(เท็จ?) พิสูจน์ความสามารถในการคำนวณของฟังก์ชั่น?

19

พิจารณา , ฟังก์ชั่นที่ให้ผลตอบแทน 1 IFFศูนย์ปรากฏอย่างต่อเนื่องใน\ตอนนี้มีคนให้หลักฐานกับฉันว่าคำนวณได้: $f(n)$ $n$ $\pi$ $f(n)$

ทั้งสำหรับ n ทั้งหมดปรากฏในหรือมีนเซนต์ปรากฏในและไม่ สำหรับความเป็นไปได้แรก ; สำหรับหนึ่งในสอง iff , 0 เป็นอย่างอื่น $0^n$ $\pi$ $0^m$ $\pi$ $0^{m+1}$ $f(n) := 1$ $f(n) := 1$ $n \leq m$

ผู้เขียนอ้างว่านี่พิสูจน์ความสามารถในการคำนวณของเนื่องจากมีอัลกอริทึมในการคำนวณ $f(n)$

หลักฐานนี้ถูกต้องหรือไม่

computability

— ไมค์บี
แหล่งที่มา

2

คุณสามารถใช้ลาเท็กซ์ในคำถามเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น

— Dave Clarke

7

อาร์กิวเมนต์นั้นถูกต้อง แต่ไม่สร้างสรรค์ บุคคลนั้นไม่ได้ให้ TM แก่คุณเขากำลังให้คุณสอง TM และบอกคุณว่าหนึ่งในนั้นกำลังคำนวณฟังก์ชันที่คุณต้องการ แต่ไม่รู้ว่าอันไหน

— Kaveh

1

เวอร์ชันของคุณคำนวณได้ อย่างไรก็ตามฉันอ่านผิดและบังเอิญพบรุ่นที่ฉันเชื่อว่าไม่สามารถคำนวณได้ การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียว: แทนที่จะเป็นศูนย์ทั้งหมดให้ถามว่าπมีจำนวนศูนย์มากที่สุดหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง ๆ ฉันเชื่อว่าคุณไม่สามารถยืนยันได้เนื่องจากπมีตัวเลขจำนวนอนันต์และที่นั่น (ดูเหมือนว่า?) ไม่มีรูปแบบปรากฏขึ้นอีก

— chazisop

ฉันแก้ไขหน้า Wikipedia หนึ่งครั้งซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องโดยยืนยันว่าการมีอยู่ของ Chaitin คงที่ได้พิสูจน์การมีอยู่ของ "จำนวนเต็มที่ไม่สามารถคำนวณได้"

— Geoffrey Irving

คำถามประเภทนี้มีแนวโน้มที่จะเป็น "ภาษาที่ไม่สำคัญ" แต่ให้สังเกตว่าปกติการปฏิรูปเล็กน้อยเช่นเมื่อภาษาเป็น

โดยที่

คือตำแหน่ง (หรือตำแหน่งที่ 1) ของสตริง

หรือ -1 หากไม่มีสตริงดังกล่าวอาจไม่สามารถอธิบายได้ ดูว่ามันจะสามารถตัดสินใจได้อย่างไรว่า

มีลำดับของตัวเลขบ้าง? / วิทยาการคอมพิวเตอร์

f (n, k) = m

$f(n, k) = m$

m

$m$

0^{k}

$0^k$

π

$\pi$

— vzn

23

คิดว่าวิธีนี้ไมค์: หลักฐานนี้คือ "แยกทาง" ในกรณีที่เป็นไปได้หลายอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่งมีที่จะเป็นจริง (โดยใช้กฎหมายยกเว้นตรงกลางที่ทุกเรื่องทั้งเป็นจริงหรือเป็นความจริง) แต่ในตอนท้ายของแต่ละสาขาคุณจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชันคำนวณได้เสมอ ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดที่มีอยู่จริงในชีวิตจริงต้องคำนวณ (อย่างไรก็ตามเหตุผลที่แม่นยำว่าทำไมคำนวณได้จะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับสาขา) $p$ $p$ $\neg p$ $f$ $f$ $f$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

