Gowers "discretized Borel decision approach"

เมื่อไม่นานมานี้ Gowers ได้ระบุถึงปัญหาซึ่งเขาเรียกว่า "discretized Borel factors" ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ขอบเขตของวงจรที่ต่ำกว่า

1. คุณสามารถให้บทสรุปของวิธีการที่เหมาะกับผู้ชมของนักทฤษฎีที่ซับซ้อนได้หรือไม่?

2. ต้องใช้วิธีใดในการพิสูจน์สิ่งใดรวมถึงการพิสูจน์ขอบเขตล่างที่รู้จักใหม่อีกครั้ง

ฉันขอสรุปความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับแรงจูงใจสำหรับแนวทาง ได้รับการเตือนว่าฉันค่อนข้างใหม่กับแนวคิดเรื่องความมุ่งมั่นของบอเรลและไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในทฤษฎีเซต ความผิดพลาดทั้งหมดเป็นของฉัน นอกจากนี้ฉันไม่แน่ใจว่าการอ่านทั้งหมดนี้ดีกว่าการอ่านโพสต์ของ Gowers

ฉันคิดว่าสิ่งที่ Gowers มีอยู่ในใจนั้นไม่ได้เป็นแบบอะนาล็อกเชิงซ้อนของทฤษฎีบทการวัดแบบบอเรล แต่อะนาล็อกแบบ finitary มีดังต่อไปนี้: การหาค่าแบบบอเรลตามมาจาก ZFC ฉันจะอธิบายสั้น ๆ ว่าเกมที่เรากำลังพูดถึงคืออะไรและการกำหนด Borel คืออะไรจากนั้นฉันจะเชื่อมโยงสิ่งนี้เข้ากับวิธีการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า ความคิดระดับสูงมากคือการพิจารณาคุณสมบัติ "อนุญาตแบบอะนาล็อก finitary ของการพิสูจน์ความมุ่งมั่นของ Borel ในการทำงาน" เป็นคุณสมบัติที่สามารถแยก P \ poly จาก NP

เราคิดถึงเกมที่ผู้เล่นสองคนที่ฉันและ II ผลัดกัน "เล่น" เป็นจำนวนเต็ม เกมดังกล่าวดำเนินต่อไปตลอดกาลดังนั้นพวกเขาจึงสร้างลำดับ . เกมถูกกำหนดโดยเซตที่ชนะA ⊆ N N (เช่นชุดของลำดับ) หากx ∈ Aดังนั้นผู้เล่นที่ฉันชนะจะไม่เช่นนั้นผู้เล่นที่ชนะครั้งที่สอง$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

เกมจะถูกกำหนดหากผู้เล่น I หรือผู้เล่น II มีกลยุทธ์ในการชนะ: วิธีการตัดสินใจการเคลื่อนที่ครั้งต่อไปตามการเล่นจนถึงการรับประกันการชนะ ไม่ว่าเกมทุกเกมจะถูกกำหนดให้มีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับรากฐานของทฤษฎีเซต (ไม่ใช่ถ้าคุณเชื่อในสัจพจน์ของทางเลือก) ไม่ว่าในกรณีใดตัวอย่างง่าย ๆ เมื่อเกมอยู่ในความเป็นจริงแล้วก็คือเมื่อถูกเปิดในโทโพโลยีผลิตภัณฑ์ในN Nซึ่งเป็นวิธีแฟนซีในการบอกว่าสมาชิกx ∈ Aสามารถตัดสินใจได้โดยพิจารณาจากองค์ประกอบจำนวน จำกัด เท่านั้น$A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$. ตัวอย่างเช่นเกมที่ผู้เล่นฉันชนะถ้าเธอเป็นคนแรกที่เล่นหมายเลขคู่จะเปิด อีกตัวอย่างที่เรียบง่ายของเกมที่มุ่งมั่นที่จะเป็นเกมที่ปิดคือเกมที่สามารถตัดสินใจบนพื้นฐานของ subsequence จำกัด ของx เกมปิดเป็นเกมเปิดที่มีบทบาทของผู้เล่นคว่ำ$x \not \in A$$x$

