ผลที่ตามมาของ #P = FP

ผลลัพธ์ใดของ #P = FP

ฉันสนใจผลที่เกิดขึ้นจริง

จากมุมมองของภาคปฏิบัติฉันสนใจเป็นพิเศษในเรื่องผลสืบเนื่องของปัญญาประดิษฐ์

ตัวชี้ไปยังเอกสารหรือหนังสือเป็นมากกว่าการต้อนรับ

โปรดอย่าพูดว่า #P = FP แสดงถึง P = NP ฉันรู้แล้ว นอกจากนี้โปรดอย่าพูดว่า"จะไม่มีผลตามมาหากอัลกอริทึมทำงานในเวลาโดยที่คือจำนวนอิเล็กตรอนในจักรวาล" $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha$ : อนุญาตให้ฉันสมมติถ้า อัลกอริทึมเวลาพหุนามกำหนดขึ้นสำหรับปัญหา # P-complete ที่มีอยู่เวลาทำงานของมันจะเป็น "ผ่อนผัน" (เป็นต้น) $O(n^2)$

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่คือผลทางทฤษฎีบางประการของความเท่าเทียมกัน FP = # P แม้ว่าพวกเขาจะไม่เกี่ยวข้องกับปัญญาประดิษฐ์ สมมติฐาน FP = # P เทียบเท่ากับ P = PPดังนั้นขอผมใช้เครื่องหมายหลัง

ถ้า P = PP แล้วเรามี P = BQP : การคำนวณพหุนามควอนตัมเวลาสามารถจำลองได้โดยการคำนวณแบบดั้งเดิมแบบพหุนามแบบกำหนดเวลา นี่คือผลลัพธ์โดยตรงของBQP⊆PP [ADH97, FR98] (และจากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้BQP⊆P ^PP [BV97]) นอกจากความรู้ของฉันแล้ว P = BQP ไม่เป็นที่รู้จักที่จะทำตามสมมติฐาน P = NP สถานการณ์นี้แตกต่างจากกรณีของการคำนวณแบบสุ่ม ( BPP ): เนื่องจากBPP⊆NP ^NP [Lau83], ความเท่าเทียมกัน P = BPP ตามมาจาก P = NP

ผลที่ตามมาอีกอย่างหนึ่งของ P = PP ก็คือโมเดลการคำนวณ Blum-Shub-Smale เหนือ reals ด้วยค่าคงที่ที่มีเหตุผลนั้นเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริงในแง่หนึ่ง แม่นยำยิ่งขึ้น P = PP หมายถึง P = BP (P _ℝ⁰ ); นั่นคือถ้าภาษาL ⊆ {0,1} ^*สามารถถอดรหัสได้โดยโปรแกรมอิสระตลอดช่วงเวลาของพหุนามในเวลานั้นพหุนามLโดยเครื่องทัวริงเวลาพหุนาม (ที่นี่“ BP” หมายถึง“ ส่วนบูลีน” และไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ BPP) สิ่งนี้ตามมาจาก BP (P _ℝ⁰ ) ⊆ CH [ABKM09] ดูกระดาษสำหรับคำจำกัดความ ปัญหาสำคัญใน BP (P _ℝ⁰ ) คือปัญหาผลรวมสแควร์รูทและเพื่อน ๆ (เช่น“ ให้จำนวนเต็มkและจำนวน จำกัด ของพิกัดจุดจำนวนเต็มบนเครื่องบินมีต้นไม้ทอดยาวที่มีความยาวสูงสุดที่kหรือไม่?”) [Tiw92]

เช่นเดียวกันกับข้อโต้แย้งที่สองปัญหาของการคำนวณบิตเฉพาะในx ^yเมื่อจำนวนเต็มบวกxและyได้รับในไบนารีจะเป็น P ถ้า P = PP

อ้างอิง

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen และ Peter Bro Miltersen เกี่ยวกับความซับซ้อนของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วารสารคอมพิวเตอร์สยาม , 38 (5): 2530-2549, ม.ค. 2552. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

[ADH97] Leonard M. Adleman, Jonathan DeMarrais และ Ming-Deh A. Huang การคำนวณควอนตัม วารสารคอมพิวเตอร์สยาม , 26 (5): 1524–1540, ตุลาคม 1997. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639

[BV97] อีธาน Bernstein และ Umesh Vazirani ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงควอนตัม วารสารคอมพิวเตอร์สยาม , 26 (5): 1411–1473, ตุลาคม 1997. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921

[FR98] Lance Fortnow และ John Rogers ข้อ จำกัด ด้านความซับซ้อนในการคำนวณควอนตัม วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ , 59 (2): 240–252, ตุลาคม 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651

[Lau83] Clemens Lautemann BPP และลำดับชั้นเวลาพหุนาม จดหมายประมวลผลข้อมูล , 17 (4): 215–217, พ.ย. 1983 http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3

