การเล่นดราฟระหว่างประเทศถูกต้องหรือไม่

ปัญหาต่อไปนี้ของ NP-hard หรือไม่

รับการกำหนดค่าบอร์ดสำหรับร่างระหว่างประเทศค้นหาการเคลื่อนไหวทางกฎหมายเพียงครั้งเดียว$n\times n$

ปัญหาที่สอดคล้องกันสำหรับตัวตรวจสอบอเมริกัน (ฉบับร่างภาษาอังกฤษ aka)สามารถแก้ไขได้เล็กน้อยในเวลาพหุนาม มีสามความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสองเกมนี้$n\times n$

ความแตกต่างแรกและสำคัญที่สุดคือกฎ "ราชาบิน" ในหมากฮอสกษัตริย์อาจกระโดดข้ามชิ้นส่วนของคู่ต่อสู้ที่อยู่ติดกันเข้าไปในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ว่างห่างออกไปสองก้าวในทิศทางทแยงมุม ในร่างนานาชาติกษัตริย์อาจจะกระโดดข้ามชิ้นส่วนของฝ่ายตรงข้ามโดยพลการในระยะที่ห่างออกไปโดยการเคลื่อนย้ายโดยพลการระยะทางตามแนวทแยง

ในส่วนของหมากฮอสสามารถใช้ชิ้นส่วนเดียวกันเพื่อจับภาพชิ้นส่วนในรอบเดียว อย่างไรก็ตามไม่เหมือนหมากหมากชิ้นที่ถูกจับในแบบร่างนานาชาติจะไม่ถูกลบออกจนกว่าลำดับทั้งหมดจะจบ ชิ้นส่วนที่จับได้อาจกระโดดข้ามหรือลงจอดในช่องว่างเปล่าหลาย ๆ ครั้ง แต่อาจไม่สามารถกระโดดข้ามชิ้นส่วนของศัตรูได้มากกว่าหนึ่งครั้ง

ในที่สุดทั้งตัวตรวจสอบและร่างระหว่างประเทศมีกฎบังคับให้จับภาพ: หากคุณสามารถจับชิ้นส่วนของคู่ต่อสู้ได้คุณจะต้อง อย่างไรก็ตามกฎกติกาไม่เห็นด้วยเมื่อมีหลายตัวเลือกสำหรับหลาย ๆ ในตัวตรวจสอบคุณสามารถเลือกลำดับการจับได้สูงสุด กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถเลือกลำดับการจับที่สิ้นสุดเมื่อชิ้นจับไม่สามารถจับภาพได้อีก ในร่างระหว่างประเทศคุณต้องเลือกลำดับการจับที่ยาวที่สุด ดังนั้นปัญหาของฉันเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

กำหนดรูปแบบกระดานสำหรับร่างจดหมายระหว่างประเทศค้นหาการเคลื่อนไหวที่จับจำนวนชิ้นส่วนที่เป็นปฏิปักษ์สูงสุด$n\times n$

มันจะพอเพียงเพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาต่อไปนี้คือ NP-complete (เห็นได้ชัดว่าเป็น NP)

ได้รับการกำหนดค่าบอร์ดสำหรับร่างระหว่างประเทศที่เกี่ยวข้องกับกษัตริย์เท่านั้น (และต้อง) ผู้เล่นหนึ่งคนสามารถจับชิ้นส่วนทั้งหมดของฝ่ายตรงข้ามได้ในรอบเดียว$n\times n$

ปัญหาตัวตรวจสอบที่สอดคล้องกันสามารถตอบได้ในเวลาพหุนาม นี่คือแบบฝึกหัดการบ้านที่ให้ความบันเทิง ปัญหาดูคล้ายกับการวิเคราะห์ของ Demaine, Demaine และ Eppstein ของ Phutball endgames ; วิธีแก้ปัญหาสำหรับการฝึกการบ้านเพื่อความบันเทิงปรากฏขึ้นที่ท้ายกระดาษ การแก้ปัญหายังปรากฏในบทความ FOCS 1978 โดยFrankel และคณะ ที่พิสูจน์ได้ว่าตัวตรวจสอบการเล่นอย่างเหมาะสมที่สุดคือ PSPACE-hard; ดูหลักฐานของร็อบสันในปี 1984ว่าตัวตรวจสอบนั้นสมบูรณ์สมบูรณ์แบบแล้ว

ตกลงนี่คือการลด ปรากฎว่าคุณไม่จำเป็นต้องมีระนาบ นอกจากนี้สำหรับ "ค้นหาการย้ายที่ถูกต้องตามกฎหมาย" ฉันจะใช้คำถามการตัดสินใจเนื่องจาก "ย้าย X ถูกกฎหมายหรือไม่"