ทีนี้เรามาถึงการพิจารณาของบอเรลและหลังจากนั้นฉันจะพยายามผูกกับวงจรและความซับซ้อน ชุด Borel เป็นชุดที่สามารถได้มาจากชุดเปิดและปิดโดยใช้จำนวนซ้ำของสหภาพและทางแยก คุณควรนึกถึงชุดแบบเปิดและปิดเป็นชุดพื้นฐานของคุณและชุด Borel ที่ได้มาจากชุดพื้นฐานโดยใช้การดำเนินงานง่าย ๆ หลายระดับ "เล็ก" (= นับได้) จำนวนในแต่ละระดับ ปรากฎว่าคุณสามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC ว่าเซตของบอเรลถูกกำหนดและมีความรู้สึกที่แม่นยำซึ่งสิ่งนี้ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้

การเปรียบเทียบที่ฉันคิดว่า Gowers กำลังวาดอยู่ที่นี่คือชุดของ Borel เป็นวงจรขนาดเล็ก ในโลกแน่นอนเราแทนที่ "จักรวาล" โดย hypercube { 0 , 1 } n ชุดพื้นฐานของเรากลายเป็นแง่มุมของคิวบ์: { x ∈ { 0 , 1 } n : x i = b }สำหรับb ∈ { 0 , 1 } ; สิ่งเหล่านี้เทียบเท่ากับตัวอักษรx iและˉ x$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$. คุณสามารถเขียน AND และ OR ของตัวอักษรเป็นสหภาพและจุดตัดของชุดดังกล่าว ดังนั้นสำหรับฟังก์ชั่นบูลความสามารถในการผลิตฉ- 1 ( 1 )ออกจากsสหภาพแรงงานและทางแยกชุดพื้นฐานเทียบเท่ากับมีขนาดsวงจรฉ .$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

ผมขอพูดเกี่ยวกับชุดวิเคราะห์ ชุดวิเคราะห์เป็นภาพของชุด Borel: หากเป็นชุด Borel ดังนั้นT = { x : ∃ y ( x , y ) ∈ S }คือการวิเคราะห์ โดยการติดต่อของเราระหว่างชุด Borel และฟังก์ชั่นของความซับซ้อนของวงจรขนาดเล็กชุดวิเคราะห์เหมือน NP / poly$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

ตอนนี้เขาดึงแรงบันดาลใจจากการพิสูจน์ความมุ่งมั่นของโบเรลที่จะเกิดขึ้นกับคุณสมบัติ (ในความรู้สึก Razborov-Rudich) เพื่อแยกความแตกต่างการทำงานของความซับซ้อนของวงจรขนาดเล็กจากฟังก์ชั่นของความซับซ้อนวงจรขนาดใหญ่ ความหวังของหลักสูตรคือทรัพย์สินหลีกเลี่ยงอุปสรรคการพิสูจน์ตามธรรมชาติ

