Bijections แบบโมโนโทนระหว่างรายการช่วงเวลา

ฉันมีปัญหาดังต่อไปนี้:

อินพุต: ช่วงเวลาสองชุดและ (จุดสิ้นสุดทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม) ข้อความค้นหา: มีการให้เสียงแบบโมโนโทนเดียวหรือไม่ $S$ $T$
$f:S \to T$

bijection เป็นเสียงเดียว WRT การสั่งซื้อชุดรวมอยู่ในและT $S$ $T$

\forall X \subseteq Y \in S, f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$

[ฉันไม่ต้องการเงื่อนไขย้อนกลับที่นี่ อัปเดต:หากจำเป็นต้องใช้เงื่อนไขการย้อนกลับเช่นดังนั้นสิ่งนี้จะอยู่ใน PTIME เพราะมันเป็นการทดสอบมอร์ฟิซึ่มส์ของการรวมที่สอดคล้องกัน posets (ซึ่งมีมิติของคำสั่ง 2 โดยการก่อสร้าง) ซึ่งอยู่ใน PTIME โดยMöhring คลาสที่เรียงลำดับได้ของชุดคำสั่งทฤษฎีบท 5.10, p. 61. $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

ปัญหาอยู่ใน : เราสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพหากให้นั้นเป็นการใส่แบบโมโนโทน $\mathsf{NP}$ $f$

มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหานี้หรือไม่? หรือว่า -hard $\mathsf{NP}$

คำถามที่สามารถระบุได้โดยทั่วไปว่าการดำรงอยู่ของ bijection โมโนโทนระหว่างสอง posets ของ มิติการสั่งซื้อที่กำหนด 2

การใช้การลดแรงบันดาลใจจากคำตอบของคำถามนี้ฉันรู้ว่าปัญหาคือยากเมื่อขนาดไม่ถูก จำกัด อย่างไรก็ตามยังไม่ชัดเจนว่าการลดลงนั้นจะทำงานเมื่อมีการ จำกัด ขนาด $\mathsf{NP}$

ฉันยังสนใจที่จะทราบเกี่ยวกับความสามารถในการรับข้อมูลเมื่อมิติถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ไม่ใช่แค่ 2)

— a3nm
แหล่งที่มา

มีตัวอย่างของวิธีโลภนี้หรือไม่: เรียงลำดับช่วงเวลาของตามความยาวที่ลดลง สร้างโหนดด้วยวิธีนี้: ถ้าจากนั้นเพิ่ม edgeหากมีหลายช่วงเวลาที่มีความยาวเท่ากันกับจากนั้นเพียงแค่เลือกซ้ายสุดของพวกเขาและเพิ่มขอบI_i) เพิ่มรูทที่เชื่อมโยงกับโหนดที่ไม่มีขอบเข้ามา สร้างต้นไม้ที่คล้ายกันสำหรับจากนั้นตรวจสอบว่าต้นไม้สองต้นเป็น isomorphic

S

$S$

I_{1}, I_{2}, . . ., I_{n}

$I_1,I_2,...,I_n$

n + 1

$n+1$

I_{i} \subseteq I_{j}

$I_i \subseteq I_j$

(I_{j} \to I_{i})

$(I_j \rightarrow I_i)$

I_{i} \subseteq I_{j_{1}}, . . ., I_{j_{m}}

$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$

| I_{j_{1}} | = | I_{j_{2}} | = . . . = | I_{j_{m}} |

$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$

(I_{j_{k}} \to I_{i})

$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$

T

$T$

— Marzio De Biasi

ช่วงเวลาสามารถรวมอยู่ในช่วงเวลาที่หาที่เปรียบมิได้หลายตัวอย่างเช่น [2, 3] รวมอยู่ใน [1, 3] และ [2, 4] ดังนั้นฉันคิดว่าการสร้างต้นไม้ของคุณจะไม่ให้ต้นไม้เลย การตรวจสอบว่า DAG สองอันนั้น isomorphic (หรือค่อนข้างฝังในความหมายที่ฉันถามเกี่ยวกับ) เป็น NP- ยากโดยทั่วไปฉันคิดว่า

— a3nm

คุณพูดถูกวิธีข้างต้นไม่ถูกต้อง!

— Marzio De Biasi

ตามคำตอบ De Biasi ของปัญหาคือ GI-เสร็จสมบูรณ์เมื่อ (Y) อย่างไรก็ตามโพสต์ของคุณระบุว่าเป็น PTIME อันไหนที่ถูก?

\forall X, Y, X \subseteq Y \Leftrightarrow f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: cf การอภิปรายในความคิดเห็นต่อคำตอบของ Marzio

— a3nm

นี่คือความพยายามที่จะพิสูจน์ว่าปัญหาที่ไม่มีเงื่อนไขย้อนกลับคือ NP-hard

แนวคิดพื้นฐานคือช่วงเวลาที่แยกจากกันในดังนี้: $S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

สามารถมีการจับคู่ที่ถูกต้องกับ " ปิรามิด " ใน : $T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

การลดลงมาจาก Unary 3-Partition (ซึ่งคือ NPC) รับจำนวนเต็มและเลขจำนวนเต็มมีพาร์ติชันของ A inตั้งค่าตั้งค่าซึ่งทุกมีองค์ประกอบ 3 อย่างแน่นอน และผลรวมของพวกเขาคือ ? $3m$ $A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$ $B$ $m$ $A_1,...,A_m$ $A_i$ $B$

