อัลกอริทึมแบบสุ่มในคลาสใดที่มีโอกาส 25% ที่แน่นอน

สมมติว่าฉันพิจารณาตัวแปรต่อไปนี้ของ BPP ซึ่งให้เราเรียก E (xact) BPP: ภาษาอยู่ใน EBPP ถ้ามีเวลาแบบพหุนามแบบสุ่ม TG ที่ยอมรับทุกคำของภาษาที่มีความน่าจะเป็น 3/4 และทุกคำไม่ได้อยู่ใน ภาษาที่มีความน่าจะเป็นที่แน่นอน 1/4 เห็นได้ชัดว่า EBPP มีอยู่ใน BPP แต่มีค่าเท่ากันหรือไม่ มีการศึกษาเรื่องนี้หรือไม่? แล้ว ERP แบบกำหนดเองที่คล้ายกันล่ะ

แรงจูงใจ แรงจูงใจหลักของฉันคือฉันต้องการทราบว่าอะนาล็อกเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนของอัลกอริธึมแบบสุ่มที่ถูกต้องตามค่าที่คาดหมายของ Faenza และคณะ (ดูhttp://arxiv.org/abs/1105.4127 ) จะเป็น ก่อนอื่นฉันต้องการเข้าใจว่าปัญหาการตัดสินใจของอัลกอริทึมดังกล่าวสามารถแก้ไขได้อย่างไร ให้เราแสดงคลาสนี้ด้วย E (xpected) V (alue) PP มันง่ายที่จะเห็น USAT EVPP นอกจากนี้ยังเห็นได้ง่ายว่า EBPP EVPP นี่คือแรงจูงใจของฉัน ข้อเสนอแนะใด ๆ เกี่ยวกับ EVPP ก็ยินดีต้อนรับ$\in$$\subset$

ในความเป็นจริงอัลกอริทึมของพวกเขามักจะส่งออกจำนวนที่ไม่ใช่เชิงลบ หากเราแสดงให้เห็นถึงปัญหาการตัดสินใจที่รู้จักโดยอัลกอริทึมดังกล่าวโดย EVP (เชิงบวก) PP เราก็ยังมี USAT EVPPP แม้ว่า EBPP อาจไม่ใช่ EVPPP ส่วนย่อย แต่เรามี ERP EVPPP อาจจะใช้สิ่งเหล่านี้เราสามารถกำหนดอันดับ (nonnegative) สำหรับปัญหาการตัดสินใจ$\in$$\subset$

ในบันทึกด้านข้างไม่ชัดเจนว่า EBPP เป็นระดับที่แข็งแกร่ง ตัวอย่างเช่นหากแทนที่จะอนุญาตให้อัลกอริทึมพลิกเหรียญที่ไม่เอนเอียงหากได้รับเหรียญ 3 ด้านที่ไม่ลำเอียงหรือตาย 6 ด้านมันไม่ชัดเจนว่าคุณได้รับคลาสเดียวกัน BPP ยังคงเหมือนเดิมหากคุณเปลี่ยนรายละเอียดเหล่านี้

อย่างไรก็ตามคำถามหลักของคุณคือว่า EBPP เท่ากับ BPP หรือไม่ สำหรับผมแล้วดูเหมือนว่า EBPP จะใกล้เคียงกับ P มากกว่าที่จะเป็น BPP พิจารณาความซับซ้อนของแบบสอบถามหรือรุ่น oracle ของคลาสเหล่านี้ที่พวกเขาสามารถเข้าถึงสายอักขระอินพุตที่มีขนาดใหญ่และต้องสร้างแบบสอบถามเพื่อเรียนรู้บิตของสตริงนี้ หากคุณมีขั้นตอนวิธีการคำนวณ P ที่ฟังก์ชั่นกับQคำสั่งแล้วมีอยู่แน่นอนที่เป็นตัวแทนของพหุนามของปริญญาQสำหรับฉมากกว่าR (นี่คืออาร์กิวเมนต์เมธอดพหุนามแบบปกติ) ในทางกลับกันหากคุณมีอัลกอริธึม BPP คุณจะได้พหุนามQระดับพหุนามRที่ใกล้เคียงกับ$f$$Q$$Q$$f$$\mathbb{R}$$Q$$\mathbb{R}$$f$ในแง่ที่ว่าค่าของมันใกล้เคียงกับค่าของที่อินพุตทุกตัว$f$

ด้วยอัลกอริทึม EBPP สำหรับฟังก์ชันเราสามารถสร้างพหุนามที่ส่งออก 1/4 เมื่อคำตอบคือ NO และ 3/4 เมื่อคำตอบคือ YES ด้วยการลบ 1/2 และคูณด้วย 2 คุณจะได้พหุนามพหุนามเหมือนกับในกรณีของ P นี่แสดงให้ฉันเห็นว่า EBPP ใกล้เคียงกับ P มากขึ้น$f$