16

ถูกต้อง. นี่คือสิ่งเดียวกันกับสิ่งต่อไปนี้: กำหนดให้เป็นฟังก์ชันคงที่ถ้ามีพระเจ้าและถ้าไม่มีพระเจ้า ฟังก์ชันที่ได้คือฟังก์ชันคงที่ซึ่งคำนวณได้ สิ่งที่คุณอาจไม่สามารถทำได้คือให้ฟังก์ชันนั้น แต่ฟังก์ชันนั้นคำนวณได้ $f(x)$ $x \mapsto 0$ $x \mapsto 1$

ที่นี่ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นจริง: มีอยู่จริงเช่นหรือไม่ ฟังก์ชั่นเป็นทั้งฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องหรือฟังก์ชั่นเกณฑ์ที่เรียบง่ายที่กำหนดไว้กับม. $m$ $x \mapsto 1$ $m$

— Michaël Cadilhac
แหล่งที่มา

4

ผมจะเข้ามาแทนที่ "ถ้าพระเจ้ามีอยู่จริง" กับ

P

:)

P \neq N P

$P \neq NP$

— Kaveh

โอเคขอโทษสำหรับความเข้าใจผิดฉันไม่ได้มีปัญหากับการพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ ปัญหาที่ฉันมีคือพวกเรา (หรืออย่างน้อยฉัน) ไม่รู้ว่า

คำนวณได้หรือไม่ ทำไมจึงไม่จำเป็นต้องพิสูจน์สิ่งนั้น

m

$m$

— Mike B.

5

มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงว่าจำนวนเต็มคำนวณได้หรือไม่ ไม่ว่าจะใช้ค่าอะไรก็ตามมีเครื่องทัวริงที่ให้ผลลัพธ์ การค้นหาอาจเป็นเรื่องยาก แต่ก็ไม่ได้แตกต่างจากสถานการณ์ทั่วไป: การค้นหาอัลกอริทึมนั้นยากซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ทำให้พวกเราหลายคนทำงาน

— Aaron Roth

ฉันยังไม่เข้าใจ เครื่องทัวริงอะไรที่สามารถส่งออก m นี้ มันไม่เพียงจะต้องแสดงให้เห็นว่า

ปรากฏใน

ยิ่งไปกว่านั้นมันจะต้องตรวจสอบว่า

ไม่ได้ - และนั่นคือ IMO ปัญหา

0^{m}

$0^m$

π

$\pi$

0^{m + 1}

$0^{m+1}$

— Mike B.

นี่เป็นวิธีที่สร้างสรรค์ที่คุณพูดถึง ถ้าฉันให้คุณเครื่องที่เอาท์พุทเช่น

ก็ไม่จำเป็นต้องโน้มน้าวให้คุณว่าเรื่องนี้เป็นสิทธิ

มันเป็นเครื่อง outputing เช่น

(ดีเครื่องอย่างน้อย) นี่เป็นตัวอย่างเดียวกับตัวอย่างของพระเจ้า (ซึ่ง BTW มาจาก Sipser): หากเครื่องแสดงผลลัพธ์

มันไม่จำเป็นต้องโน้มน้าวคุณว่าพระเจ้าไม่มีอยู่จริง มันเป็นเพียงกรณี

m

$m$

m

$m$

m

$m$

0

$0$

— Michaël Cadilhac

14

ฉันคิด - และหวังว่านักเรียนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทุกคนต้องเผชิญกับปัญหานี้ซึ่งให้ความรู้สึกเหมือนเส้นขนาน เป็นตัวอย่างที่ดีมากสำหรับความแตกต่างของการคำนวณในความหมายของ TCS และการคำนวณในเชิงปฏิบัติ

ความคิดของฉันในตอนนั้นคือ: "ใช่แล้วถ้าฉันรู้คำตอบมันจะต้องคำนวณได้อย่างชัดเจน แต่จะรู้ได้อย่างไร?" เคล็ดลับคือการกำจัดตัวเองออกจากภาพลวงตาที่คุณต้องรู้ว่ามีคุณสมบัตินี้หรือไม่ เพราะสิ่งนี้เห็นได้ชัด (อ่าน: imho) ไม่สามารถทำได้โดยเครื่องจักรทัวริง (ตราบใดที่เราไม่มีความรู้มากกว่าที่เรามีประมาณ ) $\pi$ $\pi$