[Tiw92] Prasoon Tiwari ปัญหาที่แก้ไขได้ง่ายกว่าใน RAM เกี่ยวกับพีชคณิตต้นทุนต่อหน่วย วารสารความซับซ้อน , 8 (4): 393–397, ธันวาคม 1992 http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

คุณเอาชนะฉันไปที่นี้! ที่จริงแล้วคุณพูดถูกเกี่ยวกับ BQP เทียบกับ NP ดูเหมือนจะมีหลักฐานที่สมเหตุสมผลว่า BQP ไม่ได้อยู่ใน PH (ดูตัวอย่างarxiv.org/abs/0910.4698 ) ถึงแม้ว่าฉันเชื่อว่าการคาดเดาทั่วไปของ Linial-Nisan ซึ่งใช้ในบิตที่สองนับ แต่นั้นแสดงว่าไม่ถูกต้อง

— Joe Fitzsimons

@turkistany: ถ้าฉันไม่เข้าใจผิด P = NP หมายถึง P = BPP เพราะ BPP มีอยู่ใน PH และถ้า P = NP แล้ว P = PH

— Niel de Beaudrap

อนึ่ง: +1 สำหรับ (FP = # P) ⇔ (P = PP) แม้ตั้งเนื้อหาที่เหลือของคำตอบ

— Niel de Beaudrap

@ โจ: เนื่องจากคำตอบของคำถามอื่นฉันคิดว่าหลักฐานที่ดีที่สุดของ“ P = NP ไม่ได้หมายความถึง P = BQP” โดยที่ไม่ได้พิสูจน์ P = NP ≠ BQP จริง ๆ แล้วอาจเป็นผลจากการแยกออราเคิล:“ มีอยู่จริง oracle A แบบที่ P ^ A = NP ^ A ≠ BQP ^ A” แน่นอนว่ามันไม่ง่ายเลยเพราะผลลัพธ์นั้นจะบอกเป็นนัยถึง BQP ^ A⊈PH ^ A ตั้งคำถามที่เปิดกว้าง

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: คุณไม่สามารถสร้าง oracle ดังกล่าวจาก oracle ใด ๆ ที่สัมพันธ์กับ BQP ที่ไม่ได้อยู่ใน PH เพียงแค่นำมันมาพร้อมกับ PH เพื่อสร้าง oracle ใหม่หรือไม่?

— Joe Fitzsimons

ในโมเดลกราฟิกปัญหาการประมาณค่าจำนวนมากเป็น # P-complete เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการคำนวณผลรวมของผลิตภัณฑ์เป็นการถาวรเหนือกราฟทั่วไป ถ้า #P = FP โมเดลกราฟิกก็จะง่ายขึ้นมากในทันทีและเราไม่ต้องยุ่งกับโมเดลที่น่ากลัวอีกต่อไป

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

Toda พิสูจน์แล้วว่าปัญหาใด ๆ ในลำดับชั้นพหุนามสามารถลดลงเป็นฟังก์ชัน #P อย่างเป็นทางการเขาพิสูจน์ให้เห็นว่าP} ดังนั้นถ้าดังนั้นจะพังและดังนั้น Tautologies จะมีการพิสูจน์สั้น ๆ $PH \subseteq P^{\#P}$ $\sharp P=FP$ $PH$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

บางคนสามารถอธิบายได้: สิ่งนี้ไม่เหมือนกับการพูดว่า "P = PH" (ซึ่งจะตามมาทันทีจาก P = NP)

— Niel de Beaudrap

@ เนียล: มันไม่เหมือนกันมันแข็งแกร่งกว่า

— Giorgio Camerani

P^{FP} = P

$\text P^{\text{FP}} = \text P$

# P = FP

$\#\text P = \text{FP}$

PH \subseteq P^{# P} = P^{FP} = P \subseteq PH

$\text{PH} \subseteq \text P^{\#\text P} = \text P^{\text{FP}} = \text P \subseteq \text{PH}$

@ ทั้งหมด: เพียงเพื่อชี้แจง --- ความคิดเห็นแรกของฉันข้างต้นได้ถามคำถามต่อไปนี้"คำตอบของชาวตุรกีเท่ากับคำที่ FP = # P แสดงถึง P = PH หรือไม่" หากฉันต้องการทราบว่า FP = # P เทียบเท่ากับ P = PH ฉันจะถามคำถามนี้ในความคิดเห็นของโพสต์ต้นฉบับไม่ใช่คำตอบของชาวตุรกี

— Niel de Beaudrap

@Niel: ถูกต้อง นี่เหมือนกับการบอกว่า P = PH ซึ่งตามมาจาก P = NP ดังนั้นการใช้ทฤษฎีบทของโทดะจึงไม่จำเป็นเนื่องจาก FP = #P แสดงถึง P = NP = PH แล้ว

— Robin Kothari