ฟังก์ชั่นบูลีนที่มีความไวเท่ากับความไวที่ถูกบล็อก

บางส่วนของการทำงานกับความไวไวกับบล็อกที่ได้รับการมุ่งเป้าไปที่การตรวจสอบฟังก์ชั่นที่มีช่องว่างที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ระหว่างและเพื่อแก้ปัญหาการคาดเดาว่าเป็นเพียง polynomially ขนาดใหญ่กว่า(ฉ) แล้วทิศทางตรงกันข้ามล่ะ? สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่ ?$s(f)$$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$$s(f) = bs(f)$

นิด ๆ ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องมี(ฉ) ฟังก์ชั่นใด ๆ ที่มียังมีด้วย มันไม่สำคัญ แต่ไม่ยากเกินไปที่จะแสดงว่าฟังก์ชั่นเสียงเดียวใด ๆ ก็ตอบสนองความเท่าเทียมกันนี้ มีคลาสที่ดีอื่น ๆ ของฟังก์ชั่นที่มีหรือไม่? การจำแนกลักษณะที่สมบูรณ์แบบจะสมบูรณ์แบบ ถ้าเราไปเสริมสร้างความต้องการที่จะและ ?$0=s(f)=bs(f)$$s(f) = n$$s(f) = bs(f)$$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$$s^1(f) = bs^1(f)$

แรงจูงใจสำหรับคำถามนี้ก็เพื่อให้ได้สัญชาตญาณว่าความไวเกี่ยวข้องกับการปิดกั้นความไวอย่างไร

คำนิยาม

ให้เป็นฟังก์ชั่นบูลีนในคำ bit สำหรับและให้แทนคำว่า bit ที่ได้จากโดยการเปิดบิตที่ระบุโดย . ในกรณีที่เราก็จะแสดงนี้เป็นฉัน$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$$n$$x \in \{0,1\}^n$$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$$x^A$$n$$x$$A$$A = \{i\}$$x^i$

เรากำหนดความไวของที่$f$$x$เป็น\} ในคำอื่น ๆ ก็เป็นจำนวนบิตในที่เราสามารถพลิกเพื่อพลิกการส่งออกของฉเรากำหนดความไวของเป็นx) $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$$x$$f$$f$$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$

เรากำหนดความไวของบล็อกที่ที่$f$$x$ (แสดงถึง ) เป็นค่าสูงสุดซึ่งมีชุดย่อยที่แยกจากกันของเช่นนั้น ว่าf (x ^ {B_i}) \ neq f (x) เรากำหนดไวบล็อกของFเป็นBS (ฉ) = \ ข้อความ {} สูงสุด _x BS (ฉ, x)$bs(f,x)$$k$$B_1, B_2, \ldots, B_k$$\{1,2,\ldots, n\}$$f(x^{B_i}) \neq f(x)$$f$$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$

สุดท้ายเรากำหนด0-sensitiveของเป็น\} เรากำหนด1-sensitivity , 0-block sensitivityและ1-sensitivity sensitivity , , , และbs ^ 1 (f)ตามลำดับ$f$$s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$$s^1(f)$$bs^0(f)$$bs^1(f)$

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้พิสูจน์ว่า s (f) = bs (f) สำหรับฟังก์ชั่น unate และฟังก์ชั่นการอ่านครั้งเดียวเหนือตัวดำเนินการบูลีน AND, OR และ EXOR และกระดาษของฉันรวมถึงผลลัพธ์ได้รับการยอมรับใน TCS 2014 ( http: // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

คุณอาจโจมตีปัญหานี้ ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันรู้สึกเสียใจ แต่ฉันเริ่มโจมตีปัญหาด้วยตนเองก่อนที่จะโพสต์คำถาม มีการนำเสนอบทความเบื้องต้นของฉันในการประชุมภายในประเทศญี่ปุ่นในเดือนธันวาคม / 2556 และกำหนดส่งเป็นตุลาคม / 2013 ( http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/ )