พิจารณาความหมายของคุณสำหรับการคำนวณ: เราพูดคือ (Turing-) คำนวณและถ้าหาก Fนั่นคือคุณจะต้องแสดงให้เห็นการดำรงอยู่ของเครื่องทัวริงที่เหมาะสมไม่ให้หนึ่ง สิ่งที่คุณ - เรา - พยายามทำคือการคำนวณเครื่องทัวริงที่คำนวณฟังก์ชันที่ต้องการ นี่เป็นปัญหาที่ยากขึ้น! $f$ $\exists M \in TM : f_M = f$

แนวคิดพื้นฐานของการพิสูจน์คือ: ฉันให้คุณฟังก์ชั่นคลาสที่ไม่มีที่สิ้นสุดพวกเขาทั้งหมดคำนวณได้ (เพื่อแสดง; ไม่สำคัญที่นี่) ฉันพิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชั่นที่คุณกำลังมองหาอยู่ในชั้นเรียนนั้น (เพื่อแสดง; QED

— ราฟาเอล
แหล่งที่มา

9

ใช่ถูกต้องมันคำนวณได้ ปัญหาก็คือฟังก์ชั่นของคุณไม่ได้สร้างทางออกให้กับตระกูลที่ไม่มีปัญหาวิธีที่ (พูด) ฟังก์ชั่นคำนวณวิธีการแก้ปัญหาการหยุดชะงักคือ - ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณ แต่คุณกำลังแทนในรูปแบบฟังก์ชันข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์บางอันด้วยการแทน จำกัด - จำนวนเต็มหรือความจริงที่ว่า f คือฟังก์ชัน 1 อย่างต่อเนื่อง

มันเป็นไปได้ที่จะเข้ารหัสปัญหาการหยุดพักในจำนวนจริงของแต่ละบุคคลเช่นค่าคงที่ของ Chaitan แต่จำนวนเต็มจะมีการแทนแน่นอนและดังนั้นจึงสามารถเข้ารหัสเป็นทัวริง $\Omega$

การค้นหาอัลกอริทึมที่ถูกต้องของหลักสูตรอาจเป็นปัญหาที่ยาก แต่การค้นหาอัลกอริธึมที่ถูกต้องมักเป็นเรื่องยาก!

— แอรอนโรท
แหล่งที่มา

3

โพสต์เก่าไปหน่อย แต่ต้องการโพสต์คำตอบอื่น

นี่คือการพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ (หรืออาร์กิวเมนต์) ของการคำนวณ มันก็บอกว่าฟังก์ชั่นจะต้องมีอยู่ในความรู้สึกบางอย่างตั้งแต่ฉันสามารถเป็นตัวแทนของมัน (หรือมากกว่าดัชนีอย่างถูกต้อง) ในการตั้งค่า (หรือจักรวาล) ของฟังก์ชั่นคำนวณ อย่างไรก็ตามมันไม่ได้สร้างเครื่องจักรเอง (เช่นอัลกอริธึม) หรือดัชนี (สมมติว่ามีการแจงนับประสิทธิภาพของเครื่องคำนวณ) วลีภาษาอังกฤษ " ขอบคุณสำหรับอะไร " ดูเหมือนว่าในกรณีเหล่านี้เหมาะสมที่สุดดังต่อไปนี้:

-- Look, I proved there is water somewhere! 

Now you can be happy, while dying from thirst!

ผู้คนในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ได้โต้เถียงกันเล็กน้อยเกี่ยวกับความถูกต้องตามจริง (หรือช่วงของความถูกต้อง) และความหมายของข้อโต้แย้งดังกล่าว ผลลัพธ์ที่ได้คือว่าประเภทเดียวกันของการขัดแย้งอีกครั้งปรากฏในทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Goedel และเปิดต่อนี้ "สมมติฐานจักรวาลปิด"

หากคุณไม่ชอบข้อโต้แย้งเหล่านี้มากฉันจะไม่โทษคุณ

— Nikos M.
แหล่งที่มา