วงจรบูลีนที่เล็กที่สุดในการสร้างภาษา

พิจารณาไม่ว่างเปล่าภาษาของสตริงไบนารีของความยาวnฉันสามารถอธิบายกับวงจรบูลีนมีอินพุตและเอาต์พุตหนึ่งเอาต์พุตที่เป็นจริง iff : นี่เป็นที่รู้จักกันดี$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

แต่ผมต้องการที่จะเป็นตัวแทนของกับบูลีนวงจรกับผลและจำนวนที่แน่นอนของปัจจัยการผลิตกล่าวว่าดังกล่าวว่าชุดของค่าการส่งออกของสำหรับแต่ละปัจจัยการผลิตที่เป็นไปได้คือว่าL$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

ที่ฉันจะหาวงจรมีขนาดเล็กที่สุดและความซับซ้อนได้อย่างไร? มีความสัมพันธ์ระหว่างขอบเขตที่ทราบเกี่ยวกับขนาดของวงจรประเภทแรก ( ) และวงจรประเภทที่สองนี้ ( ) หรือความซับซ้อนในการค้นหาพวกเขาหรือไม่?$L$$C'$$C$$C'$

(สังเกตว่ามีความเป็นคู่บางอย่างในความหมายต่อไปนี้: ให้ฉันสามารถตัดสินใจได้อย่างง่ายดายว่าคำที่ป้อนอยู่ในโดยการประเมินวงจร แต่มันเป็นปัญหาทั่วไปโดยทั่วไปเพื่อหาคำในโดยการหา การมอบหมายดังกล่าวว่าเอาต์พุตเป็นจริงได้รับก็เช่นกัน NP- ยากที่จะตัดสินใจว่าบางคำอินพุตอยู่ในเพราะฉันต้องดูว่าการมอบหมายผลตอบแทนเป็นเอาท์พุท แต่มันง่ายที่จะหาคำในโดยการประเมินวงจรในอินพุตใด ๆ )$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

ฉันจะชี้ให้เห็นการเชื่อมต่อที่ง่ายกับวงจร nondeterministic และแสดงความคิดเห็นสั้น ๆ เกี่ยวกับความแข็งของการเข้ารหัส

สำหรับให้นิยามความซับซ้อนของภาพแสดงว่าฉันm c ( S )เป็นจำนวนประตูที่น้อยที่สุดในวงจรบูลีนC : { 0 , 1 } เมตร → { 0 , 1 } nมีภาพS คำถามถามเกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณi m c ( S )ซึ่งได้รับการแสดงตารางความจริงของ$S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(สตริงที่มีความยาว )$2^n$

กำหนดความซับซ้อนของวงจร nondeterministicของซึ่งเราจะแสดงว่าn c c ( S )เป็นวงจร nondeterministic ที่เล็กที่สุดC ( x , y ) : { 0 , 1 } n + m ′ → { 0 , 1 }ยอมรับอย่างแน่นอนส . นั่นคือเราต้องการCที่x ∈ S iff ∃ y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$ 1 นี่คือความคิดมาตรฐานที่ใช้เพื่อกำหนดคลาสที่ไม่เหมือนกัน N P / p o l y : มันเป็นคลาสของชุดทั้งหมด S = { S n } n > 0โดยมี S n ⊆ { 0 , 1 } n , เช่นว่า n คค( S n ) ≤ P o L Y ( n )$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

สิ่งที่ผมอยากจะชี้ให้เห็นว่า ) ทั้งสองทิศทางของความไม่เท่าเทียมนี้ง่ายต่อการตรวจสอบ $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

ให้แสดงถึงความซับซ้อนของวงจรที่กำหนดขึ้น การใช้ Razborov-Rudich กระดาษที่ Dai Le กล่าวแสดง (โดยคร่าวๆที่นี่) ภายใต้สมมติฐานการเข้ารหัสบางประการมันเป็นการยากที่จะคำนวณความแตกต่างของตารางความจริงของSกับd c c ( S )ขนาดเล็กจากตารางความจริงของการสุ่มอย่างแท้จริงS (กับd c c ( S )ใกล้มากที่สุด) Random Sยังมีn c c ( S )เกือบสูงสุดและแน่นอนเรามี$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$ ) ดังนั้นปัญหาของคุณจะยากภายใต้สมมติฐานเดียวกัน$ncc(f) \leq dcc(f)$

การคำนวณใดที่ให้ตารางความจริงกับ , d c c ( S )หรือn c c ( S ) ยากกว่า ? มีวิธีลดลงบ้างไหม? ฉันไม่รู้$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

คุณควรดูบทความนี้โดย Kabanets และ Cai ฉันจะพูดถึงบทคัดย่อของกระดาษ:

เราศึกษาความซับซ้อนของปัญหาวงจรลดที่: กำหนดตารางความจริงของฟังก์ชั่นแบบบูลและพารามิเตอร์sตัดสินใจว่าฉสามารถรับรู้โดยวงจรบูลีนขนาดที่มากที่สุดs เรายืนยันว่าเหตุใดปัญหานี้จึงไม่น่าจะอยู่ในP (หรือแม้แต่ในP / p o l y ) โดยให้ผลที่น่าประหลาดใจหลายประการจากสมมติฐานดังกล่าว นอกจากนี้เรายังยืนยันว่าการพิสูจน์ว่าปัญหานี้เป็นN P- ที่สมบูรณ์ (หากเป็นจริงจริง ๆ ) จะแสดงถึงการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำของวงจรที่แข็งแกร่งสำหรับคลาสEซึ่งปรากฏเกินกว่าเทคนิคที่รู้จักในปัจจุบัน$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

แม้ว่าวงจรคุณพูดถึงคำนวณฟังก์ชั่นF : { 0 , 1 } m → Lเราสามารถคิดว่ามันเป็นลำดับของวงจรC ′ 1 , C ′ 2 , … , C ′ nโดยที่C ′ ฉันคำนวณฉันทีเอชส่งออกบิตของF เนื่องจากแต่ละC ′ ฉันคำนวณฟังก์ชันบูลีน{ 0 , 1 } $C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$ , ลดวงจร C ′ ฉันดูเหมือนยากตามผลข้างต้น$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$