับปัญหาที่ยังคงอยู่ NP-อย่างหนักใน DABs ความ? ปัญหาที่เกิดขึ้นทำให้ใช้ประโยชน์อย่างจำเป็นจากทิศทางของขอบ ตัวอย่างเช่นเส้นทาง hamiltonian เป็นปัญหาโดยตรงในขณะที่จุดยอดไม่ได้ หนึ่งในคำตอบสำหรับคำถามก่อนหน้าของฉันให้สูตรทั่วไปสำหรับการสร้างปัญหาที่ยากบนต้นไม้ มีสูตรสำหรับ DAG ไหม?

นี่มีจุดมุ่งหมายเพียงบางส่วนในการตอบคำถามแรกของโพสต์:

ปัญหาที่เกิดขึ้นโดยตรงที่ยังคงเป็นปัญหากับ DAG อยู่หรือไม่

ใน [1] มีปัญหาตามธรรมชาติบางประการเกี่ยวกับกราฟกำกับที่ยังคงมีปัญหาเกี่ยวกับ DAG แรงบันดาลใจของบทความนี้คือการหาวิธีที่ดีเช่นเดียวกับ digraphs พวกเขายืนยันว่าข้อเสียเปรียบของมาตรการหลายอย่างสำหรับ digraphs คือพวกมันคงที่สำหรับ DAGs แต่หลาย ๆ คู่ของปัญหาทางธรรมชาตินั้นยังคงอยู่ที่ NP-hard ใน DAGs สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมในหัวข้อนี้โปรดดู [2] และการอ้างอิงเอกสารเหล่านี้

[1] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, อเล็กซานเดอร์แลงเกอร์, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith: ในการวัดความกว้างของกราฟในอัลกอริทึมแบบพารามิเตอร์ IWPEC 2009: 185-197 เวอร์ชันเต็ม

[2] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Daniel Meister, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith, Somnath Sikdar: มีความกว้างของกราฟวัดที่ดีหรือไม่? IPEC 2010 ที่จะปรากฏ arXiv

ปัญหาการกำหนดเส้นทางหลายอย่างทราบกันดีว่า NP-hard และแม้แต่ยากที่จะประมาณถึงปัจจัยพหุนามใน DAG สิ่งเหล่านี้รวมถึงปัญหาต่าง ๆ เช่นเส้นทางที่ไม่ต่อรอยสูงสุดและความแออัดน้อยที่สุด ดูเอกสารจาก Andrews, Chuzhoy, Khanna, Zhang และคนอื่น ๆ เพื่อดูคำแนะนำเพิ่มเติม

จากจุดตรรกะของมุมมองการประเมินสูตร MSO คือ NP-hard บน DAG ตัวอย่างเช่นกล่าวว่ากราฟ G สามารถเป็น 3 สีได้ และสำหรับการใด ๆ กราฟไม่มีทิศทางเราสามารถกำกับขอบจะได้รับ DAGและเปลี่ยนทุกในเพื่อx) ตอนนี้เรามีvarphi'$\varphi:=\exists C_1 C_2 C_3 [\forall x (C_1 x \lor C_2 x \lor C_3 x) \land \bigwedge_{i=1,2,3}\forall x,y(\neg C_i x \lor \neg C_i y\lor \neg E(x,y))]$$G$$G'$$E(x,y)$$\varphi$$E(x,y)\lor E(y,x)$$G\models\varphi\iff G'\models\varphi'$

ปัญหา OPEN [8] ที่มีชื่อเสียงจากรายการของ Garey และ Johnson เกินกว่า P แต่เปิดให้พิสูจน์แล้วว่าเป็น NP-C ปัญหานั้นอยู่ที่ DAG แต่ละรอบคุณสามารถลบได้สูงสุดสามจุดยอดที่ไม่มีขอบเข้ามา ตัดสินใจว่าจุดยอดทั้งหมดของ DAG สามารถลบได้ในรอบ K หรือไม่? เปิดตั้งแต่ปี 1970