การสังเกตนี้ยังสามารถใช้เพื่อแสดงการแยก oracle ระหว่าง EBPP และ BPP พิจารณาปัญหาสัญญาส่วนใหญ่ที่คุณสัญญาไว้ว่าอินพุตมีมากกว่า 2N / 3 1s หรือน้อยกว่า N / 3 1s และคุณต้องตัดสินใจว่ากรณีใด ชัดเจนใน BPP ใช้อาร์กิวเมนต์พหุนามอธิบายไว้ข้างต้นก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นนี้ต้องคำสั่งสำหรับเครื่อง EBPP แต่โปรดทราบว่าคุณสามารถพิสูจน์การแยก Oracle ด้วยวิธีอื่นระหว่าง P และ EBPP ดังนั้นผลพยากรณ์อาจไม่พูดมากสำหรับปัญหานี้ หรือบางทีสิ่งที่พวกเขาพูดก็คือมันยากที่จะแสดงความเท่าเทียมกันในทั้งสองทิศทาง$\Omega(N)$

เกี่ยวกับการแยก Oracle, มี oracle กับ EBPP = = BPP EXP ^NPและ oracle, P = ⊕P (และด้วยเหตุนี้ EBPP = P) และ BPP = EXP NP

สิ่งก่อสร้างหนึ่งของ BPP = EXP ^NP oracle (รวมอยู่ในบทความ BPP wikipedia ) คือการเลือก^{ปัญหา} EXP ที่สัมพันธ์กันของ relativized และดำเนินการซ้ำกับขนาดอินพุต (สำหรับปัญหานั้น) แก้ไขผลลัพธ์สำหรับอินสแตนซ์ที่มีปัญหาของขนาดนั้นและ จากนั้นให้คำตอบสำหรับปัญหานั้นหากสอบถามกับอินพุตและฟิลเลอร์ (ความยาวที่เหมาะสม) ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข สำหรับ EBPP = EXP ^NPแทนที่จะให้คำตอบที่ถูกต้องเกือบทุกครั้งเราสามารถให้คำตอบที่ไม่ถูกต้องเพียงพอเพื่อให้การนับนั้นถูกต้อง นอกจากนี้ยังมี oracle ที่ศูนย์ข้อผิดพลาดแบบอะนาล็อกของ EBPP (ความน่าจะเป็น 1/2 ของการรายงานความล้มเหลว) เท่ากับ EXP (และ oracle ที่มี P = ⊕P แต่ ZPP = EXP)

พี = ⊕Pและ BPP = EXP ^NP oracle เป็นข้อสังเกตที่นี่

นอกจากจะอยู่ใน BPP และ C ₌ P แล้ว EBPP ยังอยู่ใน⊕Pเนื่องจากเราสามารถลดความน่าจะเป็นที่จะเป็นจำนวนพยานแล้วปรับแต่งจำนวนนั้น

ในโลกที่ไม่มีความเกี่ยวข้อง BPP อาจเท่ากับ P แต่หลักฐานนั้นแข็งแกร่งกว่าสำหรับ EBPP EBPP ขึ้นอยู่กับจำนวนเส้นทางที่แน่นอนในลักษณะที่ยกเว้นว่ามีการยกเลิกที่ไม่คาดคิดปรากฏว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะควบคุม

นี่คือคำตอบบางส่วน; บางทีมันอาจเป็นแรงบันดาลใจให้คนอื่นมอบสิ่งที่ดีกว่า $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

ชั้นเรียนของคุณเป็นกรณีพิเศษของC = P ฉันคิดว่าวิธีหนึ่งในการกำหนดC = Pมีดังนี้ (ดูหัวข้อที่ 2 ของบทความนี้ ) ภาษาLอยู่ในC = PหากมีตัวตรวจสอบเวลาพหุนามVเช่นนั้น$\EBPP$$\CP$$\CP$$L$$\CP$$V$

• ถ้าเป็นLดังนั้นPr w [ V ( x , w )  ยอมรับ] = $x$$L$และ$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• ถ้าไม่ได้อยู่ในLดังนั้นPr w [ V ( x , w )  ยอมรับ] ≠ $x$$L$ .$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

(ความน่าจะเป็นที่สมบูรณ์อาจเป็นเศษส่วนคงที่ได้ฉันเลือกเพื่อให้ตรงกับความน่าจะเป็นที่ได้รับในคำถามของคุณ)$\frac{3}{4}$

วิธีหนึ่งในการกำหนดมีดังนี้ ภาษาLอยู่ในE B P PหากมีตัวตรวจสอบเวลาพหุนามVเช่นนั้น$\EBPP$$L$$\EBPP$$V$

• ถ้าเป็นLดังนั้นPr w [ V ( x , w )  ยอมรับ] = $x$$L$และ$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• ถ้าไม่ได้อยู่ในLดังนั้นPr w [ V ( x , w )  ยอมรับ] = $x$$L$ .$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$