ก่อนอื่นเรามาทำงานกับเกมที่ชิ้นส่วนเคลื่อนที่แบบ orthogonally แทนที่จะเป็นแนวทแยงมุม เกมนี้มีความเท่าเทียมกัน (ดูที่กระดานร่างหมุน 45 องศา) ยกเว้นคุณสมบัติขอบซึ่งเราจะไม่ใช้ เราใช้สอง gadgets: ผสาน / แยกและครอสโอเวอร์ ดูhttp://www.hearn.to/draughts.pdf เราคิดว่ามีราชาไวท์หนึ่งตัวบนกระดานที่จะย้าย (ไม่มีชิ้นส่วนอื่นใดที่จะสามารถจับภาพจำนวนชิ้นใด ๆ ที่มีนัยสำคัญ) มันจะเคลื่อนที่ผ่านทางเดินที่ระบุจับชิ้นส่วนสีดำตลอดทาง

ก่อนอื่นให้รวมกัน: ถ้าพระราชาเข้ามาในทาง N ใด ๆ (ผ่านการจับชิ้นส่วนสีดำไม่แสดง) มันสามารถออกที่ B. ในทำนองเดียวกันถ้าเราย้อนกลับแกดเจ็ตและเข้าสู่ B จับชิ้นที่แสดง มันสามารถออกจากเส้นทางใดก็ได้ A (อีกครั้งจับชิ้นส่วนภายนอกสีดำ) นี่เป็นอุปกรณ์แบบใช้ครั้งเดียว (เพราะชิ้นส่วนสีดำออกสามารถจับได้เพียงครั้งเดียว)

ประการที่สองครอสโอเวอร์ หากพระราชาเข้าสู่ A (C) ก็สามารถออกได้ที่ B (D) ไม่สามารถหยุดอยู่ตรงกลางและเปลี่ยนเส้นทางได้เนื่องจากจะเป็นเซ็กเมนต์การย้ายที่ไม่จับภาพ

ตอนนี้ให้กราฟกำกับสร้างการกำหนดค่าเกมที่สอดคล้องกันดังนี้ สำหรับแต่ละจุดยอดสร้างการผสานที่ดึงข้อมูลลงในการแยก กำหนดเส้นทางเอาต์พุตแบบแยกไปยังอินพุตรวมของแกดเจ็ตจุดสุดยอด (ผสาน + แยก) ที่สอดคล้องกับจุดยอดที่ขอบทางออกที่เชื่อมต่อด้วยโดยใช้ crossovers ตามความจำเป็น เริ่มต้นกษัตริย์ด้วยการป้อนข้อมูลพิเศษไปยังจุดสุดยอดใด ๆ (ด้วยแผ่นสีดำเพื่อจับเพื่อให้มันเข้าสู่จุดสุดยอด)

สุดท้ายปรับ "ความยาวของขอบ" ให้เท่ากันทั้งหมดโดยการเพิ่มชิ้นส่วนสีดำพิเศษตามเส้นทางเอาต์พุต / อินพุตตามต้องการ หากมีจุดยอด V และ k เป็นสีดำตามขอบแต่ละข้างกษัตริย์ก็สามารถจับ 2V + kV + 1 ชิ้นได้ถ้าหากมีวงจร Hamiltonian ของกราฟที่เกี่ยวข้อง หากพระราชามีการเคลื่อนไหวทางเลือกที่มีอยู่จับห่วงโซ่ง่ายๆของ 2V + kV ชิ้นจากนั้นพิจารณาว่าการย้ายทางเลือกนั้นถูกกฎหมายหรือไม่สมบูรณ์

นี่เป็นทางเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการลดลงของ Bob คราวนี้มาจากวัฏจักรมิลโตเนียน ฉันไม่มั่นใจ 100% ว่ารายละเอียดถูกต้อง - ฉันได้พบแล้วและแก้ไขปัญหาต่าง ๆ - แต่ฉันแน่ใจว่ามันสามารถนำมานวดเป็นหลักฐานที่ถูกต้องได้ เมื่อบ๊อบชี้ให้เห็นการลดลงนี้มีข้อบกพร่องร้ายแรง กษัตริย์สีขาวสามารถหลงทางจากทางบัญญัติของมันผ่านกระดานได้อย่างง่ายดาย ข้อผิดพลาดนี้สามารถแก้ไขได้โดยการเพิ่มแกดเจ็ตข้ามของ Bob ในสถานที่ที่เหมาะสม (ฉันคิดว่า) แต่ก็ไม่แตกต่างจากการลดลงอย่างมีนัยสำคัญ

$G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

$hn^2+4n$$G$

ตอนนี้ทำไมคุณไม่ก่อปัญหานี้ให้ฉันเมื่อฉันทำวิทยานิพนธ์ของฉัน

ตกลงฉันมีการลดจาก Planar Directed Hamiltonian Cycle