สมมติว่า $max = \sum a_i + 3m$

เราสร้างเพิ่มช่วงเวลาฐานของความยาว (เส้นสีแดงในรูป) ด้านบนของแต่ละช่วงฐานเราเพิ่มพีระมิดเครื่องหมายของช่วงเวลาของความยาวที่เพิ่มขึ้น (เส้นสีเขียวในรูป) ในการช่วงฐานเรายังเพิ่ม disjoint หน่วยช่วงความยาว 1 (เส้นสีดำในรูป) ในที่สุดเราก็เพิ่มช่วงเวลาที่ยาวเพื่อครอบคลุมทั้งหมด(เส้นสีน้ำเงินในรูป) $S$ $3m$ $BI_i$ $3*max$ $max$ $BI_i$ $a_i$ $L$ $BI_i$

จากนั้นเราสร้างเริ่มต้นจากสำเนาจากนั้นเราเพิ่มกลุ่มผลรวมแต่ละอันทำด้วยสำเนาของช่วงฐานสามกองที่ซ้อนกันยืดในลักษณะที่ปิรามิดเครื่องหมายของพวกเขาไม่ตัดกัน (ดูเส้นสีแดง + สีเขียวที่ ด้านล่างของรูป) จากนั้นเราก็เพิ่มที่ด้านบนของสามช่วงเวลาที่ฐานของพีระมิดผลรวมของช่วงเวลาของความยาวที่เพิ่มขึ้น (เคลื่อนจากปิรามิดเครื่องหมาย) $T$ $L$ $m$ $G_j$ $G_j$ $B$

สมมติว่ามี bijection ระหว่าง S และ T ที่เก็บรักษาช่วงเวลารวมไว้ (ในทิศทางเดียวจาก S ถึง T)

จากนั้นเครื่องหมายปิรามิดแต่ละอันของ S จะต้องสอดคล้องกับเครื่องหมายปิรามิดใน T (วิธีเดียวที่จะมีห่วงโซ่การรวมของช่วงเวลา ) ดังนั้นช่วงเวลาพื้นฐานสามประการ( ) ของจะต้องแมปไปยังแต่ละกลุ่มG_jนอกจากนี้ช่วงเวลาหน่วยของจะต้องแมปกับปิรามิดผลรวมของและไม่สามารถ "แลกเปลี่ยน" ระหว่างกลุ่มต่างๆ $max$ $BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$ $S$ $G_j$ $BI_{j_k}$ $G_j$

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าหากมี bijection อยู่แล้วปัญหาเดียว 3 พาร์ติชัน unary เดิมมีวิธีแก้ไข

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่ ตัวอย่างการลดจากปัญหา 3 พาร์ติชัน unary $m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

หมายเหตุ: ตามที่สังเกตในความคิดเห็นช่วงเวลาสีน้ำเงิน L ใน S และ T ไม่จำเป็นสำหรับการลดลง

หากสภาพกลับเป็นสิ่งจำเป็นนอกจากนี้แล้วคุณสามารถสร้างสอง DABs ความโดยใช้ความสัมพันธ์เพื่อสร้างโค้งI_i) bijection ที่รักษาช่วงเวลาที่รวมอยู่ในทั้งสองทิศทางนั้นมีอยู่ถ้า DAG ทั้งสองเป็น isomorphic ดังนั้นปัญหาไม่สามารถยากกว่าปัญหา DAG isomorphism ซึ่งเป็น GI-Complete (และถ้าคุณพิสูจน์ว่ามันเป็น NP-complete คุณก็พิสูจน์ได้ว่า GI นั้นเป็น NP-complete เช่นกัน) $I_i \subseteq I_j$ $(I_j \rightarrow I_i)$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ใช่ดูเหมือนว่ามันจะถูกต้องขอบคุณมาก! (เพียงคำพูด: ช่วงเวลาสีน้ำเงินไม่จำเป็นสำหรับการลดขนาดฉันคิดว่า) ฉันจะยอมรับเร็ว ๆ นี้เว้นแต่ฉันจะหาเหตุผลที่จะสงสัยว่าการลดลงนี้ใช้งานได้

— a3nm

@ a3nm: ใช่ แต่ฉันค้นพบมันหลังจากวาดรูป :-) ฉันยังไม่แน่ใจ 100% ว่าไม่มีข้อผิดพลาดที่ซ่อนอยู่ในการลด (ยิ่งไปกว่านั้นเป็นครั้งที่สองในสองสัปดาห์ที่ฉันพบหลักฐาน NP-complete ที่ใช้ unary 3-partition ... แปลกมาก :-)

— Marzio De Biasi

ไม่ดูเหมือนว่าถูกต้อง: วิธีแก้ปัญหาอย่างชัดเจนสำหรับ 3 พาร์ติชันให้ผลเฉลยกับปัญหาช่วงเวลา ตอนนี้จากปัญหาช่วงเวลาไปยังพาร์ติชัน 3: จำเป็นต้องมีการแมปช่วงเวลาแมปช่วงสีแดงกับช่วงสีแดง (เนื่องจากปิรามิดเครื่องหมาย) จำนวนช่วงเวลาสีแดงเท่ากันดังนั้นช่วงเวลาจึงเป็นสีแดงถ้าภาพโดยการจับคู่คือ เครื่องหมายถูกแมปกับช่วงสีแดงด้านขวา (เพราะไม่เช่นนั้นจะเป็นผู้สืบทอดและขั้นต่ำ) ตอนนี้ถ้าสีแดงถูกแมปเป็นสีแดงและเครื่องหมายถูกแมปตามที่คาดไว้ตัวเลขต้องตรงกันดังนั้นเราจึงมีพาร์ติชันที่ถูกต้อง ฉันคิดว่ามันสมเหตุสมผล!

— a3nm

@ a3nm: ฉันเห็นว่าคุณยอมรับคำตอบ; คุณคิดว่าผลลัพธ์ที่ได้น่าสนใจพอที่จะเขียนข้อต่อหรือไม่?

— Marzio De Biasi

T

$T$

f

$f$