หลักฐานของมาร์ตินเกี่ยวกับความมุ่งมั่นของบอเรลใช้แนวคิดที่เป็นระเบียบเรียบร้อยมาก: มาร์ตินแสดงให้เห็นว่าทุกเกมของบอเรลเป็นภาพของเกมเปิด (ในความเป็นจริง clopen) ภายใต้แผนที่ดังนั้น$\pi$$\pi$รักษากลยุทธ์ที่ชนะ - ลองเรียกสิ่งนี้ว่า "การยก" ดังนั้นสิ่งที่มาร์ตินแสดงก็คือแต่ละเกมของ Borel เป็นภาพของเกมที่เซตที่ชนะเป็นเซตพื้นฐาน เนื่องจากเกมแบบเปิดนั้นง่ายต่อการพิจารณาซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงความมุ่งมั่นของโบเรล หลักฐานเป็นอุปนัยกับกรณีฐานแสดงให้เห็นว่าเกมปิดสามารถยก ส่วนที่สำคัญคือแต่ละขั้นตอนของการเหนี่ยวนำ "พัด" จักรวาล: การกำจัดระดับหนึ่งของการก่อสร้างชุด Borel ต้องยกเกมไปยังเกมผ่านจักรวาลที่เป็นหลักพลังชุดของจักรวาลของเกมต้นฉบับ . สิ่งที่น่าสนใจคือสิ่งนี้หลีกเลี่ยงไม่ได้: ชุดของ Borel ที่ต้องการระดับมากขึ้นในการกำหนดสามารถยกระดับให้กับเกมในจักรวาลที่ใหญ่กว่ามากเท่านั้น ชุดการวิเคราะห์ต้องการจักรวาลที่มีขนาดใหญ่มากจนการดำรงอยู่ของพวกมันต้องการสัจพจน์ขนาดใหญ่

แรงบันดาลใจจากสิ่งนี้ Gowers กำหนดเกมที่ผู้เล่น I และผู้เล่น II ต้องร่วมกันระบุ ; ผู้เล่นที่ฉันชนะถ้าf ( x ) = 1มิฉะนั้นผู้เล่น II จะชนะ ผู้เล่นฉันสามารถระบุครึ่งแรกของพิกัดและผู้เล่น II ในครึ่งหลัง ปรีชาในตอนนี้คือเกมที่สอดคล้องกับfอย่างง่ายเช่นf ที่มีความซับซ้อนของวงจรเล็ก ๆ ควรอนุญาตให้ยกสไตล์มาร์ตินสู่จักรวาลที่ค่อนข้างเล็กเหมือนกับที่เกมโบเรลทำ ในทางกลับกันการสุ่มfควรใช้เอกซ์โพเนนเชียลที่มีขนาดเป็นเลขชี้กำลังสองเท่าและหวังว่า NP-hard fควรจะเป็นอย่างดีเพราะพวกมันจะสอดคล้องกับเกมการวิเคราะห์$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

ให้ฉันเป็นรูปธรรมมากขึ้นเล็กน้อยเกี่ยวกับการยกของมาร์ติน แต่ตรวจสอบคำจำกัดความด้านเทคนิคของโพสต์ของ Gowers มาร์ตินสไตล์ (ในคำศัพท์ของ Gowers, "Ramsey") การยกขึ้นเป็นเกมที่ระบุพิกัดโดยพิกัดโดยที่Uคือจักรวาลและอาจมีขนาดใหญ่กว่า2 nแต่ตอนนี้สภาพที่ชนะคือ ง่ายมาก: ไม่ว่าจะเป็นผู้เล่นที่ผมหรือชนะครั้งที่สองจะตัดสินใจขึ้นอยู่กับมูลค่าของการประสานงานเดียวของปี เช่นเดียวกับในการพิสูจน์ของมาร์ตินลิฟท์จะต้องรักษากลยุทธ์ในการชนะ$y \in U$$U$$2^n$$y$

ความหวังที่ว่าสิ่งนี้อาจหลีกเลี่ยงอุปสรรคการพิสูจน์ตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณว่าคุณสมบัติ "มีสไตล์ยกมาร์ตินสู่จักรวาลขนาดเล็ก" อาจจะไม่ง่ายในการคำนวณ แต่ ณ จุดนี้มันยังไม่ชัดเจนถ้าฟังก์ชั่นพาริตี้มีลิฟท์ไปยังจักรวาลขนาดเล็ก ฉันกังวลว่าการเปรียบเทียบที่เหมาะสมกับชุด Borel อาจเป็นฟังก์ชั่นใน AC0: การหาลิฟท์ขนาดเล็กสำหรับพาริตี้จะทำให้อย่างน้อยก็กังวลว่าจะพักผ่อน$f$