ปัญหากราฟสมบูรณ์แบบ NP เกี่ยวกับคุณสมบัติโครงสร้าง

(คำถามนี้เป็นบิตของ "แบบสำรวจ")

ขณะนี้ฉันกำลังทำงานกับปัญหาที่ฉันพยายามแบ่งขอบของทัวร์นาเมนต์ออกเป็นสองชุดซึ่งทั้งสองอย่างนี้จำเป็นต้องมีคุณสมบัติโครงสร้างบางอย่าง ปัญหา "รู้สึก" ค่อนข้างยากและฉันคาดหวังอย่างเต็มที่ว่าจะเป็น$\mathcal{NP}$สมบูรณ์ด้วยเหตุผลบางอย่างที่ฉันมีเวลาที่ยากลำบากแม้จะพบปัญหาที่คล้ายกันในวรรณคดี

ตัวอย่างของปัญหาที่ฉันจะพิจารณาเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันจัดการกับ:

กำหนดทัวร์นาเมนต์แบบถ่วงน้ำหนัก , มีส่วนโค้งตอบรับเป็น$G = (V,E,w)$$G$ที่ขอบซึ่งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม?

สังเกตความแตกต่างของปัญหาชุดความคิดเห็นย้อนกลับแบบดั้งเดิม: ฉันไม่สนใจขนาดของชุด แต่ฉันสนใจว่าชุดตัวเองมีคุณสมบัติโครงสร้างบางอย่างหรือไม่

คุณเคยเจอปัญหาการตัดสินใจที่รู้สึกเช่นนี้หรือไม่? คุณจำได้ไหมว่าพวกเขาเป็นสมบูรณ์หรือในP ? ความช่วยเหลือใด ๆ และทั้งหมดชื่นชม$\mathcal{NP}$$\mathcal{P}$

ฉันคิดว่ามีปัญหาที่คล้ายกันมากมาย นี่คือสองในรุ่นจุดสุดยอดและหนึ่งในรุ่นขอบ:

1) กราฟที่กำหนดมีจุดตั้งค่าข้อเสนอแนะที่เป็นอิสระหรือไม่? (เราไม่สนใจขนาดของชุด) ปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ หลักฐานที่สามารถได้รับจากการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.1 ใน Garey Johnson & Stockmeyer

2) กราฟที่ให้มามีจุดสุดยอดที่ทำให้ต้นไม้หรือไม่? (เราไม่สนใจขนาดของชุด) บทความนี้ ให้การพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบ NP สำหรับปัญหานี้ (ทฤษฎีบท 2); แม้กระทั่งกราฟสองฝ่าย

3) กราฟที่กำหนดมีขอบที่มีอิทธิพลเหนือหรือไม่ตั้งค่าขอบของรูปแบบที่เป็นsubgraph regular ที่เหนี่ยวนำ$1$หรือไม่? (หรือเรียกอีกอย่างว่าการจับคู่แบบชักจูงหรือการจับขอบอย่างมีประสิทธิภาพ) เวอร์ชันจุดสุดยอดได้รับคำตอบที่สองโดย Mohammad อีกครั้งเราไม่สนใจขนาดของชุด) ปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ (รู้จักกันดีพิสูจน์แล้วครั้งแรกที่นี่ ) แม้สำหรับกราฟ bipartite ระนาบ

สองปัญหาแรกเป็นตัวอย่างเฉพาะของคลาสปัญหาที่เรียกว่าเสถียร - : Letเธเป็นทรัพย์สินกราฟ กราฟที่ให้มามีแผ่นปิดจุดสุดยอดพอใจ πหรือไม่? กรณี NP- สมบูรณ์มากขึ้นเช่นเดียวกับกรณีที่แก้ไขได้ polynomially สามารถพบได้ใน นี้ และในกระดาษนี้(และอ้างอิงที่ให้ไว้)$\pi$$\pi$$\pi$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือปัญหาเซตที่มีประสิทธิภาพซึ่งรู้จักกันในชื่อรหัส 1-perfect ในกราฟ ปัญหาคือการพิจารณาการมีอยู่ของชุดมีอำนาจเหนือในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองโหนดใด ๆ ในชุดC ที่มีอำนาจอย่างน้อย 3 (ขอบ) ปัญหาได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นN P-สมบูรณ์โดยนักวิจัยหลายคน ปัญหายังคงอยู่ที่N P - สมบูรณ์แม้สำหรับกราฟเชิงระนาบลูกบาศก์$C$$C$$NP$$NP$

DW Bange, AE Barkauskas และ PJ Slater ชุดที่มีอำนาจเหนือที่มีประสิทธิภาพในกราฟ การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง Proc 3rd SIAM Conf., Clemson / South Carolina 1986, 189-199 (1988)., 1988

$NP$$NP$

รูเป็นวงจรที่ไม่มีความยาวมากกว่าสาม รอบในกราฟกำกับไม่เป็นเส้นตรงถ้าความยาวมากกว่า 3 และไม่มีจุดยอดสองจุดร่วมกันโดยขอบของกราฟกำกับที่ไม่ได้อยู่ในวัฏจักร

$NP$สมบูรณ์ โดยเฉพาะปัญหาคือการตัดสินใจว่ากราฟมีวงจรคี่ที่มีความยาวมากกว่าสามรอบผ่านจุดยอดที่กำหนดหรือไม่ (หลุมแปลกในกราฟเป็นวงจรที่มีความยาวอย่างน้อยห้า) อย่างไรก็ตามความซับซ้อนในการตัดสินการมีอยู่ของหลุมคี่เป็นปัญหาเปิดที่ยืนยาว ในทางตรงกันข้ามงานในการค้นหาหลุมสม่ำเสมอในกราฟนั้นมา$P$.

สมบัติเชิงโครงสร้างของวัฏจักรคือสมบัติของการไม่มีคอร์ด ในกราฟกำกับนี่เพียงพอสำหรับความแข็งของ NP (นอกเหนือจากความต้องการพาริตี) ในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง$NP$-completeness

ความสำคัญของการตรวจจับโครงสร้างคี่หลุมในกราฟถูกเน้นโดยการพัฒนาล่าสุดของ ทฤษฎีบทกราฟที่สมบูรณ์แบบที่ผ่านมา มันแสดงให้เห็นว่ากราฟนั้น สมบูรณ์แบบถ้าหากว่ามันไม่ได้หรือกราฟเสริมนั้นมีรูแปลก ๆ